2019春四川省乐山市高二(下)期末数学试卷(文科)

1、2019 春四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1. 某中学有高中生 3500 人，初中生 1500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70 人，则 n 为（）A. 100B. 150C. 200D. 2502.若复数-为纯虚数 ,则实数 m 的值为 ()A. -B.0C.1D.23. 一个样本数据按从小到大的顺序排列为13， 14， 19， x， 23，27， 28，31，其中位数为 22，则 x 等于（）A. 21B. 22C. 23D. 244. 如图是某公司 10 个

2、销售店某月销售某产品数量 （单位：台）的茎叶图，则数据落在区间 22，30）内的概率为（）A.B.C.D.5.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5 的概率等于（）A.B.C.D.6.曲线 f （ x） =x3-x+3 在点 P 处的切线平行于直线y=2x-1，则 P 点的坐标为（）A.B.C.和D.7.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，则一开始输入的 x 的值为（）A.B.C.D.第1页，共 13页8. 设集合 A=B=1 ，2，3， 4，5，6

3、，分别从集合A 和 B 中随机各取一个数x， y，确定平面上的一个点22 16为”事件 C，则 CP（x，y），记 “点 P（ x，y）满足条件 x+y的概率为（）A.B.C.D.9.在区间 0，1上任取两个实数a，b，则函数 （f x）=x2+ax+b2 无零点的概率为 （）A.B.C.D.10. 根据如下样本数据：x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到了回归方程= x+ ，则（）A.,B.,C.,D.,11.若函数 f（ x） =x3-tx2+3x 在区间 1， 4上单调递减，则实数t 的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知函数 f(x) x(lnx ax)有两

4、个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.用简单随机抽样的方法从含有100 个个体的总体中依次抽取一个容量为5 的样本，则个体 m 被抽到的概率为 _14. 已知复数 z满足（ 1+2i ） z=4+3 i，则 |z|=_15. 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， E 分别为 BB 1 的中点，则AE 与 CD1 所成角的余弦值为 _16.若曲线 C1： y=ax2（a 0）与曲线 C2： y=ex 在（ 0， +）上存在公共点，则a 的取值范围为 _三、解答题（本大题共6 小题，共 70.0 分）17.已知函数 f（

5、 x） =x3+（ 1-a） x2-a（ a+2） x+b（a， bR）（ 1）若函数 f（ x）的导函数为偶函数，求a 的值；（ 2）若曲线 y=f （ x）存在两条垂直于 y轴的切线，求 a 的取值范围第2页，共 13页18. 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（ ）从该班随机选1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（ ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中， 有 5 名男同学A1，A2 ，A3，A4，A5，3 名女同学 B1 ，B2，B3 现从这 5 名男同学

6、和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD ，E 为 PD 的中点（ 1）证明： PB平面 AEC；（ 2）设 AP=1 ， AD =，三棱锥P- ABD 的体积，求 A 到平面 PBC 的距离20.已知函数，（ 1）求 f（ x）在区间（ -， 1）上的极小值和极大值点；（ 2）求 f（ x）在 -1 ， e （ e 为自然对数的底数）上的最大值第3页，共 13页21.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960 人，其中男生56

7、0 人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：超过 1小时不超过 1小时男生208女生12m（ ）求 m， n；（ ）能否有 95% 的把握认为该校学生一周参加社区服务时问是否超过 1 小时与性别有关？（ ）以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调査 6 名学生， 试估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数附：P（K 2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2 =x22. 设函数 f（ x） =e ， g（ x） =lnx（ ）证明：；（ ）若对所有的x0

8、，都有 f（ x） -f（ -x） ax，求实数 a 的取值范围第4页，共 13页答案和解析1.【答案】 A【解析】 解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000 ，样本容量n=5000 =100故选： A计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数 抽取比例计算n 值本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键2.【答案】 C【解析】 解：复数（ m2-m） +mi 为纯虚数，则 m2-m=0 且 m0，解得 m=1故选： C利用复数的概念，推出复数的虚部不为0，实部为0，求解即可本题考查复数的基本概念的应用，基本知识的考查3.【答案】 A【解析

9、】 解：由条件可知数字的个数为偶数，这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，中位数 22=，x=21故选： A这组数据共有8 个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于 x 的方程，解方程即可对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题考查最基本的知识点4.【答案】 B【解析】 解：由茎叶图 10 个原始数据，数据落在区间 22 ， 30）内的共有4 个，包括 2个 22， 1 个 27， 1 个 29，则数据落在区间 22， 30）内的概率为 =0.4故选： B由茎叶图 10 个原始数

10、据数据，数出落在区间 22， 30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题5.【答案】 B【解析】 【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N 与事件 “抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为 5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子第5页，共 13页的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点， 正确求出事件“抛掷两颗

