华东师大二附中届暑期练习(二)

1、华 东 师 大 二 附 中 届 暑 期 练 习 （ 二 ）数 学 试 卷一 .填空题（本大题满分分）本大题共有题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 设 U R , M x | x22x 0 ，则 CU M计算： limPn2.n123n 二项展开式 ( x1 )6 中的常数项为（用数字作答）x已知一个关于112x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是1，则 x+y=.02.已知点为的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且xy的值为 .AMxAB ， ANyAC ，则xy1020 ，则直线 l 的一个法向量是.直线l的方程为 x23.y12. 函数 y

2、sin xcos x 的最大值为.6. 在极坐标系中，点(2,) 到直线cossin1 0 的距离等于 .4若直线 3x 4ym0x1cos为参数）没有公共点，则实数m 的与曲线2（ysin取值范围是 .已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm . 已知函数 f ( x) a x 12(a 0,且 a1), 设 f1 (x)是 f ( x) 的反函数若 yf 1 (x) 的图象不经过第二象限，则a 的取值范围1 / 13知离散型随机变量的分布列如右表。若Ex0 ， Dx1 ，则 a， b。1112已知函数f ( x) 是定义在 R

3、上的奇函数 .当 x0 时， f (x)x26 ，则 x0 时，不等式 f ( x)x 的解集为设 nN * ，圆 Cn ： x2y2Rn2 ( Rn0) 与 y 轴正半轴的交点为M ，与曲线 yx 的交 点 为 N ( xn , yn ) ， 直 线 MN 与 x 轴 的 交 点 为 A(an ,0) . 若 数 列xn满 足 ：xn 14xn3, x13 . 则常数 p使数列an 1p an 成等比数列；二.选择题（本大题满分分）本大题共有题，每题只有一个正确答案, 选对得分，答案代号必须填在答题纸上注意试卷题号与答题纸上相应编号一一对应, 不能错位 .一个水平放置的三角形的斜二测直观图是

4、有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 ( )（） . 锐角三角形（） . 直角三角形（） . 钝角三角形（） . 以上都有可能 为了得到函数y sin(2 x) 的图象，只需把函数y sin 2x 的图象 ()3（）向左平移个单位长度（）向右平移个单位长度33（）向左平移个单位长度（）向右平移个单位长度66等差数列an中，公差 d2 ，且 a1 , a3 , a4 成等比数列，则 a2（）（）4（） 6（） 8（） 10如果函数| x |2 的图像与曲线 C : x2y24 恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）（） 1,1)（ ） 1,0（） (,1 0,1)（） 1,0 (

5、1, )三、解答题2 / 13（本题满分分）本题共有个小题，每小题满分各分z如图，在棱长为的正方体1C中，点是棱上的动点.D1C1（）求证： ；A1B1（）若直线与平面成角为，求AE 的值；DABC yAEBx.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分已知虚数 z1cosi sin ， z2cosi sin ，（）若 z1z225 ，求 cos() 的值；（）若 ,5是方程的两个根，求实数的值。 （本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分气象台预报，距离S 岛正东方向300km的 A 处有一台风形成，并以每小时30km的速度向北偏西 30 的方向移动，在距台风中心

6、处不超过270km 以内的地区将受到台风的影响.问： () 从台风形成起经过小时，S 岛是否受到影响（精确到0.1km）？ () 从台风形成起经过多少小时，岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到小时)3 / 13. （本题满分分）本题共有个小题，第小题 满分分， 满分分；第小题满分分已知椭圆 C 的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1 、 F2 ，抛物线 M : y24mx (m0) 的准线与 x 轴交于 F1 ，椭圆 C 与抛物线 M 的一个交点为 P .（）当m1时， 求椭圆C的方程；直线l过焦点MABF2，与抛物线两点，交于 、若弦长 AB 等于PF1F2 的周长，求直线l

7、的方程；（）是否存在实数m ，使得PF1 F2 的边长为连续的自然数. （本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分在 数 列an 中，若 an2an 12k （ n 2 ， nN* ， k 为常数），则称 an 为 X 数 列 （ ）若 数 列 bn是 X 数 列 ， b11 ， b23 ，写 出 所 有 满 足 条 件 的 数 列 bn的前 4项；（ ） 证 明 ： 一 个 等 比 数 列 为 X 数 列 的 充 要 条 件 是 公 比 为 1或 1；（ ）若 X 数 列c 满足 c1 2 ，c22 2，cn 0 ，设数 列1 的 前 n 项 和 为 Tn 是nc

8、n4 / 13否 存 在 正 整 数 p, q ，使 不 等 式 Tnpn q 1 对 一 切 nN * 都 成 立 ？ 若 存 在 ，求出 p, q 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由(参 考 答 案 )考生注意：. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号填写清楚.并在规定的区域内贴上条形码。. 本试卷共有道试卷，满分分考试时间分钟.一 .填空题（本大题满分分）本大题共有题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 设 U R , M x | x22x 0 ，则 CU M（理科）计算：limPn21 23nn 二项展开式 ( x1)6 中的常数

