2019-2020学年河南省洛阳一高高二(上)12月月考数学试卷

1、2019-2020 学年河南省洛阳一高高二（上）12 月月考数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.已知集合，则A.B.C.D.2.平面内有两定点A、B 及动点 P，设命题甲是： “是定值”， 命题乙是：“点 P 的轨迹是以 A、 B 为焦点的椭圆”，那么A. 甲是乙成立的充分不必要条件B. 甲是乙成立的必要不充分条件C. 甲是乙成立的充要条件D. 甲是乙成立的非充分非必要条件3.命题“，”的否定是A.，B.，C.D.4.设 a，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.双曲线的离心率为，则它的渐近线为A.B.C.D.

2、6.如果方程表示双曲线，则m 的取值范围是A.B.C.D.7.已知，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是A.B.C.D.8.已知、为双曲线 C：的左、右焦点，点 P 在 C 上，则A.2B.4C.6D.89.焦点在x 轴上的椭圆的离心率， F， A 分别是椭圆的左焦点和右顶点， P是椭圆上任意一点，则的最大值为A.4B.6C.8D.1010.设AB分别为双曲线的左、右顶点，P是双曲线上不同、于A、B 的一点，直线 AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为A.B.C.D.11.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且

3、垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为第1页，共 14页A.B.C.D.12.已知，是椭圆的左右两个焦点， P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.若“，”是真命题，则实数m 的最小值为 _14.已知命题：函数是奇函数，：函数为偶函数，则在下列四个命题：；中，真命题的序号是 _15.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是 _ 16.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为 F ，点M 在双曲线右支上、点N 在圆上运动时，则的最

4、小值为 _三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17.p表示焦点在x轴上的双曲线： 命题q：若存在，命题 ：方程使得成立如果命题 p 是真命题，求实数 m 的取值范围；如果“”为假命题，“”为真命题，求实数 m 的取值范围18.已知椭圆：的长轴长为8，短轴长为4求椭圆方程；过作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长19.已知中，求边 AB 的长；设 D 是 BC 边上的一点，且的面积为，求的正弦值第2页，共 14页20. 已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，为左焦点 求双曲线的方程； 若的面积等于，求直线 l 的方程21.已知函数，

5、是数列的前 n 项和，点上求数列的通项公式；若，且是数列的前 n 项和试问值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由，过右焦点的在曲线是否存在最大22. 已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心， 椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切 求椭圆 C 的方程； 设， A， B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆 C 于另一点 E，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点Q； 在 的条件下，过点Q 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，求的取值范围第3页，共 14页答案和解析1.【答案】 A【解析】【分析】本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题先求出集合B

6、，再求出和，由此能求出结果【解答】解：集合，所以 A 正确， D 错误，所以 B 和 C 都错误，故选 A2.【答案】 B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义， 解题的关键是注意在椭圆的定义中， 一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离之和当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P 的轨迹是以为焦点的椭圆，一定能够推出是定值【解答】解：命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以为焦点的椭圆当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上

7、的条件不一定推出，而点 P 的轨迹是以为焦点的椭圆，一定能够推出是定值，甲是乙成立的必要不充分条件故选 B3.【答案】 C【解析】解：命题：“，的否定是，故选： C根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题4.【答案】 C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若，不等式等价为，此时成立；，不等式等价为，即，此时成立；，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立；第4页，共 14页若，当，时

8、，去掉绝对值得，因为，所以，即；当，时，；当，时，去掉绝对值得，因为，所以，即，即必要性成立综上“”是“”的充要条件，故选 C5.【答案】 B【解析】解：由双曲线的离心率为，则，即，由双曲线的渐近线方程为，即有故选： B运用离心率公式，再由双曲线的a， b， c 的关系，可得a，b 的关系，再由渐近线方程即可得到本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题6.【答案】 B【解析】解：由题意知，解得故的范围是故选 B根据双曲线的标准方程，可得只需与只需异号即可，则解不等式即可求解本题主要考查了双曲线的定义，属基础题； 解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系7.【

