2019年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学一模试卷

1、2019 年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学一模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共20.0 分）1.下列四个数中，最大的一个数是（）A. 2B.C. 0D. -22.一个数用科学记数法表示为2.37 105，则这个数是（）A. 237B. 2370C. 23700D. 2370003.如图所示的几何图形的俯视图是（）A.B.C.D.4.下列运算正确的是（）A. x2+x2=x4B. a2?a3=a5C. （ 3x） 2 =6 x2D. （ mn） 5（mn） =mn45.不等式组的解集是（）A.x1B. C.2D. 无解x 21 x6.下列说法正确的是（）A.B.一组数据

2、 3， 5， 4， 5， 6， 7 的众数、中位数和平均数都是 5 为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行C. 两组身高数据的方差分别是22S甲=0.01， S 乙 =0.02，那么乙组的身高比较整齐D. “清明时节雨纷纷”是必然事件7. 如图，在 ABC 中， ACB=90 ， AC=1， AB=2 ，以点 A 为圆心， AC 长为半径画弧，交AB 于点 D ，则扇形 CAD 的面积是（）A.B.第1页，共 24页C.D.8.小明在解方程 x2 -4x-15=0 时，他是这样求解的：移项得x2-4x=15，两边同时加4 得x2-4x+4=19 ，（ x-2）2=19 ，x-2= ，x

3、-2= ，x1=2+，x2=2-，这种解方程的方法称为（）A. 待定系数法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法9.已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为 -2，则另一个根为（）A. 5B. -1C. 2D. -510. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）的图象如图所示， 对称轴是直线 x=-1 ，下列结论： abc 0； 2a+b=0； a-b+c 0； 4a-2b+c 0其中正确的是（）A. B. 只有C. D. 二、填空题（本大题共6 小题，共18.0 分）11. 分解因式： a3-4ab2=_12. 计算：+（ -3） 0 -（ - ） -2=_ 13. 已知

4、四个点的坐标分别是（ -1， 1），（ 2， 2），（ ， ），（ -5， - ），从中随机选取一个点，在反比例函数 y= 图象上的概率是 _14.已知=，则实数 A-B=_ 15.如图是由相同的花盆按一定的规律组成的正多边形图案，其中第1 个图形一共有6个花盆，第2 个图形一共有 12 个花盆，第 3 个图形一共有20 个花盆， ，则第n个图形中花盆的个数为_16. 如图，点 A 在双曲线 y=（ k 0）上，过点 A 作 ABx 轴，垂足为点 B，分别以点 O 和点 A 为圆心，大于 OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 F（ 0

5、， 2），连接 AC若 AC=1，第2页，共 24页则 k 的值为 _三、解答题（本大题共9 小题，共82.0 分）17. 先化简，再求值：（-），其中a=2sin60 -tan45 18.2019 年第三届沈阳女子半程马拉松赛将于5 月 26 日在沈阳市五里河公园正式开跑比赛共设有三项：A“半程21 公里”、 B“健身10 公里”、 C“迷你5公里” 小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组， 请用“列表法”或“树状图法”求小明和小刚被分配到不同项目组的概率19. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 DC边上的点，且 EC=FC求证

6、： AEF=AFE 20.为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到1h），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图第3页，共 24页请你根据图中提供的信息，回答下列问题（ 1）所抽查的学生人数为 _人，扇形统计图中百分数a 的值为 _；（ 2）直接在图中补全条形统计图；（ 3）如果该校共有学生 1300 名，估计睡眠不足（少于 8小时）的学生有多少人？21. 由甲、乙两运输队承包运输15000 立方米沙石的任务，要求在10 天之内（包含 10天）完成已知两队共有20 辆汽车且全部参与运输，甲队每辆车每天能够运输100立方米的沙石，乙队每辆车每天能够运

