压轴题中路径最值问题

1、_路径最值问题1、如图，已知直线 y1x 1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y1x2bx c 与直线交于22A、 E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且B 点坐标为(1 ，0) 。（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）动点 P 在轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。（ 3）在抛物线的对称轴上找一点M，使 | AMMC |的值最大，求出点M的坐标。精品资料_2、 如图，已知抛物线2与轴交于点 (0 ，3) ，与轴分别交于 (1 ，0) 、 (5 ，0) 两点（1）y ax bxcyxABC求此抛物线的解析式；（ 2）若一个动点P 自 OA的中点 M出

2、发，先到达x 轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点A求使点 P 运动的总路径最短的点E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长yAO BCx精品资料_3、 已知 , 如图 11, 二次函数y ax22ax 3a ( a 0) 图象的顶点为 H , 与 x 轴交于 A 、B 两点 ( B 在 A 点右侧 ), 点 H 、 B 关于直线 l : y3 x3 对称 .3（ 1）求 A 、 B 两点坐标 , 并证明点 A 在直线 l 上 ;（ 2）求二次函数解析式 ;（ 3 ）过点 B 作直线 BK AH 交直线 l 于 K 点 , M 、 N 分别为直线

3、AH 和直线 l 上的两个动点 , 连接HN 、 NM 、 MK , 求 HNNMMK 和的最小值 .yyllHHKKAOBxAOBx图 11备用图精品资料_4、如图 13，抛物线y=ax2 bx c(a 0) 的顶点为（ 1,4 ），交 x 轴于 A、 B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（ 3,0 ）（ 1）求抛物线的解析式（ 2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点G为 PQ上一动点，则x 轴上是否存在一点H，使 D、 G、 F、 H 四点围成的四边形周长最小. 若存在，求出这个最小值及G、 H

4、 的坐标；若不存在，请说明理由.（ 3）如图 15，抛物线上是否存在一点T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为M，过点 M作直线 MN BD，交线段AD于点 N，连接 MD，使 DNM BMD，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.精品资料_路径最值问题1、如图，已知直线 y1x 1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y1x2bx c 与直线交于22A、 E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且B 点坐标为(1 ，0) 。（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）动点 P 在轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。（ 3）在抛物线的对称轴上找一点M，使 |

5、 AMMC |的值最大，求出点M的坐标。解：（1）将 A（0，1）、B（1，0）坐标代入得，解得抛物线的解折式为；（2）设点 E的横坐标为m，则它的纵坐标为，即 E点的坐标（）又点 E在直线上解得（舍去），E的坐标为（4，3）；（）当 A为直角顶点时，过A作 AP1DE交 x 轴于 P1 点，设 P1（a，0）易知 D点坐标为（-2 ，0）由 RtAODRtPOA得即，a=，P（，0）；1（）同理，当E为直角顶点时，P2 点坐标为（，0）；（）当 P为直角顶点时，过E作 EFx 轴于 F，设 P3（b、3）由OPA+FPE=90，得OPA=FEP，RtAOPRtPFE由得，解得，此时的点P3

6、的坐标为（1，0）或（3，0）综上所述，满足条件的点P 的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；（）抛物线的对称轴为，B、C关于对称，MC=MB，要使最大，即是使最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大，易知直线 AB的解折式为y=-x+1，由得，M。精品资料_2、 如图，已知抛物线2与轴交于点 (0 ，3) ，与轴分别交于 (1 ，0) 、 (5 ，0) 两点（1）y ax bxcyxABC求此抛物线的解析式；（ 2）若一个动点P 自 OA的中点 M出发，先到达x 轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点A求使点

7、 P 运动的总路径最短的点E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长yAO BCx解：（ 1）根据题意， c=3所以解得所以抛物线解析式为。（ 3）如图，由题意，可得M（0，）点 M关于 x 轴的对称点为M（ 0， -）点 A 关于抛物线对称轴x=3 的对称点为A （ 6，3），连结AM根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM 的长就是所求点P 运动的最短总路径的长所以 AM 与 x 轴的交点为所求E 点，与直线x=3 的交点为所求F 点可求得直线AM 的解析式为y=可得 E 点坐标为（ 2， 0）， F 点坐标为（ 3，）由勾股定理可求出AM=所以点 P 运动的最短总路径（ME+EF+FA）

