八级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形（第2课时）教学课件 （新版）北师大版

1、第2课时 2 直角三角形 1.1.能够证明直角三角形全等的能够证明直角三角形全等的“HLHL”判定定理判定定理. . 2.2.能利用能利用“HLHL”判定定理解决简单的实际问题判定定理解决简单的实际问题. . 3.3.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，体初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，体 验解决问题的多样性，提高实践能力和创新能力验解决问题的多样性，提高实践能力和创新能力 1.1.判断两个三角形全等的方法有哪些判断两个三角形全等的方法有哪些? ? 2.2.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形 全等吗？全等吗？ SSSSSS、SASSAS

2、、ASAASA、AASAAS 两边及其中一边的对角对应相等的两个三两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等角形不一定全等. . 试一试，你能举出反例吗？试一试，你能举出反例吗？ 【规律方法规律方法】举反例判定假命题是一种重要的证举反例判定假命题是一种重要的证 明方法明方法! ! 由图由图(1)(1)和图和图(2)(2)可知可知, ,这两个三角形全等这两个三角形全等; ; 由图由图(1)(1)和图和图(3)(3)可知可知, ,这两个三角形不全等这两个三角形不全等; ; 因此因此, ,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角两边及其中一边的对角对应相等的两个三角 形不一定全等形不一定全等

3、. . A B C A B CA B C (1) (2) (3) 小明在证明小明在证明“等边对等角等边对等角”时，通过作等腰三角形底边的高来证明过程如时，通过作等腰三角形底边的高来证明过程如 下：下： 已知：已知：在在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC 求证：求证：B=CB=C 证明：证明：过过A A作作ADBCADBC，垂足为，垂足为D D， ADB=ADC=90ADB=ADC=90. . 又又AB=ACAB=AC，AD=ADAD=AD，ABDABDACDACD B=CB=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）. . 你同意他的证法吗？你同意他的证法吗？ D DC C

4、B B A A 小颖说：小颖说：推理过程有问题他在证明推理过程有问题他在证明 ABDABDACDACD时，用了时，用了“两边及其中一边的对角对两边及其中一边的对角对 应相等的两个三角形全等应相等的两个三角形全等”而我们刚刚举过反例，而我们刚刚举过反例， 两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这 两个三角形是不一定全等的两个三角形是不一定全等的 如图所示：在如图所示：在ABDABD和和ABCABC中，中，AB=ABAB=AB， B=BB=B，AC=ADAC=AD，但，但ABDABD与与ABCABC不全等不全等 C CD D B B A A 小刚说：

5、小刚说：小颖这里说的小颖这里说的B B是锐角，如果是锐角，如果B B是直角，是直角， 即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等 的我认为小明同学的证明无误的我认为小明同学的证明无误 你同意谁的说法？你同意谁的说法？ 你能用自己的语言叙述这一结论吗？你能用自己的语言叙述这一结论吗？ 直角三角形全等的判定定理：直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用这一定理可以简单地用“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HLHL” 表示表示. . 想一想：如何

6、证明呢？想一想：如何证明呢？ 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC和和A A B B C C 中中, AC=A, AC=A C C , , AB=AAB=A B B , C=C, C=C =90=90. . 求证求证: :ABCABCA A B B C C 分析分析: :要证明要证明ABCABCA A B B C C , ,只只 要能满足要能满足(SSS),(SAS),(ASA)(SSS),(SAS),(ASA)和和 推论推论(AAS)(AAS)中的一个即可中的一个即可. .由已由已 知和勾股定理易知知和勾股定理易知, ,第三条边也第三条边也 对应相等对应相等. .你能写出它的证明过你

7、能写出它的证明过 程吗程吗? ? AA A A B BC C BBCC 【证明证明】 AA A A B B C C BBCC 已知：在已知：在RtRtABCABC和和RtRtA A B B C C 中，中， C=CC=C =90=90，AB=AAB=A B B ， BC=BBC=B C C ， 求证：求证：RtRtABCRtABCRtA A B B C C 证明：证明：在在RtRtABCABC中，中， ACAC2 2=AB=AB2 2BCBC2 2( (勾股定理勾股定理) ) 在在RtRtA A B B C C 中，中， A A C C 2 2= A= A B B 2 2B B C C 2 2