7、输80 立方米的沙石，前3 天两队一共运输了 5520 立方米（ 1）求甲乙两队各有多少辆汽车？（ 2） 3 天后，另有紧急任务需要从甲队调出车辆支援，在不影响工期的情况下，甲队最多可以调出汽车 _辆（直接填空）22.如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点A，B 重合的动点， PCAB，点 M 是 OP 中点（ 1）求证：四边形 AOCP 是平行四边形；（ 2）连接 BP，当 ABP=_ 度时，四边形 AOCP是菱形；当 ABP=_ 度时，PC 是 O 的切线（直接填空）23.如图在平面直角坐标系中， O 是坐标原点， 点 A 的坐标为（ 0， 8），点 B 的坐标为（ 6，0

8、），点 C 在 y 轴正半轴上，沿直线 BC 翻折 ABC，点 A 的对应点 D 恰好落第4页，共 24页在 x 轴负半轴上动点P 从点 D 出发，沿D C A 的路线，以每秒1 个单位的速度向终点 A 匀速运动，同时，动点 Q 也从点 D 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位的速度向终点 B 匀速运动， 当其中一点到达终点后， 另一点也随之停止运动， 设运动的时间为 t 秒（ t 0）（ 1）求点 C 的坐标；（ 2）当 t=2 时， PCQ 的面积为 _（直接填空）；（ 3）当点 C 到直线 PQ 的距离等于 3 时，请直接写出 t 的值24. 矩形 ABCD 中，AB=30 ，AD=40

9、，连接 BD ，点 P 在线段 BD 上（且不与点 B 重合），连接 AP ，过点 P 作 PEAP，交直线 BC 于点 E，以 AP 、PE 为边作矩形 APEF，连接 BF（ 1）如图，当点E 与点 B 重合时，线段DP 的长为 _（直接填空）；（ 2）如图当 EB=EP 时：求证 AB=AP；线段 DP 的长为 _（直接填空）（ 3）若 AP=26 ，请直接写出线段BF 的长25. 如果一条抛物线与 x 轴有两个交点， 那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的四边形称为这条抛物线的“抛物四边形”2如图， 抛物线 y=ax +bx+c（ a0）与 x 轴交于 A，C 两点，点

10、 B 为抛物线的顶点，点 D 在抛物线的对称轴上， 则四边形 ABCD 为“抛物四边形”， 已知 A（ -1，0），C（ 3， 0）（ 1）若图中的“抛物四边形”ABCD 为菱形，且 ABC=60，则顶点 B 的坐标为_（直接填空）（ 2）如图，若“抛物四边形” ABCD 为正方形，边 AB 与 y 轴交于点 E，连接 CE求这条抛物线的函数解析式；第5页，共 24页点 P 为第一象限抛物线上一个动点，设 PEC 的面积为 S，点 P 的横坐标为 m，求 S 关于 m 的函数关系式，并求 S 的最大值连接 OB，抛物线上是否存在点Q，使直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于OBD？若存在，请直

11、接写出点Q 的横坐标：若不存在，说明理由第6页，共 24页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得-2 02，故四个数中，最大的一个数是2故选：A正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切 负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可此题主要考查了实数大小比 较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数 0负实数，两个负实数绝对值大的反而小2.【答案】 D【解析】解：2.37 105=237000故选：D用科学记数法表示 较大的数时，一般形式为 a10n，其中1|a| 10，n 为整数，n 的值取决于原数 变成 a 时，小数点移动的位数，n 的绝对

12、值与小数点移 动的位数相同把 2.37 的小数点向右移 动 5 位，求出这个数是多少即可此题主要考查了用科学 记 数法表示 较大的数，以及小数点移 动的规律，要熟练掌握3.【答案】 D【解析】解：A 、这个图形是左视图，所以此选项错误 ；B、这个图形是主视图，所以此选项错误 ；C、这个图形即既不是俯 视图，也不是主视图和左视图，所以此选项错误；D、这个图形是俯视图，所以此选项正确；故选 D主视图：从正面看：半个椭圆 +梯形，选项 B；左视图：从左面看：线段+梯形，选项 A ；俯视图：从上面看：圆环 +直径，选项 D；本题考查了简单组合体的三 视图，同时考查了学生的空 间想象能力第7页，共 24