8、的长为。精品资料_3、 已知 , 如图 11, 二次函数y ax22ax 3a ( a 0) 图象的顶点为 H , 与 x 轴交于 A 、B 两点 ( B 在 A 点右侧 ), 点 H 、 B 关于直线 l : y3 x3 对称 .3（ 1）求 A 、 B 两点坐标 , 并证明点 A 在直线 l 上 ;（ 2）求二次函数解析式 ;（ 3 ）过点 B 作直线 BK AH 交直线 l 于 K 点 , M 、 N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点 , 连接HN 、 NM 、 MK , 求 HNNMMK 和的最小值 .yyllHHKKAOBxAOBx图 11备用图解：（ 1）依题意，得 ax

9、2+2ax-3a=0 （ a0），解得 x1= 3， x2=1， B 点在 A 点右侧， A 点坐标为（ 3， 0）， B 点坐标为（ 1， 0），证明：直线l ：，当 x= 3 时，点 A 在直线 l 上；（ 2）点 H、 B 关于过 A 点的直线 l ：对称， AH=AB=4，过顶点 H作 HC AB交 AB于 C点，则， 顶点，代入二次函数解析式，解得，二次函数解析式为，（ 3）直线 AH的解析式为，直线 BK的解析式为，由，解得，即，则 BK=4，点 H、 B 关于直线 AK 对称， HN+MN的最小值是 MB，过点 K 作直线 AH的对称点 Q，连接QK，交直线 AH于 E，则 QM

10、=MK，AE QK， BM+MK的最小值是 BQ，即 BQ的长是HN+NM+MK的最小值， BK AH， BKQ= HEQ=90，由勾股定理得QB=8， HN+NM+MK的最小值为 8，精品资料_4、如图 13，抛物线y=ax2 bx c(a 0) 的顶点为（ 1,4 ），交 x 轴于 A、 B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（ 3,0 ）。（ 1）求抛物线的解析式（ 2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点G为 PQ上一动点，则x 轴上是否存在一点H，使 D、 G、 F、 H 四点围成的四边形周长

11、最小. 若存在，求出这个最小值及G、 H 的坐标；若不存在，请说明理由.（ 3）如图 15，抛物线上是否存在一点T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为M，过点 M作直线 MN BD，交线段AD于点 N，连接 MD，使 DNM BMD，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.解：（ 1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得：解得： a 1所求抛物线的解析式为：（ 2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点 I 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一点 H，连接 HF、 HI 、 HG、GD、 GE，则 HFHI 设过 A、 E 两点的一次函数解析式为： y

12、 kx b（ k 0），点E 在抛物线上且点E 的横坐标为2，将x 2 代入抛物线，得点 E 坐标为（ 2， 3）又抛物线图像分别与x 轴、 y 轴交于点A、 B、 D当 y 0 时， x 1 或 x3当 x 0 时， y 1 4 3,点 A（ 1， 0），点 B（ 3，0），点 D（ 0， 3）又抛物线的对称轴为：直线x 1，点 D 与点 E 关于 PQ对称， GD GE分别将点A（ 1， 0）、点 E（ 2， 3）代入 y kx b，得：解得：过 A、 E 两点的一次函数解析式为：yx 1当 x0 时， y1点 F 坐标为（ 0， 1） =2又点 F 与点 I 关于 x 轴对称，点 I 坐标为（ 0， 1）又要使四边形 DFHG的周长最小，由于 DF是一个定值，只要使 DG GHHI 最小即可由图形的对称性和、，可知，精品资料_DG GH HF EG GH HI只有当 EI 为一条直线时，EG GH HI 最小设过 E（ 2， 3）、 I （0， 1）两点的函数解析式为：，分别将点E（ 2， 3）、点 I （ 0， 1）代入，得：解得：过 A、 E 两点的一次函数解析式为：y2x 1当 x 1 时， y 1；当 y0 时， x ；点 G坐标为（ 1， 1），点 H 坐标为（，0）四边形 DFHG的周长最小为： DF DG GH HF DF EI