11、骰子， 所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是66=36事件 “抛掷两颗骰子， 所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（ 1，4），（2，3），（ 3， 2），（ 4， 1）共四种故事件 “抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是= ，故选 B6.【答案】 C【解析】 解：设 P 的坐标为（ m，n），则 n=m3-m+3，f （x） =x3-x+3 的导数为 f（ x） =3x2-1，在点 P 处的切线斜率为 3m2-1，由切线平行于直线 y=2 x-1，2可得 3m -1=2 ，解得 m=1，即有 P（ 1，

12、 3）或（ -1， 3），设 P 的坐标为（ m，n），则 n=m3-m+3 ，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得 m 的方程，求得 m 的值，即可得到所求 P 的坐标本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题7.【答案】 C【解析】 解：第一次输入x=x， i=1第二次输入x=2x-1， i=2，第三次输入x=2（ 2x-1） -1=4 x-3， i=3，第四次输入x=2（ 4x-3） -1=8 x-7， i=4 3，第五次输入x=2（ 8x-7） -1=16

13、 x-15， i=5 4，输出 16x-15=0，解得： x=，故选： C求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为 0，由此关系建立方程求出自变量的值即可解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案8.【答案】 A【解析】 解： 集合 A=B=1 ， 2，3， 4， 5， 6 ，分别从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x， y，确定平面上的一个点P（ x， y），共有 66=36 种不同情况，22其中 P（ x， y）满足条件 x +y 16的有：（ 1， 1），（ 1， 2），

14、（ 1， 3），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 3， 1），（ 3， 2），共 8 个，第6页，共 13页C的概率 P（C）= ，故选： A求出从集合A 和 B 中随机各取一个数x， y 的基本事件总数，和满足点P（ x， y）满足条件 x2+y2 16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案本题考查的知识点是古典概型概率计算公式， 其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键9.【答案】 B【解析】 解： a， b 是区间 0， 1上的两个数，a， b 对应区域面积为 11=1若函数 f（ x）=x2+ax+b2 无零点，则 =a2-4b2 0

15、，对应的区域为直线a-2b=0 的上方，面积为 1-= ，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为故选： B函数 f（ x）=x2+ax+b2 无零点的条件，得到a， b 满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a， b 满足的条件是解决本题的关键10.【答案】 A【解析】 解：样本平均数=5.5， =0.25，=-24.5 ，=17.5， b=-=-1.4 ，a=0.25- （ -1.4） ?5.5=7.95，故选： A利用公式求出b， a，即可得出结论本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题11.

16、【答案】 C【解析】 解： 函数 f （ x） =x3-tx2+3x，f（ x） =3x2-2tx+3 ，若函数 f（ x）=x3 -tx2+3 x 在区间 1，4 上单调递减，则 f（x）0即 3x2-2tx+30在 1，4 上恒成立，t（ x+ ）在 1， 4上恒成立，令 y= （ x+ ），由对勾函数的图象和性质可得：函数在1， 4为增函数，当 x=4 时，函数取最大值，t ，即实数 t 的取值范围是 ， +），故选： C第7页，共 13页2由题意可得 f（x）0即 3x -2tx+30在 1，4 上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二

17、次函数的性质，属于中档题12.【答案】 B【解析】 【分析】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法， 数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维， 有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法， 很多问题便迎刃而解，且解法简捷先求导函数， 函数 （fx）=x（ lnx-ax）有两个极值点，等价于f（x）=ln x-2ax+1 有两个零点，等价于函数 y=ln x 与 y=2ax-1 的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数a 的取值范围【解答】解：函数f （ x） =x（ lnx-ax），则 f（x）=ln x-ax+x（ -a） =lnx-

18、2ax+1，令 f（x）=ln x-2ax+1=0 得 lnx=2ax-1，函数 f（ x） =x（ln x-ax）有两个极值点，等价于 f（ x） =ln x-2ax+1 有两个零点，等价于函数y=lnx 与 y=2ax-1 的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当 a= 时，直线y=2ax-1 与 y=ln x 的图象相切，由图可知，当0 a 时，y=ln x 与 y=2ax-1 的图象有两个交点则实数 a 的取值范围是（0， ）简解：函数f（ x） =x（ lnx-ax），则 f（x）=ln x-ax+x（ -a） =lnx-2ax+1，令 f（x）=ln x-2ax+

19、1=0 得 lnx=2ax-1，可得 2a=有两个不同的解，设 g（ x）=，则 g（ x）=，当 x 1 时， g（ x）递减， 0 x1 时， g（ x）递增，可得 g（ 1）取得极大值 1，作出 y=g（x）的图象，可得 0 2a 1，即 0 a ，故选 B第8页，共 13页13.【答案】【解析】 解：根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，若在含有100 个个体的总体中依次抽取一个容量为5 的样本，则个体m 被抽到的概率P=；故答案为：根据题意，由简单随机抽样的性质以及古典概型的计算公式可得个体m 被抽到的概率P=，化简即可得答案本题考查古典概型的计算，涉及随机抽样的性质