13、页4.【答案】 B【解析】解：A 、x2+x2=2x2，错误；B、a2?a3=a5 ，正确；22C、（3x） =9x ，错误；D mn 5 mn = mn 4，错误；、（）（）（）故选：B根据合并同 类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方计算判断即可此题考查同底数幂的乘法、除法，关键是根据合并同 类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方法 则解答5.【答案】 C【解析】解：，由 得，x1，由 得，x2，所以不等式 组的解集为 1 x 2，故选：C先求出两个不等式的解集，再求其公共解本题主要考查了一元一次不等式 组解集的求法，其简便求法就是用口 诀求解求不等式组解集的口 诀：同大取大，同小取小，大小小

14、大中间找，大大小小找不到（无解）6.【答案】 A【解析】解：A 、数据 3，5，4，5，6，7 中，5 出现的次数最多，所以这组数据的众数是 5；将这 6 个数按照从小到大的 顺序排列，处在第三个与第四个位置的都是5，所以这组数据的中位数是（5+5）2=5；这组数据的平均数是（3+5+4+5+6+7）6=5故本选项正确；B、由于了解某灯管的使用寿命会 给灯管带来损伤破坏，所以不宜采用普 查第8页，共 24页的方式进行，故本选项错误 ；C、由于 0.01 0.02，所以甲组的身高比 较整齐，故本选项错误 ；D、清明时节可能下雨，也可能不下雨，所以 “清明 时节雨纷纷 ”是随机事件，故本选项错误

15、故选：AA 、先分别根据众数、中位数和平均数的定 义求出数据 3，5，4，5，6，7 的众数、中位数和平均数，再 进行判断；B、根据普查的和抽样调查的特点，结合考查的对象即可进行判断；C、根据方差越小越稳定即可进行判断；D、根据必然事件的定 义进行判断本题考查了众数、中位数和平均数的定 义，方差的特征，普查和抽样调查的选择，必然事件与随机事件的定 义，涉及的知识点较多，但是属于基础题型，必须掌握7.【答案】 C【解析】解：ACB=90 ，AC=1，AB=2 ，B=30 ，A=60 ，扇形 CAD 的面积=，故选：C根据直角三角形的性 质求出 B，根据三角形内角和定理求出 A ，根据扇形面积公式

16、计算，得到答案本题考查的是扇形面 积计算、直角三角形的性 质，掌握扇形面积公式是解 题的关键8.【答案】 B【解析】第9页，共 24页解：根据题意知这种解方程的方法称 为配方法，故选：B根据配方法解方程的步 骤即可得本题主要考查解一元二次方程的能力，熟 练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键9.【答案】 B【解析】解：关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根 为-2，设另一个根 为 m，-2+m=，解得，m=-1，故选：B根据关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根 为 -2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根

17、的值，本题得以解决本题考查根与系数的关系，解 题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数10.【答案】 D【解析】解：抛物线的开口向上，a0，-0，b0，抛物 线与 y 轴交于负半轴，c0，abc0， 正确；对称轴为直线 x=-1，-=-1，即2a-b=0， 错误；x=-1 时，y0，a-b+c0， 错误；第10 页，共 24页x=-2 时，y0，4a-2b+c 0， 正确；故选：D根据开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点，确定 a、b、c 的符号，根据对称轴和图象确定 y 0 或 y0 时，x 的范围，确定代数式的符号本题考查的是二次函数 图象与系数的关系，掌握二次函数

18、的性质、灵活运用数形结合思想是解 题的关键，解答时，要熟练运用抛物 线的对称性和抛物 线上的点的坐 标满足抛物线的解析式11.【答案】 a（ a+2b）（ a-2b）【解析】解：a3-4ab2=a（a2-4b2）=a（a+2b）（a-2b）故答案为：a（a+2b）（a-2b）观察原式 a3-4ab2，找到公因式 a，提出公因式后发现 a2-4b2 符合平方差公式的形式，再利用平方差公式 继续分解因式本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止12.【答案】 -4【解析】解：原式=4+1-9=-4，故答案为：-4原式利用算 术平方根定 义