9、项为20（用数字作答）x112.（理科） 已知一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是1，则 x+y=02（.理科）已知点为的重心，过作直线与、 两边分别交于、 两点，且 AMAN y AC，xAB ，则 xy 的值为 . 1x y3解：、三点共线AGAM(1 ) ANxAB(1) y ACx113xy1又为 的重心AG1ABAC ，所以1x y333) y(135 / 13102.（理科）直线 l 的方程为 x230 ，则直线 l 的一个法向量是.y12答案k,2 k 其中 k0.（理科）函数 ysinxcos x 的最大值为3.46.（理科）在极坐标系中，点 ( 2,) 到直线cos

10、sin10 的距离等于2 .42( 理科 ) 若直线 3x4 ym0与曲线x1cos为参数）没有公共点，则实数y（2 sinm 的取值范围是 m10 或 m0 .(理科 )已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为17cm .( 理 科 ) 已 知 函 数 f (x)a x 12(a0,且 a1), 设 f1 ( x)是 f (x) 的 反 函 数 若yf 1 ( x) 的图象不经过第二象限，则a 的取值范围a2.解 得f1 (x) loga(x2)1,要使 yf1 ()只 需x 的 图 象 不 过 第 二 象 限 ,lo ag210,a

11、1,解得 a2.（理科）知离散型随机变量的分布列如右表。若Ex0 ， Dx 1，则 a ， b。1解：由题知 abc11， ac10 ，11261215 ， b1 .12a 12c 221，解得 a12124已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 .当 x0 时， f (x)x26 ，则 x0 时，不等式 f ( x)x 的解集为 (2,0)(2,)6 / 13设 nN * ，圆 Cn ： x2y2Rn2 ( Rn0)与 y 轴正半轴的交点为M ，与曲线 yx 的交 点 为 N ( xn , yn )， 直 线 MN 与 x轴 的 交 点 为 A(an ,0).若 数 列xn满 足

12、：xn 14xn3, x13 . 则常数 p或使数列 an1p an成等比数列；解,yx 与圆 Cn 交于点 N ,则 Rn2xn2yn2xn2xn , Rnxn2xn,由题可知，点M 的坐标为0,Rn，从而直线MN的方程为xy1 ,由点anRnN (xn , yn ) 在直线 MN 上得 :xnyn1 ,将 Rnxn2xn， ynxn代入化简得 :anRnan1xn1xn .由 xn 14xn 3得： 1xn 14(1xn ) , 又 1x14，故 1 xn4 4n 14n ，an4n4n4n2nan 1p an4n 12n 1p (4 n2n ) (4 p) 4n(2 p) 2n ，an

13、2p an14n 22n2p(4 n12n 1) (164 p) 4n(42 p)2n令 an 2p an 1q(an 1p an ) 得：(164p) 4n(42 p)2nq(4p)4nq(2p)2n由等式(164 p)2n(42 p)q(4p)2nq(2p) 对任意 nN *成立得：164 pq(4p)pq8p2p44 2 p q(2 p)pq，解得：或26q4q故当 p2 时，数列an 1p an成公比为4 的等比数列；当 p4 时，数列an1p an成公比为的等比数列。二.选择题（本大题满分分）本大题共有题，每题只有一个正确答案, 选对得分，答案代号必须填在答题纸上注意试卷题号与答题纸

14、上相应编号一一对应, 不能错位 .7 / 13（理科）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 ( )（） . 锐角三角形（） . 直角三角形（） . 钝角三角形（） . 以上都有可能 为了得到函数 ysin(2 x) 的图象，只需把函数ysin 2x 的图象 ( )3（）向左平移个单位长度（）向右平移个单位长度33（）向左平移个单位长度（）向右平移个单位长度66等差数列an 中，公差 d2 ，且 a1 , a3 , a4 成等比数列，则 a2（）（）4（）6（）8（）10（理科） 如果函数| x | 2 的图像与曲线 C : x2y24恰好有两个不同的

15、公共点，则实数的取值范围是（）（） 1,1)（ ） 1,0（） (, 1 0,1)（） 1,0 (1,)解：数形结合，分类讨论。当0 时，曲线 C 表示两条平行直线x2 ，与曲线| x | 2 有两个公共点；当1 时，曲线 C 表示圆 C : x2y24 ，与曲线| x |2 有三个公共点当 01时，曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆 x2y21，与曲线| x | 2 有两个公共44点；当1 时，曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆 x2y21 ，与曲线 | x | 2 有四个公共点；44当0 时，曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线x2y21 ，考虑双曲线的渐近线，当4410时与曲线| x

