高中数学第1章归纳总结同步导学案北师大版必修5

1、知识结构性盧厨|时|:一|導畫中廈8dawHjaffl知识梳理一、数列的概念与函数特征1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列还可以看作一个定义域为N+ (或它的有限子集1,2,，n)的函数的一列函数值.2. 通项公式：如果数列an的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数 列的通项公式.3. an与S之间的关系：如果S是数列an的前n项和，贝U S=ai+a2+an.S,(n=i)r数列an的前n项和S与an之间的关系是 an=.S-S-1,(n 2)4. 数列的分类(1) 根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫

2、作无穷数列(2) 按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类： 一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an+1an,那么这个数列叫作递增数列. 一个数列an，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an+10n N+, an+i- an=0n N+, an+i- an0(1(0(0(0),51) an为递减数列.an二、等差数列1. 定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，则这个数列就叫等差数列,=d( n2, n中的常数叫等差数列的公差，它常用字母d表示.即定义的表达式为an+1-an=d( n N+)或an- N+).2

3、. 通项公式：若数列an为等差数列，则an=a1+(n-1) d.3. 前n项和公式：若数列an为等差数列，则前 n项和$=卫色 ？=na+垃 耳d.2 24. 等差中项：若三个数a,A,b成等差数列，则 A叫做a与b的等差中项，并且 A= b25. 等差数列的性质：(1) 已知等差数列an的公差为d,且第m项为am,第n项为孔则an=am+( n-m)d;(2) 在等差数列 an中，若 m+n=p+q ( m,n,p,q N)则 am+an=ap+aq； 若数列an满足S=an2+bn,则an为等差数列，且 a=a+b, d=2a; 若数列an满足S=an2+bn+c( cm 0)，则an从

4、第2项起成等差数列；等差数列和的最大值、最小值.1 在等差数列an中，a10, d0,则$有最大值；若a10,则S有最小值.2求S的最值的方法： 因为S=d n2+ ( a1-d ) n,所以可转化为二次函数求最值，但应注意n 2;2 2an 0, anW 0, 利用 1则S为最大值；“则S为最小值.an+10,三、等比数列1. 定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，用字母 q表示2. 等比中项：若三个数 a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，且 G= . ab .3. 通项公式：等比数列an的通项公式an=

5、aiqn-1.4. 前n项和公式：若等比数列an的前n项和为S，公比为q，当q=1时，S=nai；当q丰1时Q_ai(1 qn)_a1a.qn =.1 q 1 q5. 等比数列的重要性质：(1)在等比数列an中，若 k+l =m+n ( k,l,m,n N)则 ak ai =am - a.(2)数列an为等比数列，则an=a1qn-1=a qn.q q1, a10或0q1, a1, a10或0q0时， an是递减数列； q=1时， an是常数列； q2 时，有 an-a=(2+2+2 )- : 1+2+3+(n-1):.勿=(1+2+22+2n-1)- 巴 卫=2二巴 卫-1 , a1=1也适

6、合上式 2 2数列an的通项公式an=2n- n(n 1) -1.2说明已知a1且an+1- gh=f( n)( f( n)是可求和数列)的形式均可用累加法求an.变式应用2 已知 an中，a1= 1，且an+1-an=3n(n NL),求通项an.解析/ an+1- an=3n(n Nk), a2-a1=3,2a3 - a2=3,3a4 - a3=3,n-1an-an-1=3( n2),以上各式相加得23n- 1an-a1=3+3 +3 + +3n 1n3(13) = 33an =2n-1an 11322-3n-an=a 1 +-2n331=-(n2).222又a1=1满足上式, a 3na

7、n=-23.累乘法1(n N+).2例3:在数列 中，已知a1=1, an+1=2 an,求an.分析由an+1=2nan,可得an 1 =2n,于是a2 =2,a3=22,a4=23,an=2n-1，将上面各式相乘，便可求出ana1a2a3an 1数列an的通项公式解析由 an+1=2nan,得色口 =2n,an鱼=2,色=22,色=23,a1a2a3将上述（n-1）个式子相乘,得 02 01 a?a3an=ai x 2玉=2 2 23 2an 1n(n 1)1+2+3+(n-1)2 =2n-1说明已知a1且加 =f (n)( f (n)是可求积数列)的形式均可用累乘法求 anan变式应用1

8、3已知数列 an , a=,前n项和S与an的关系是 S=n(2 n-1)3Sh,求通项an.解析/ S=n(2 n-1) an,310.S-1=( n-1)(2 n-3) an-1 ( n2),两式相减，得an=n(2 n-1) an-( n-1)(2 n-3) an-1 ( n2),即(2n+1) an=(2 n-3) an-i.an = 2n 3an 12n 1a3 _3a257a45a395an2n3an 12n1an3(n2),以上各式相乘，得(2n1)(2 n 1)又1 a1=,3-an=(2n 1)(2 n 1)n 2).1a1 =满足上式，3-an=(2n 1)(2 n 1)n

9、 N+).4.构造转化法2在数列an中，a1=1, an+1=叭 求an.3分析通过整理变形，进而构造等比数列，由等比数列的通项间接求数列an的通项公式解析2由已知得an+1 -an=1,2an-i=1( nA 2),3111121231 2n13-，得2an+i - an=3(an- an-1).令 bn=an+1- an,贝U 虹=bn 132 S为等比数列，公比为 ,32 2b1=a-a1= a1+1- a1=bn=2 X(2) n-1= ( 2) n,即an+1- an= ( 2 ):33332 n由得an=3-3 x().3p=1，则an为等差数说明已知a1且an+1=pan+q(