19、，零指数幂、负整数指数 幂法则计算即可得到 结果此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法 则是解本题的关键13.【答案】【解析】解：-1 1=-1，22=4， =1，第11 页，共 24页（-5）（-）=1，2 个点的坐 标在反比例函数 y=图象上，在反比例函数 y=图象上的概率是24=故答案为： 先判断四个点的坐 标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数 y=图象上点的个数除以点的 总数即为在反比例函数 y= 图象上的概率，依此即可求解考查了概率公式，用到的知 识点为：概率=所求情况数与 总情况数之比14.【答案】 -17【解析】解：=+=，根据题意知，解得：，A-B=-7-10=-17

20、，故答案为：-17先根据分式的加减运算法则计算出=，再根据对应相等得出关于 A ，B 的方程组，解之求得 A，B 的值，代入计算可得本题主要考查分式的加减法，解题 的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和解二元一次方程 组的能力15.【答案】 （ n+1）（ n+2）【解析】解：第一个图形：三角形每条边上有 3 盆花，共计 32-3 盆花，第二个图形：正四边形每条边上有 4 盆花，共计 42-4 盆花，第三个图形：正五边形每条边上有 5 盆花，共计 52-5 盆花，2第 n 个图形：正n+2 边形每条边上有 n 盆花，共计（n+2）-（n+2）=（n+1）（n+2）盆花，故答案为：（n+1）（n+

21、2）第12 页，共 24页由题意可知，三角形每条 边上有 3 盆花，共计 33-3 盆花，正四边形每条 边上有 4 盆花，共计 44-4 盆花，正五边形每条边上有 5 盆花，共计 55-5 盆花， 则正 n 变形每条边上有 n 盆花，共计 nn-n 盆花，结合图形的个数解决 问题 本题主要考查归纳与总结的能力，关键在于根据 题意总结归纳 出花盆总数的变化规律16.【答案】【解析】解：如图，设 OA 交 CF 于 K由作图可知，CF 垂直平分 线段 OA ，OC=CA=1 ，OK=AK ，在 RtOFC 中，CF=，在 RtOFC 中，CF=，OA=，由 FOCOBA ，可得，OB=，AB=，A

22、，k=故答案为：如图，设 OA 交 CF 于 K 利用面积法求出 OA 的长，再利用相似三角形的性 质第13 页，共 24页求出 AB 、OB 即可解决 问题 本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标线特征， 段的垂直平分线的性质等知识题键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常，解 的关考题型17.【答案】 解：原式 =- ?（a-1）=?（a-1）=当 a=2sin60 -tan45 =2 -1=-1 时，原式 =【解析】将原式括号内通分、将除法 转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化 简原式，根据特殊锐角三角函数 值求得 a 的值，代入即可本题主要考查分式的化 简求值，熟练掌握分

23、式的混合运算 顺序和法则是解题的关键，也考查了特殊锐角的三角函数 值18.【答案】 解：画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中小明和小刚被分配到不同项目组的结果数为6，所以小明和小刚被分配到不同项目组的概率= = 【解析】画树状图展示所有 9 种等可能的 结果数，再找出小明和小 刚被分配到不同 项目组的结果数，然后根据概率公式求解本题考查了列表法与 树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的 结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式 计算事件A 或事件 B 的概率19.【答案】 证明： 四边形 ABCD 是菱形，AB=AD ，BC=DC， B=D ，