16、| 2 有两个个公共点；所以1,1)答案选三、解答题（本题满分分）本题共有个小题，每小题满分各分8 / 13（理科）如图，在棱长为的正方体1C中，点是棱上的动点.（）求证：；（）若直线与平面成角为，求AE 的值；AB解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则()（，），()，()()() ，设 ()（ ）zD1C1（）证明： DA1(1,0,1)， ED1( 1, m,1)A1B1DA1 ED11 ( 1)0 ( m) 1 1 0DC y所以 .分（）设平面的一个法向量为v ( x, y, z) ,则vC D10，而 CD1(0, 1,1)， CE(1,m 1,0)vC E0所以yz0,取 ,

17、得，得 v(1 m,1,1) .x(m1)y 0,AEBx因为直线与平面成角为，所以 sin 45 |cos DA1, v|所以| DA1 v |2 ，所以| 2m |2 ，解得1 分| DA1 | | v |22 m22m 322.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分（理科）已知虚数z1cosi sin， z2cosi sin，（）若 z1z22，求 cos() 的值；5（）若 ,5是方程的两个根，求实数的值。解（） z1z2 (coscos)i (sinsin) ，分 z1z225 ，(coscos )2(sinsin ) 22 5， 分5542( )53 .分259

18、/ 13（）由题意可知，分且 z1 z2ccos2sin 21分c 3 ，经检验满足题意。分3 （本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分（理科）气象台预报，距离S 岛正东方向300km的 A 处有一台风形成，并以每小时30km的速度向北偏西30 的方向移动，在距台风中心处不超过270km 以内的地区将受到台风的影响.问： () 从台风形成起经过小时，S 岛是否受到影响（精确到0.1km）？ () 从台风形成起经过多少小时，岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到小时)解 ()设台风中心经过小时到达点， 由题意，在SAB中，SAB 90 3060，根据余弦定理，SB2SA 2

19、AB 22SA AB cos SAB30029022 300 90cos 60B30分=71100 .SASB=71100266.6 .所以，经过小时岛已经受到了影响分()可设台风中心经过小时到达点，由题意得，SAB903060在 V SAB 中， 由余弦定理，SB2SA2AB 22SA ABcosSAB. 3002( 30t )2230030t cos 60分若岛受到台风影响，则有SB270，而 SB22702 ,化简整理得 t 210t190,解此不等式得 56 t 56 即t 的范围大约在小时与小时之间 所以从台风形成起， 大约在小时岛开始受到影响，约持续小时以后影响结束分. （本题满分

20、分）本题共有个小题，第小题 满分分， 满分分；第小题满分分（理科）已知椭圆C 的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1 、 F2 ，10 / 13抛物线 M : y24mx (m0) 的准线与x 轴交于 F1 ，椭圆 C 与抛物线 M 的一个交点为P .（）当 m1时， 求椭圆 C 的方程；直线l 过焦点 F2 ，与抛物线 M 交于 A、B 两点，若弦长 AB 等于PF1F2 的周长，求直线l 的方程；（）是否存在实数m ，使得PF1 F2 的边长为连续的自然数. 解：（）设椭圆的实半轴长为,短半轴长为，半焦距为,当 m 时，由题意得， 2c, b2a 2c23,a 24 ,所以椭圆的方程

21、为x2y2431.（分）依题意知直线 l 的斜率存在，设 l : yk( x1)，由y 24x得，yk( x1)k 2 x2(2k 24) xk 20 ，由直线 l 与抛物线 M 有两个交点，可知 k0 .设 A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) ，由韦达定理得x1x22k 2 24242 , x1 x21 ，kk则 AB1k2x1x2(1k2)(242441k 2k2 )2（分）k因为 PF1 F2 的周长为2a2c6 ，所以 4 1k26 ，（分）k 2解得 k2 ，从而可得直线l 的方程为 2x2 y2 0（分）（ ） 假 设 存 在 满 足 条 件 的 实 数 m ， 由

22、题 意 得 cm, a2m, F1 F22m， 又 设PF1r1 , PF2r2 , r1r2 2a4m ，设 P( x0 , y0 ) ，对于抛物线，有r2x0m, 对x02y0211于椭圆，由4m23m 2得 r2(4mx0 )（分）y02r2x0 m2211 / 131(4mx0 ) 解得： x0257由 x0 mm ，所以 r2m ，从而 r1m ，因此， PF1F225 m 、 6 m 、 7 m ，333的边长分别为333当 m3 时，使得PF1F2 的边长为连续的自然数.（分）. （本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分（ 理 科 ） 在 数 列an 中，若 an 2an 12k （ n 2 ， nN* ， k 为常数），则称 an 为 X 数 列 （ ）若 数 列 bn是 X 数 列 ， b11 ， b23 ，写 出 所 有 满 足 条 件 的 数 列 bn的前 4项；（ ） 证 明 ： 一 个 等 比 数 列 为 X 数 列 的 充 要 条 件 是 公 比 为 1或1；（ ）若 X 数 列c满足 c12 ，c222 ，cn0 ，设数 列1 的 前 n 项 和 为 Tn 是ncn否 存 在 正 整 数 p, q ，使 不 等 式 Tnpn q1 对 一 切 nN * 都 成 立 ？ 若