10、p,q为常数)的形式均可用上述构造法，特别地，若列；若q=0, pM0，则an为等比数列.变式应用4已知数列 an满足a1=1, an+1=3an+2( n N+).求数列 an的通项公式解析/ an+1=3an+2( n N+), an+1+ 1= 3( an+1),並=3( n 2).an1数列 an+1是以a1+1=2为首项，3为公比的等比数列. an+1=2 3n-1, an=2 3n-1-1( n N+).专题2数列的前n项和的求法求数列的前n项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点.对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相

11、加法、裂项相消法、错位相减法等 求和.1.分组转化法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的 前n项和可考虑拆项后利用公式求解例5求下列数列的前n项和.(1) -1,4,-7,10,(-1) n(3 n-2),(2)12,2瑶,-分析 (1) Ta2n-1+a2n=3,故可将其视作一项，但要对n的奇偶性进行讨论1 1/ an= n+飞，即an是一个等差数列n与等比数列 - 的和构成的，故可用拆项分组求和法解析 (1)当n为偶数时，令n=2k(k N+),S=Szk=-1+4-7+10+ +(-1) n(3 n-2)o , 3=3 k= n;2

12、当n为奇数时，令 n=2k+1(k N+),3n 1_2（n为奇数）Si =S2k+i =S2k+a2k+i=3k-(6 k+l)=3n ( n为偶数)2(2) $=1丄+21+31+ (n + 丄)2482n=(1+2+3+n)+ (丄 + 丄 + + + 丄)2 4 82nn(n 1)+2(12)=n(n 1)+1 丄2 1 1 2 2n2说明形如an+b的求和问题，其中an为等差数列，bn为等比数列，可用“拆项分组求和”111变式应用 5 求和：(x+ ) +(x2+2)+(xn+n)(xM 0, x 丰 yM 1).yyy解析当 xM 1,yM 0, yM 1 时，/1、/21、. n

13、 1(X+ ) +(x + 2 )+ - +(x+ n )y yy/ 2(x+x +xn) +(丄+ A+. + yy2n(1 n )nx(1 X ) + y y = x(1 X )1 x 111 xyny 1n 1 ny y2.裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.可用待定求和:1 +(n N+).分析先分析通项有何特点，本题通项an=11n(n 1) _21 1（丄-丄）,因此可采用裂项相消法求和n n 11解析/ an= 1 2=2n n(n 1)(1n

14、a1=2 (1- 1) , a2=2 (-2 2a3=2( 1-1),an=2 (1 丄3 4n n 11 1111-S=a1+az+a3+ +an=2 (1-) +(-)+()+ +(22 3342nn 1说明所谓裂项相消，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差,以达到隔项相消之目的常见的裂项变形有：an1n(n 1), 11 an=-(1(2n 1)(2 n 1)22n 1, 1 an=n(n 1)( n 2)2 an=、n 、n 1变式应用6求和:答案解析n(n 1)2n 3 2)42(n1)(nan=n(n12)(n 1)(n 2)：；1n(n2)2），151n(n 2)

15、(1-丄)3(11 1 11) (11)=)(丄n(1 +2n 32(n 1)(n2)3. 错位相减法若数列 an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn ,当求该数列的前 n项的和时，常常采用将 anbn的各项乘以公比 q,并项后错位一项与 anbn的同次项 对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法例 7: 数列an的前 n 项和为 S, ai=1,an+i=2S(n N+).(1) 求数列an的通项an；(2) 求数列 nan的前n项和Tn.解析(1)： an+i=2S,Sn 1 _-.0+1- n=2Dh,=3.Sn又

16、t Si=ai=1,.数列S是首项为1,公比为3的等比数列.S=3- ( n N+).当 n2 时，an=2S1=2 3n-2,1(n=1)a1=1不满足上式，.an=.2 3n-2 ( n2)(2) Tn=a1+2a2+3a3+nan.当 n=1 时，T1=1；01n- 2当 n2 时，Tn=1+4 3 +6 3+2n 3 ,12n-1 3Tn=3+4 3 +6 3 + +2n 3 ,-得：-2Tn=-2+4+2(3 1+32+- +3n-2)-2 n 3n-1=2+2 n 2.3(13)-2 n 3n-12 2 482n12n116n-1=-1+(1-2 n) 3 . Tn=1 +(n-

17、)3n-1 ( n2).2 2又t=a1=1也满足上式， Tn=1 +(n- !)3n-1 ( n Nk).2 21 357变式应用7试求一，一,一，一，的前n项和.2 4 8 161 3 57 2n 1 金解析 S= + + + + -，2 4 8 162n2n+ 2n1 135 2n 3Sn=+ + n2 4 8 162-得一s=1+2+2 + 2+.+Z2LJ224 8 162n 2n 11111=+ +2n 11+12洛)12n 12n3 2n 32 2n 1-S=3-2n 32n214. 倒序相加法如果求和的结构中“每两项”的和为同一常数，可以用倒序相加法求解例8:设f(x)=,类比推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-2008)+ f (-2007)+f (0)+ f(1)寸2 2x+f (2008)+ f(2009).解析2 2 f(X)+f(1-X)=x1 x22x 0, Tn=b+b2+bn=_4当 n6 时，bn6 时，bn0,| bn|=- bn. -