24、第14 页，共 24页EC=FC ，BE=DF ，在 ABE 和ADF 中，ABEADF （ SAS）；AE=AF，AEF=AFE 【解析】由四边形 ABCD 是菱形，即可求得 AB=AD ，B=D，又由 EC=FC 知 BE=DF，根据 SAS，即可证 ABE ADF 得 AE=AF ，从而得证此题考查了菱形的性 质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性 质，注意菱形的四条边都相等，对角相等20.【答案】 6045%【解析】解：（1）根据题意得：35%=60（人）27，60=45%，则所抽查的学生人数 为 60 人，扇形统计图中百分数 a 的值为 45%故答案为 60，45%

25、；（2）8 小时的学生数 为 60-（12+27+3）=18（人）补；全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1300=845（人）故如果 该 校共有学生 1300名，估计睡眠不足（少于 8 小时 ）的学生有845 人（1）根据条形统计图中 9 小时的人数除以占的百分比即可得到所抽查的学生人数；由7 小时的人数除以所抽 查的学生人数，即为 a的值；（2）由总人数分别减去 6、7、9 小时的人数，求出 8 小时的学生数，补全条形统第15 页，共 24页计图即可；（3）先求出样本中睡眠不足（少于 8 小时）的学生占的百分比，再乘以 1300 即可本题考查的是条形 统计图和扇形统计图的综合运用读懂

26、统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占 总体的百分比大小也考 查了用样本估计总体21.【答案】 4【解析】解：（1）设甲队有 x 辆汽车，乙队有 y 辆汽车，解得，答：甲乙两队各有汽车 12 辆、8 辆；（2）设 3 天后，另有紧急任务需要从甲 队调出 a 辆车支援，（12-a）100（10-3）+880（10-3）15000-5520，解得，a，a 为整数，a 的最大值为 4，故答案为：4（1）根据题意可以列出相 应的二元一次方程 组，从而可以求得甲乙两 队各有多少辆汽车；（2）根据题意可以列出相 应的不等式，甲

27、队最多可以 调出汽车多少辆 本题考查 二元一次方程 组 的应用，解答本题 的关键 是明确题意，列出相应的二元一次方程 组，注意与实际相联系，汽车辆数为整数22.【答案】 3045【解析】解：（1）点 M 是 OP 中点，AM=CM ，第16 页，共 24页AO=BO ，OM BC，OPBC，PCAB ，四边形 OBCP 是平行四 边形；（2）当ABP=30 度时，四边形 AOCP 是菱形；理由：ABP=30，AOP=60，AO=PO，AOP 是等边三角形，AP=AO ，四边形 AOCP 是菱形；当ABP=45 度时，PC 是O 的切线；理由：ABP=45，AOP=90，AOPC，OPC=AOP

28、=90，PC是O 的切线（1）先判断出四边形 OBCP 是平行四 边形，得出 OB=PC，OBPC，再判断出OA=PC，从而得出结论；（2）根据圆周角定理得到 AOP=60，推出AOP 是等边三角形，得到 AP=AO ，于是得到四 边形 AOCP 是菱形；由圆周角定理得到 AOP=90 ，根据平行线的性质得到 OPC=AOP=90 ，于是得到结论 本题考查了平行四 边形的判定和性 质，切线的判定，菱形的判定，正确的识别图形是解题的关键23.【答案】【解析】解：（1）点 A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（6，0），OA=8，OB=10，AB=10，由折叠的性 质得：DC=AC ，BD=AB

29、=10 ，第17 页，共 24页OD=BD-OB=4 ，设 OC=x，则 CD=AC=8-x ，在 RtOCD 中，由勾股定理得：x2+42= 8-x 2，（ ）解得：x=3，即OC=3，点 C 的坐标为（0，3）；（2）由（1）得：CD=AC=5 ，OC=3，OD=4，当 x=2 时，DP=DQ=2，则 OQ=OD-DQ=2 ，作 PMOD 于 M，如图 1 所示：则 PMOA，DPM DCO，=，即=，解得：PM=，PCQ的面积 =OCD 的面积-PDQ 的面积- OCQ 的面积 =43-2- 23= ；故答案为： ；（3）分两种情况： 点 P 和点 Q 在 OC 的左侧时，如图 2所示：