8、 ( (勾股定理 勾股定理) )， 又又AB= AAB= A B B ，BC= BBC= B C C ， AC= AAC= A C C RtRtABCRtABCRtA A B B C C (SSS)(SSS) 定理定理: :斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角 形全等形全等( (斜边斜边, ,直角边或直角边或HL).HL). 如图如图, ,在在ABCABC和和A A B B C C 中中, C=C, C=C =90=90 , , AC=AAC=A C C , AB=A, AB=A B B , (, (已知已知) ) RtRtABCRtABCRtA A B

9、 B C C . (HL). (HL) 直角三角形全等的判定定理及其三种数学语言表示直角三角形全等的判定定理及其三种数学语言表示 AA A A B BC C BB CC 判断下列命题的真假判断下列命题的真假 1.1.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； 2.2.斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等； 3.3.两直角边对应相等的两个直角三角形全等两直角边对应相等的两个直角三角形全等； 4.4.一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的 两个直角三角形全等两个直角三角形全

10、等. . 【做一做做一做】 假假 真真 真真 真真 A A B B O O P P M M N N 【例例】你能用三角尺平分一个已知角吗你能用三角尺平分一个已知角吗? ? 1.1.在已知在已知AOBAOB的两边上分的两边上分 别取点别取点M M，N N，使，使OM=ONOM=ON； 2.2.再过点再过点M M作作OAOA的垂线，过的垂线，过 点点N N作作OBOB的垂线，两垂线交的垂线，两垂线交 于点于点P P，那么射线，那么射线OPOP就是就是 AOBAOB的平分线的平分线 请你证明请你证明OPOP平分平分AOBAOB，注意证明格式哦！，注意证明格式哦！ 【例题例题】 已知：点已知：点M M

11、，N N在在 AOBAOB的两边上的两边上 ， 且且OM=ONOM=ON；点；点P P在在AOBAOB的内部，的内部， PMOAPMOA于点于点M M， PNOBPNOB于点于点N.N. 求证：求证：OPOP平分平分AOBAOB 【证明证明】PMOAPMOA，PNOBPNOB， OMP=ONP=90 OMP=ONP=90. . 又又 OM=ON(OM=ON(已知）已知），OP=OP(OP=OP(公共边），公共边）， RtRtOMPRtOMPRtONP(HL)ONP(HL)， AOP= BOPAOP= BOP， OPOP平分平分AOBAOB 如图如图, ,已知已知ACB=BDA=90ACB=BD

12、A=90, , 要使要使ABCABCBAD, BAD, 还需要什么条件还需要什么条件? ?把它们分别写出来把它们分别写出来. . 提示：提示：添加添加AC=BDAC=BD，或，或BC=ADBC=AD，或，或 ABC=BADABC=BAD，或，或CAB=DBACAB=DBA O O D DC C A AB B 【跟踪训练跟踪训练】 1.1.（北京北京 中考）已知：如图，点中考）已知：如图，点A A，B B，C C，D D在在 同一条直线上，同一条直线上，EAEA ADAD，FDFD ADAD，AE=DFAE=DF， AB=DC.AB=DC. 求证：求证： ACE=ACE= DBF.DBF. 【证

13、明证明】AB=DCAB=DC，AC=DBAC=DB， EAEA ADAD，FDFD ADAD， A=A= D=90D=90. . 在在EACEAC与与FDBFDB中，中，EA=FDEA=FD， A=A= D =90D =90，AC=DBAC=DB， RtRtEACEACRtRtFDBFDB， ACE=ACE= DBF.DBF. 【证明证明】BDACBDAC，CEABCEAB， ADB=AEC=90ADB=AEC=90， 在在ABDABD和和AECAEC中，中， ADB=AEC=90ADB=AEC=90，A=AA=A，AB=ACAB=AC， RtRtABDABDRtRtACEACE， BD=CE.BD=CE. A B C DE 2.(2.(十堰十堰中考中考) )如图，如图，ABCABC中，中， AB=ACAB=AC，BDACBDAC，CEAB.CEAB. 求证：求证：BD=CE.BD=CE. 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理: SS