2021_2022版高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式素养评价检测含解析新人教A版必修520210317284

1、基本不等式 (20分钟35分)1.下列不等式中正确的是()A.B.a2+b24abC.D.x2+2【解析】选C.A中,a0,b0时不成立,故A错误.取a=1,b=1,则a2+b20,2b0,所以2a+2b2=2=2,当且仅当a=b=0时,等号成立.所以2a+2b的最小值是2.3.已知x0,y0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()A.16B.25C.9D.36【解析】选B.(1+x)(1+y)=25,因此当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25.4.若lg a+lg b=0,则+的最小值是.【解析】依题意lg a+lg b=0,所以a0,b0,且l

2、g(ab)=0,即ab=1,所以+2=2.当且仅当=,即a=,b=时,取得等号.答案:25.若0x1,则的取值范围是.【解析】由0x0,故=,当且仅当x=时上式等号成立.所以00,a0)在x=3时取得最小值,则a=.【解析】f(x)=4x+2=4(x0,a0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,此时f(x)取得最小值4.又x=3时,f(x)min=4,所以=3,即a=36.答案:366.已知x0,y0,且2x+y=4.(1)求xy的最大值及相应的x,y的值;(2)求9x+3y的最小值及相应的x,y的值.【解析】(1)4=2x+y2xy2,所以xy的最大值为2,当且仅当2x=y=2,即x=1,y

3、=2时取“=”;(2)9x+3y=32x+3y2=18,所以9x+3y的最小值为18,当且仅当9x=3y,即2x=y=2x=1,y=2时取“=”.【补偿训练】已知x0,y0.(1)若2x+5y=20,求u=lg x+lg y的最大值;(2)若lg x+lg y=2,求5x+2y的最小值.【解析】(1)因为x0,y0,由基本不等式得2x+5y2=2.又因为2x+5y=20,所以202,所以,所以xy10,当且仅当2x=5y时,等号成立.由解得所以当x=5,y=2时,xy有最大值10.所以u=lg x+lg y=lg(xy)lg 10=1.所以当x=5,y=2时umax=1.(2)由已知,得xy=

4、100,5x+2y2=2=20.当且仅当5x=2y=,即当x=2,y=5时,等号成立.所以5x+2y的最小值为20. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在下列各函数中,能利用基本不等式求得最小值等于2的是()A.y=x+B.y=sin x+C.y=ex+-2D.y=【解析】选C.选项A,当x0时,y=x+-2,故错误;选项B,由于0x,函数的最小值取不到2,故错误;选项D,y=+2,但是=,得x2+4=1不成立,故错误.2.若0x,则函数y=x的最大值为()A.1B.C.D.【解析】选C.因为0x0,所以x=2x=,当且仅当2x=,即x=时等号成立.3.已知正数m,n满足

5、m2+n2=100,则m+n()A.有最大值10B.有最小值10C.有最大值10D.有最小值10【解析】选A.,即50,又m0,n0,所以5,即m+n10.4.已知x,y0,x+y=1,若4xy1.因此,实数t的取值范围为(1,+).5.设M=,N=()x+y,P=(x,y0,且xy),则M,N,P大小关系为()A.MNPB.NPMC.PMND.PNM【解析】选D.由基本不等式可知=()x+y=,因为xy,所以等号不成立,故PN0,a恒成立,则a的取值范围是.【解析】因为x0,所以x+2,当且仅当x=1时取等号,所以有=,即的最大值为,故a.答案:7.设x,y,z(0,+),满足2x=3y=6

6、z,则2x+-的最小值为.【解析】设2x=3y=6z=k,则x=log2k,y=log3k,z=log6k,k1,则2x+-=2log2k+logk6-logk3=2log2k+logk22,当且仅当2log2k=logk2时取等号,此时取得最小值2.答案:28.(2019天津高考)设x0,y0,x+2y=5,则的最小值为.【解析】=4,当且仅当xy=3时等号成立.故所求的最小值为4.答案:4【补偿训练】 x,y,z(0,+),x-2y+3z=0,的最小值是.【解析】由x-2y+3z=0,得y=,将其代入,得=3,当且仅当x=3z时取“=”.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知

7、x,y(0,+),求z=(x+2y)的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:z=(x+2y)=2+818,乙:z=(x+2y)22=16.(1)你认为甲、乙两人解法正确的是谁?(2)请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确.【解析】(1)甲正确,乙解法中两次不等式中取等号的条件不相同.(2)已知x,y(0,+),求z=(a+b)的最小值.甲:z=(a+b)=1+14,乙:z=(a+b)22=4.10.已知a,b均为正实数.(1)若ab=3,求(a+b)(a3+b3)的最小值;(2)若a2+b2=3,求a+b的最大值.【解析】由题设知a,b均为正实数.(1)因为ab=3,所以a+b2=20,(a3+b3)2=60,所以(a+b)(a3+b3)36,当且仅当a=b时取最小值36.(2)因为a2+b2=3,又因为=,所以a+b,当且仅当a=b时,等号成立.所以a+b的最大值为.1.设正实数a,b满足a+b=4,则ab的最大值为,(a2+1)(b2+1)的最小值为.【解析】因为,所以ab又因为a+b=4,所以ab=4,当且仅当a=b时取等号.所以ab的最大值为4.因为a+b=4,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab.所以(a2+1)(b2+1)=(ab)2+a2+b2+1=(ab)2-2ab+17