30、作 CEPQ于 E，PGOD 于 G，则 CEDF，PGOC，CE=3，DPGDCO，=，PD=QD=t ，DG=t，PG=t，QG=t，PQ=，PDQ 的面积=DQPG=PQDF，DF=，CEDF，第18 页，共 24页PCFPDF，=，即=，解得：t=5-； 点 P和点 Q在 OC的右侧时，如图 3所示：作 CEPQ于 E，则 OQ=t-4，CP=t-5，OP=CP+OC=t-2，PE=，CEP=QOP=90，CPE=QPO，CPEQPO，=，即=，义解得：t=10，或 t=2（方程无意 ，舍去），t=10；综 上所述，当点 C 到直 线 PQ 的距离等于3 时，t 的值为 5-或 10（

31、1）由点A 和 B 的坐标得出 OA=8，OB=10，由勾股定理求出 AB=10，由折叠的性质得：DC=AC ，BD=AB=10 ，求出 OD=BD-OB=4 ，设 OC=x，则 CD=AC=8-x ，在RtOCD 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）由（1）得：CD=AC=5 ，OC=3，OD=4，当x=2 时，DP=DQ=2，则OQ=OD-DQ=2则线，作PMOD 于 M ，PMOA ，由平行 得出 DPM DCO，得出=，求出 PM=，PCQ 的面积=OCD 的面积-PDQ 的面积-OCQ 的面积，代入内角公式计算即可；（3）分两种情况： 点 P 和点 Q 在 OC 的左侧时，作C

32、EPQ 于 E，PGOD 于G，则 CEDF，PGOC，CE=3，证明DPGDCO，得=，求出DG= t，PG= t，QG=t，由勾股定理得出 PQ=，由PDQ的面积求出 DF=线=，=，由平行 得出 PCFPDF，得即可求出 t 的值； 点 P 和点 Q 在 OC 的右侧时，作CEPQ 于 E，则 OQ=t-4，CP=t-5，求出第19 页，共 24页OP=CP+OC=t-2，由勾股定理得出 PE=证， 明CPEQPO，得出=，得出方程，解方程即可本题是三角形综合题查了翻折变换的性质标图形性目，考、勾股定理、坐 与质、相似三角形的判定与性 质、三角形面积公式、解方程以及分 类讨论等知识题综合

33、性强练证明三角形相似是解决问题的关键；本，熟 掌握勾股定理，【答案】 321424.【解析】解：（1）矩形 ABCD 中，AB=30 ，AD=40 ，BD=50BPAPAPD= BAD=90，ADB= ADBAPD BADPD=32，故答案为：32（2）BE=PEEBP=EPB四边形 ABCD 是矩形，四边形 APEF 是矩形ABC= APE=90ABP=APBAB=AP 如图，连接 AE，交BD 于点 O，AB=AP ，BE=PEAE 垂直平分 BP，AOBP，BO=OP由（1）可知：OD=32，BD=50BO=18，DP=DO-OP=32-18=14第20 页，共 24页故答案为：14，（

34、3）如图，作AO BD 于点 O，若点 P在点 O 的左侧，AO=AO=24AP=26，AO=24，OP=10BP=BO-PO=18-10=8四边形 APEF 是矩形PF=AE，AM=EM=MP=FM ，ABE=90BM=AM=EM=MP=FM ，点 A，点P，点E，点B，点F 共圆BAE= EPB，PBF=PEF=90EPB+APO=90，APO+PAO=90PAO=EAB= EPB，且AOP=ABE=90APOAEBAE=PF=BF=若点 P在点 O 的右侧第21 页，共 24页同理可得：OP=10，AO=24 ，点A ，点P，点 E，点B，点F 共圆，APB=AEB ，且ABE= AOPABE AOPAE=PF=BF=故答案为：或（1）通过证明 APDBAD ，可得，即可求 PD 的长；（2） 由等腰三角形的性 质可得 E