05_涡度、散度与垂直速度

1、涡度、散度与垂直速度， 是天气分析预报中经常使用的三个物理量。在天气学教科书 (例如：朱乾根等， 2000)与动力气象学教科书 (例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。 7.1 涡度的表达式涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为1 s 。根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：ijkV3xyzuvw( wv )i( uw ) j ( vu )kyzzyxyijk(7.1.1)其中 V 3 ( uivj wk ) 是三维

2、风矢。虽然涡度是一个矢量， 但在天气分析中， 一般却只计算它的垂直分量， 亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度。的表达式为：vu(7.1.2)xy需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度，其全称应是垂直相对涡度。将式 (7.1.2)变微分为差分，得：vu(7.1.3)x y 7.1.2 相对涡度 的计算方法1犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度有实测风涡度o 与地转风涡度 g 两种。下面分别介绍它们的计算方法。1. 实测风涡度 o 计算方法用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。首先把实测风分解为 u 、 v 分量，然后分别读取图 7.1.1 所示的 A 、C 点的 u 值和

3、 B、D 点的 v 值，最后代入式 (7.1.3)即得 O 点的涡度：vD vBuAuC(7.1.4)oyx图 7.1.1 计算物理量用的正方形网格 (朱乾根等， 2000)2. 地转风涡度 g 计算方法假若实测风与地转风相差很小， 那么，便可用地转风代替实测风， 并可根据地转风公式直接从高度场 (或气压场 )求算相对涡度。用地转风计算得到的相对涡度称地转风涡度，也有人也简称地转涡度。地转风涡度g 的几何意义是代表等压面凹凸的程度。把等压面上的地转风公式9.8Hugfy(7.1.5)vg9.8 Hfx代入式 (7.1.2)中，略去地转参数f (2sin) 的空间变化后，即可得到地转风涡2度g

4、的表达式：9.82 H2 H9.82(7.1.6)gf (x2y 2 )fH上式中 H 为位势高度，2 H 为高度场的拉普拉斯。在实际业务中可用图7.1.1所示网格进行计算，并把上式改写为差分形式：HD HO HOH BHA HOH OH C9.8d md md md mgd md mf(7.1.7)9.8 m2 ( H AH BH CH D4HO)fd 2式中 m 为地图投影放大系数。由上式可见，读取网格上A 、B、C、D、O 五点的高度值，代入式 (7.1.7)，便得 O 点的地转风涡度g 。 7.2 散度的计算(引自：朱乾根等天气学原理与方法(第 3 版)pp618620)。1. 定义及

5、表达式散度是衡量速度场辐散、辐合强度的物理量，单位为1/s，辐散时为正，辐合时为负。水平散度的表达式为：uvD(7.2.1)xy水平散度 D 的大小是从同一水平面(或等压面，请读者牢牢记住这个条件)上的实测风场计算求得的。2. 计算方法把式 (7.2.1)写成差分形式：uvD(7.2.2)xy若用图 7.1.1 所示网格计算水平散度，变微分为差分，则上式就改写为：uD uBv A vCD2d m2d m3m(7.2.3)(uD uB vA vC )2d式中 d 为在天气图上所取网格点的距离。这样把图7.1.1 中 B、D 点的 u 值和 A 、C 点的 v 值代入式 (7.2.3)，便得 O

6、点的散度。3. 注意事项当气象测站不在同一个海拔高度上时，地面图上散度的计算方法， 我们将在后面介绍。关于对上面计算散度值的修正方法，将在7.3 介绍。 7.3垂直速度的诊断(引自：朱乾根等天气学原理与方法(第 3 版)pp620635)。大气垂直运动是天气分析和预报中必须经常考虑的一个重要物理量。需要提请读者注意的是，这里说的垂直速度(或运动 )，仅仅指大尺度的。垂直速度不是直接观测到的物理量，它是通过间接计算而得到的。 垂直速度的计算方法很多，下面只介绍OBrie(1970)提出的运动学法 (积分连续方程法 )。1. 计算原理在 ( x, y, p) 坐标系中，连续方程可写为：uv0(7.

