空间直线的一般方程（经典实用）

1、空间直线的一般方程 x y z o 1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线 0: 11111 DzCyBxA 0: 22222 DzCyBxA 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 空间直线的一般方程空间直线的一般方程 L 一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 注：表示同一直线的一般方程不唯一。注：表示同一直线的一般方程不唯一。 第八节第八节 空间直线及其方程空间直线及其方程 空间直线的一般方程 确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；由两个平面确定一条直线； 由空间的两点确定一条直线；由空间的两点确定一条直线；

2、 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。由空间的一点和一个方向来确定一条直线。 空间直线的一般方程 x y z o 方向向量的定义：方向向量的定义： s L ,),( 0000 LzyxM 设设定定点点 0 M M ,),(LzyxM sMM 0 / ,pnms , 0000 zzyyxxMM 二、空间直线的参数方程与对称式方程二、空间直线的参数方程与对称式方程 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于 一条已知直线一条已知直线L L，向量，向量 称为称为 直线直线L L的的方向向量方向向量 s s , 000 pnmtzzyyxx 则则 整理发布整理发布 空间直线的一般方程 直线的对称式方

3、程直线的对称式方程 p zz n yy m xx 000 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 直线的一组直线的一组方向数方向数 方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦. 直线的参数方程直线的参数方程 消去参数消去参数t，有，有 空间直线的一般方程 注：注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；表示同一直线的对称方程不唯一； 2. 对称式方程可转化为一般方程对称式方程可转化为一般方程 ; 4. 任一条直线均可表示为对称式方程任一条直线均可表示为对称式方程. ),(),( 222111 zyxNzyxM直直线线过过直直线线的的两两点点式式方方程程：设设 121212

4、,zzyyxxs 则则 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx 直直线线方方程程为为： p zz n yyxx 000 0 . 3 . , 00 0 p zz n yy xx 理解为理解为: 空间直线的一般方程 例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线 . 0432 01 zyx zyx 解解在直线上任取一点在直线上任取一点 ),( 000 zyx 取取1 0 x, 063 02 00 00 zy zy 解得解得2, 0 00 zy 点坐标点坐标),2, 0 , 1( 空间直线的一般方程 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平

5、面的法向量都垂直 取取 21 nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程, 3 2 1 0 4 1 zyx 参数方程参数方程. 32 41 tz ty tx 空间直线的一般方程 例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( A，且且和和y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B 取取 BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程. 4 4 0 3 2 2 zyx 空间直线的一般方程 定义定义 直线直线 : 1 L, 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx 直线直线

6、 : 2 L, 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 | ),cos( pnmpnm ppnnmm LL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角） 两直线的夹角公式两直线的夹角公式 三、两直线的夹角三、两直线的夹角 空间直线的一般方程 两直线的位置关系：两直线的位置关系： 21 )1(LL , 0 212121 ppnnmm 21 )2(LL/ , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 直线直线 : 1 L 直线直线 : 2 L ,0, 4, 1 1 s ,1 , 0 ,

7、 0 2 s , 0 21 ss , 21 ss 例如，例如， . 21 LL 即即 空间直线的一般方程 例例 4 4 一一直直线线 L 过过点点(-3,2,5)，且且和和直直线线 152 34 zyx zx 平平行行， 求求其其方方程程. 解解 所求直线方程所求直线方程 . 1 5 3 2 4 3 zyx 1 , 3 , 4 512 401 21 kji nns 方法方法2:设设 ,pnms 134052 04 , 21 pnm pnm pm nsns 1 , 3 , 4 s 取取 空间直线的一般方程 例例5 5 一直线过点一直线过点M0(2,1,3)， 且与直线， 且与直线L: 12 1

8、3 1 zyx 垂垂 直相交，求其方程直相交，求其方程. 取取4 , 1, 2 10 MkMs 所求直线方程所求直线方程 . 4 3 1 1 2 2 zyx 解解 设所求直线为设所求直线为l , 先求两直线的交点。先求两直线的交点。 L l M1 M0 过点过点M0做平面垂直于直线做平面垂直于直线L： 3x+2y-z=5 代代入入平平面面方方程程的的参参数数方方程程： tz ty tx L21 31 所以交点为所以交点为 M1(2/7, 13/7, -3/7) 空间直线的一般方程 定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹 角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹

9、角 ,: 000 p zz n yy m xx L , 0: DCzByAx ,pnms ,CBAn 2 ),(ns 2 ),(ns 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0. 2 空间直线的一般方程 222222 | sin pnmCBA CpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式 直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1( . p C n B m A L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin 2 空间直线的一般方程 例例 6 6 设直线设直线:L 2 1 12 1 zyx ，平面，平面 : 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.

10、 解解,2, 1, 1 n ,2, 1, 2 s 222222 | sin pnmCBA CpBnAm 96 |22)1()1(21| . 63 7 63 7 arcsin 为所求夹角为所求夹角 空间直线的一般方程 称称为为平平面面束束。全全部部平平面面组组成成的的平平面面族族定定义义：通通过过一一条条直直线线的的 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA L： 0)()( 2222211111 DzCyBxADzCyBxA L 束束为为的的全全部部平平面面组组成成的的平平面面则则过过直直线线 不同时为零。不同时为零。， 21 0)()( 22221111 DzCyBxADz

11、CyBxA L 的的面面束束为为则则过过直直线线 五、平面束五、平面束 空间直线的一般方程 例例7 7 解解 . 4 0128 4 , 04 05 : 角的平面方程角的平面方程组成组成 且与平面且与平面求过直线求过直线 z yx zx zyx 过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为 , 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即 .1 , 5 ,1 n 其其法法向向量量 .8, 4, 1 n 又已知平面的法向量又已知平面的法向量 空间直线的一般方程 由题设知由题设知 1 1 4 cos nn nn 222222 )1(5)1()8()4(1 )8()1()4(51)1

12、( , 272 3 2 2 2 即即由此解得由此解得. 4 3 代回平面束方程为代回平面束方程为 . 012720 zyx 空间直线的一般方程 例例8 8 解解 . 12 43 : , 1 2 :)1 , 1 , 1( 2 10 L xz xy L xz xy LM 都都相相交交的的直直线线 且且与与两两直直线线求求过过点点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 12 43:, 1 2: 21 tz ty tx L tz ty tx L 的的交交点点分分别别为为与与设设所所求求直直线线 21, L LL ).12 , 43 ,()1,2 ,( 222111 tttBtttA和和 空间直线的一般方程 ,)1 , 1 , 1( 0 三点共线三点共线与与BAM ).( 00 为为实实数数故故 BMAM 即有即有, 00 对对应应坐坐标标成成比比例例于于是是BMAM , 1)12( 1)1( 1)43( 12 1 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t , 0, 0 21 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 0 上上同在直线同在直线和和点点L