20、，属于基础题14.【答案】【解析】 解： （ 1+2i）z=4+3i ，z=，则 |z|=|=故答案为：把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题15.【答案】【解析】 解：以 D 为原点， DA 为 x轴， DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD -A1B1C1D1 中棱长为 2，则 A（ 2，0，0）， E（ 2，2， 1）， C （ 0， 2，0）， D1（ 0， 0，2），=（ 0，2，1）， =（ 0，-2，2），设 AE 与 CD1 所成角为 ，则 cos=，AE 与 CD 1 所成角的

21、余弦值为故答案为：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 AE 与 CD 1 所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16.【答案】 ，+）第9页，共 13页【解析】 解：根据题意，函数y=ax2（ a 0）与函数 y=ex 在（ 0， +）上有公共点，令 ax2=ex 得：，设则，由 f（ x） =0 得： x=2 ，当 0 x2时， f（ x） 0，函数在区间（ 0， 2）上是减函数，当 x 2 时， f（ x） 0，函数在区

22、间（ 2，+）上是增函数，所以当 x=2 时，函数在（ 0， +）上有最小值，所以故答案为：，x有解，运用参数分离，再令，求出导数，求得单调区间、由题意可得， ax2=e极值和最值，即可得到所求范围本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题17.【答案】 解：（ 1）： f（ x）=3x2+2（ 1-a） x-a（ a+2 ），由题因为 f （ x）为偶函数，2（ 1-a） =0 ，即 a=1 （ 2） 曲线 y=f（x）存在两条垂直于y 轴的切线，关于 x 的方程 f（ x） =3x2+2（ 1-a） x- a（ a+2）有两个不相等的实数根，=4（

23、1-a） 2+12a（ a+2） 0，即 4a2+4 a+10，a 的取值范围为（，） （，）【解析】 （ 1）求出导函数，利用函数的奇偶性求出a 即可（ 2）求出函数的导数，利用曲线y=f（ x）存在两条垂直于y 轴的切线，通过 0 求解即可本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力18.【答案】 解：（ ）设 “至少参加一个社团”为事件 A；从 45 名同学中任选一名有 45 种选法， 基本事件数为 45；通过列表可知事件 A 的基本事件数为 8+2+5=15 ；这是一个古典概型，P（A）=；（ ）从 5 名男同学中任选一个有 5 种选法，从 3 名女同学中任选一名有 3 种选

24、法；从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人的选法有 53=15，即基本事件总数为 15；设 “A1 被选中，而 B1 未被选中 ”为事件 B，显然事件 B 包含的基本事件数为 2；第10 页，共 13页这是一个古典概型，【解析】本题考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用（ ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团 ”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（ ）先求基本事件总数，即从这5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1 被选中，而 B1

25、 未被选中 ”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可19.【答案】解：（ ）证明：设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO，ABCD 是矩形，O 为 BD 的中点E 为 PD 的中点，EOPBEO? 平面AEC，PB? 平面AECPB平面 AEC；AP=1，AD =，三棱锥 P-ABD 的体（ ）积V= ，V= ，AB=， PB=作 AHPB 交 PB 于 H，由题意可知 BC平面 PAB，BC AH ，故 AH平面 PBC又在三角形PAB 中，由射影定理可得：A 到平面 PBC 的距离【解析】 本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能

26、力以及计算能力（ ）设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面 AEC；（ ）通过AP=1，AD =，三棱锥 P-ABD 的体积 V= ，求出ABAH PB角PB，作于 H，说明 AH 就是 A 到平面 PBC 的距离通过解三角形求解即可20.【答案】 解：（ 1）当 x 1 时， f（ x） =-3 x2+2x=-x（ 3x-2），令 f（ x） =0，得 x=0或 x= 当 x 变化时， f（ x）， f（x）的变化情况如下表：x（- 000，）（， 1）， ）（f（ x）-0+0-第11 页，共 13页f（ x）极小值极大值当 x=0 时，函数

27、f（ x）取得极小值f（ 0）=0，函数 f（ x）取得极大值点为x= （ 2） 当 -1x 1 时， f（x） =-x3+x2，由（ 1）知，函数（fx）在 -1，0和 ，1）上单调递减，在 0，上单调递增 ，f（x）在 -1 ， 1）上的最大值为2 当 1xe 时， f（ x）=alnx当 a0时， f（ x）在 1， e，上单调递增， f（x） max=a综上所述，当a2时， f（ x）在 -1， e上的最大值为a；当 a 2时， f（ x）在 -1， e上的最大值为 2【解析】 （ 1）当 x 1 时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（ x）在区间（ -，1）上的极小值和极大值点；（

28、 2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f （x）在 -1 ， e （ e 为自然对数的底数）上的最大值本题考查导数知识的应用， 考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题21.=，【答案】 解：（ ）根据分层抽样法，抽样比例为n=48；m=48-20-8-12=8 ；（ ）根据题意完善 22 列联表，如下；超过 1小时不超过1 小时合计男生20828女生12820合计321648计算 K2= 0.6857 3.841，所以没有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（ ）参加社区服务时间超过1 小时的频率为= ，用频率估计概率，从该校学生中随机调査6 名学生，估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过1 小时的人数为6=4（人）【解析】 （ ）根据分层