7、3.1)xyp或( uv )(7.3.2)pxy将上式两端对p 积分得：puv )dppp(0p0xyuv)( p0 p)(7.3.3)(yx令 D( uv ) 为 p0 和 p 两层等压面之间的平均散度，则式(7.3.3)可改写成：xyp0 D( p0p)(7.3.4)式中p 和0 分别为 p 和 p0高度处的垂直速度。 单位为 hPas ；正值为下沉运动，4负值则为上升运动。若平均散度D 在 p0 和 p 两层之间的变化是线性的，即：1(7.3.4)便可自下而上一层D(D0 D) ，那么，在求得各层散度之后，根据式2一层地算出各层的垂直速度来。2. 下边界条件假定： (a)地面海拔高度很低

8、，且是平坦的( 读者要特别注意这个假定)，(b) p01000hPa 处，0 ，则各主要等压面上的垂直速度可分别用式 (7.3.4)推算出来。3. 必须对 和 D 进行修正的原因原则上，可以用这种方法计算出任意层次的。但在实际上， 用这种方法来计算高层的常常很不准确。原因是：(a)风在高层观测的精确度较低；(b)误差随高度有积累。上述原因的详细解释是，在作散度计算时，既有风的观测、分析方面的误差， 又有计算中带来的误差， 这些误差都随高度升高而有积累， 从而导致 的计算值的精确度随高度升高而不断下降。 结果到了气柱的顶部， 的值往往不能满足上界0 的边界条件，这就违背了“补偿原理”。因此必须对

9、上述运动学方法或“补偿作用”进行修正。4. 对D和 的修正根据实际资料的分析 , D的修正量可以假定为气压的线性函数。即(证明略 )：DkD kk (NT ) / p(7.3.5)MN1 N(N1), M 是一个只与总层数 N 有关的常数。式中 Mk1 2对 D 作了上述修正后，也应作相应的修正 (证明略 )。k(k1)T )(7.3.6)kk( N2M其中， k 1,2, N ，是层次序号。 N 为需要计算的总层数，N 是未经修正的最高层垂直速度 (一般即 100hPa 处的9 )， N 是经过修正后的最高层垂直速度。式 (7.3.6)中的 N 是借用其它方法 (例如绝热法等方法 )求出的。

10、实例分析表明， N一般都在3 5 10 3 hPa s ， 最 大 可 达 20 53010 3 hPa s 。而由绝热法或其他方法求出的100hPa 上的数值一般很小 (大约为 0 0.510 3 hPa s )，因此T 较之N 是很小的。这样，在精度允许的情况下，为了计算的方便，可取T0 。这样，式 (7.3.5)与 (7.3.6)便可简化成下列形式：D kD kkN(7.3.7)Mpk(k1)(7.3.8)kk2MN5. w 与 的换算关系在很多情况下， 人们需将上面计算出的(dp dt ) 换算成 w(dz dt ) 。例如，在计算 z -螺旋度 hzw时以及绘制垂直剖面图上的环流时就

11、遇到上述情况。垂直速度 在 ( x, y, p, t) 坐 标系里 为 (dp dt ) ，在 ( x, y, z,t ) 坐标系里为w( dz dt ) ，两者有以下的关系：dppp wp(7.3.9)dtVzt通常，式 (7.3.9)的右边前两项之和很小，因此近似有：dp w p(7.3.10)dtz代入静力学关系，则得：dp gw(7.3.11)dt再代入状态方程，则得：dp pgw(7.3.12)dtRd Tv式 (7.3.12)即为 与 w 的换算关系式。的单位多取 hP a s ，w 的单位多取 cm s 。 7.4 地转偏差与散度、垂直速度的关系1. 定义地转风虽然可以作为实际风

12、的近似， 但一般情况下实际风和地转风总是有差别的。为了量度实际风偏离地转风的程度， 人们将实际风与地转风的矢量差定义6为地转偏差。令地转偏差用V 表示，则有：V VV g(7.4.1)u uug(7.4.2)或v vvg2. 计算方法考虑到有关教科书中地转风的定义式后，可将式(7.4.2)改写为：u u( 1)fy( 1(7.4.3)v v)fx将公式 (7.4.3)变为差分形式，得：u u(1)fy(7.4.4)1vv()fx根据式 (7.4.4)，可以计算出地转偏差矢量的两个分量u 与 v ，进而得到地转偏差矢量：V u iv j(7.4.5)3. 地转偏差与水平散度、垂直速度的关系将式

13、(7.4.2)代入水平散度公式，得：Duvx(u gu )(vg v )xyyugvgu v(7.4.6)xyxy若取 f 为常数，则有：u gvg1)1) 0(7.4.7)xy(f xyf yx将式 (7.4.7)代入 (7.4.6)，得：7uvuvDyx(7.4.8)xy式 (7.4.8)表明，实际风的水平散度是由地转偏差决定的。由于垂直运动与水平散度联系在一起，故可以认为垂直运动也与地转偏差有一定联系。4. 地转偏差在动能制造转换中的作用当有地转偏差时，若实际风偏向低压一侧， 水平气压梯度力对空气微团作功，其动能将增加； 若实际风偏向高压一侧， 空气微团反抗水平气压梯度力作功，其动能将减小。因此，地转偏差对大气运动动能的制造和转换起着重要作用。5. 地转偏差的大小自由大气中地转偏差一般很小，地转偏差与地转风的比值平均为20%左右。实际风偏离地转风的角度平均约为15。地转偏差虽然很