北师大版必修5数学《2.2三角形中的几何计算》习题精选含答案

1、2三角形中的几何计算课后篇 巩固探究1. 在 ABC中 , 若 A=105 , B=30 , BC= , 则角 B 的平分线的长是()A.B.2C.1D.解析 : 设角 B的平分线与AC交于点 D, 则在 BCD中 , BDC=120 , BCD=45, BC= , 由正弦定理可知 BD=1.答案 : C2. 在 ABC中 , 若 AC=, BC=2, B=60 , 则 BC边上的高等于()A.B.C.D.解析 : 如图 , 在 ABC中 , 由余弦定理可知222B, AC=AB+BC- 2AB BCcos2即 7=AB+4- 22AB .2整理得 AB- 2AB-3=0.解得 AB=3 或

2、AB=-1( 舍去 ) .故 BC边上的高 AD=AB sinB=3sin 60 =.答案 : B3. 若 ABC的周长等于20, 面积是 10, A=60 , 则 BC边的长是 ()A.5B.6C.7D.8解析 : 在 ABC中 , 分别用 a, b, c 表示边 BC, CA, AB.依题意及面积公式S= bcsin A, 得 10bc sin 60 , 即 bc=40.又周长为 20, 所以20,20-a.a+b+c=b+c=由余弦定理 , 得 a2=b2+c2- 2bccos A=b2+c2- 2bccos 60 =b2+c2-bc= ( b+c) 2- 3bc,所以 2 (20-a)

3、 2-120, 解得7a =a= .答案 : C4. 在 ABC中 , 角 A, B, C所对的边分别为a, b, c 且满足 csinA=acos C.当 sin A-cos取最大值时 , A 的大小为 ()A.B.C.D.解析 : 由正弦定理得sinCsinA=sinAcos C.因为 0A0,从而 sinC=cos C.又 cosC 0, 所以 tanC=1, 则 C= ,所以 B= -A.于是sinA-cossinA-cos( -A )=sincos2sin.A+A=因为 0, 所以A+, 所以当A+,A即 A= 时 ,2sin取最大值 2.答案 : A5导学号33194042 在AB

4、C中, 若60 ,2, 周长为 2(1+), 则A.C=c=为 ()A.30 B.45 C.45或 75D.60解析: 根据正弦定理 , 得 2R=, 所以 sinA+sinB+sin 60 =, 所以 sinA+sinB=, 即 sinA+sin( A+C) =?sin( A+60 ) +sinA=sin( A+30 ) =?sin( A+30 ) =, 所以 A+30 =75或 A+30 =105 , 所以 A=45或 A=75 .答案 : C6. 已知三角形的一边长为7, 这条边所对的角为60 , 另两边之比为32, 则这个三角形的面积是.解析 : 设另两边分别为3x,2 x, 则cos

5、 60 =, 解得 x=,故两边长为 3和 2,所以 S= 3 2 sin 60 =.答案 :7. 已知在 ABC中, AC=2,AB=3, BAC=60 , AD是 ABC的角平分线 , 则 AD=.解析 : 如图 , ,S=S+SACDABCABD所以 32sin 60 = 3ADsin 30 + 2ADsin 30 , 所以 AD=.答案 :8. 在 ABC 中 , 若AB=a,AC=b, BCD为等边三角形, 则当四边形ABDC的面积最大时, BAC=.解 析 : 设 BAC= , 则 BC=a +b - 2abcos .S 四 边 形=S +S = absin 222ABDCABCB

6、CD222- 60 ), 即当 BAC=150时 , S 四边形 ABDC取得最大值 .+ BC=( a +b ) +ab sin(答案 : 1509. 已知 ABC 的一个内角为120 , 并且三边长构成公差为4 的等差数列 , 则 ABC 的面积为.解析 : 设三角形的三边依次为a- 4, a, a+4, 可得 a+4的边所对的角为120.由余弦定理得 (4)22(4) 22 (a-4) cos 120 , 则10, 所以三边长为 6,10,14,a+=a + a-aa=S= 10sin 120=.ABC615答案 : 1510. 已知 ABC的重心为 G, 角 A, B, C所对的边分别

7、为a, b, c, 若 2a+3c=0, 则 sinAsin Bsin C=.解析 : 因 为 G 是 ABC 的重 心 , 所 以=0, 又 2a+3c=0, 所以2a- 3c() =0, 即 (2 a- 3c) +(b- 3c)=0, 则所以 abc=3 22, 由正弦定理 , 得 sinAsinBsinC=322.答案 : 32 211.导学号 33194043(2017 全国 2 高考 ) 的内角, ,的对边分别为, ,ABCA B Ca b c.已知 sin( A+C) =8sin 2 .(1) 求 cos B;(2) 若 a+c=6, ABC的面积为 2, 求 b.解 (1) 由题

8、设及 A+B+C= , 得 sin B=8sin 2 ,故 sin B=4(1 - cos B) .上式两边平方 , 整理得 17cos 2B- 32cos B+15=0,解得 cos B=1( 舍去 ),cosB= .(2) 由 cosB= 得 sinB=,故 S ABC= acsinB= ac.又 S ABC=2, 则 ac=.由余弦定理及a+c=6 得b2=a2+c2- 2accos B=( a+c) 2- 2ac(1 +cos B)=36- 2=4.所以 b=2.12.导学号 33194044(2017 全国 3 高考 ) ABC的内角 A, B, C的对边分别为a, b, c.已知 sinA+cosA=0, a=2, b=2.(1) 求 c;(2) 设 D为 BC边上一点 , 且 AD AC, 求 ABD的面积 .解 (1) 由已知可得 tan A=- , 所以 A= .在 ABC中 , 由余弦定理得28=4+c2