9、答案】 B【解析】解：，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，若是正三角形，可得，即，即：，解得故选： B直接利用椭圆的通经与焦距的关系，求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查8.【答案】 B第5页，共 14页【解析】解：法由双曲线方程得，由余弦定理得法 2； 由焦点三角形面积公式得：；故选： B解法 1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求的值解法 2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出的值本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力9.【答案】 A【解析】解：椭圆焦点在 x

10、轴，所以，由离心率，所以，设，则，则，因为，代入化简得，又，当时，的最大值为 4故选： A由椭圆焦点在 x 轴，得，由离心率公式求出c，再求出 b，利用坐标法求出为二次函数，配方法，利用x 的范围求出最值考查椭圆的定义，离心率公式，向量坐标运算，配方法求最值，属于中档题10.【答案】 D【解析】解：由，设，则，则，则，当且仅当时取等号，第6页，共 14页即，即故选： D由题意求得直线AP 及 PB 斜率，可得，再根据基本不等式可得，即可求出本题考查双曲线的简单几何性质，基本不等式，考查计算能力，属于中档题11.【答案】 C【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查数

11、形结合的数学思想，考查计算能力，属于中档题画出图形，利用已知条件，求出b 的值，再通过的离心率为2 以及联立求解 a 即可得到双曲线方程【解答】解：由题意可得图象如图， CD 是双曲线的一条渐近线，即，ACDB 是直角梯形，F 是 AB的中点，所以，双曲线的离心率为2，可得，可得：，解得则双曲线的方程为：故选 C12.【答案】 D【解析】解：设，则，第7页，共 14页化为，化为，解得故选： D设，则，可得：由于，可得，化为，利用，及其离心率计算公式即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题13.【答案】 1【解析】解：

12、“可得，所以，实数 m 的最小值为：1故答案为： 1，”是真命题，求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力14.【答案】【解析】解：函数的定义域为 R， 函数是奇函数，命题为真命题；函数的定义域为， 命题为假命题 为假命题， 为真命题，为真命题；， 为假命题故答案为：确定命题为真命题；命题为假命题，再根据复合命题的真假判断规律，即可得到结论本题考查复合命题的真假，解题的关键是确定简单命题的真假，再利用复合命题的真假判断规律进行求解15.【答案】【解析】解：设动圆圆心为，半径为R，设已知圆的加以分别为、，将圆的方程分别配方得：，圆化为，当动

13、圆与圆相外切时，有当动圆与圆相内切时，有第8页，共 14页将两式相加，得，动圆圆心到点和的距离和是常数12，所以点 M 的轨迹是焦点为点、，长轴长等于 12 的椭圆，圆心轨迹方程为故答案为：求出两个圆的圆心与半径， 设出动圆的圆心坐标， 判断动圆的圆心的轨迹满足椭圆的定义，然后求解方程本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键16.【答案】 7【解析】解：由题意双曲线的一条渐近线方程为，可得，则，可得双曲线焦点为，由双曲线的定义可得，由圆可得圆心，半径，连接，交双曲线于M，圆于 N，可得取得最小值，且为，则则的最小值为故答案为： 7求得双曲线的a，可得双曲线

14、方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接，交双曲线于M，圆于 N，计算可得所求最小值本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题17.【答案】解：命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，若命题 p为真命题，则，即 m 的取值范围是若命题 q 为真命题，则在有解，得，又“”为假命题，“”为真命题，则p、q 两个命题一真一假，若 p 真 q 假，则，解得，或第9页，共 14页若 p 假 q 真，则或，解得，综上，实数 m 的取值范围为【解析】利用双曲线的性质，列出不等式即可求解m 的范围命题 q 是真命

15、题，求出m 的范围，然后利用复合命题的真假，求解m 的范围即可本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，是基本知识的考查18.【答案】解：由椭圆：长轴长为 8，短轴长为4，得，所以，所以椭圆方程为；设以点为中点的弦与椭圆交于，则，在椭圆上，所以，；两式相减可得，所以 AB 的斜率为，点为中点的弦所在直线方程为；由，得，所以或，所以【解析】由题意之间求出a， b 的值，即写出椭圆的方程；设过 P 的直线与椭圆的交点坐标，点差法求出直线的斜率， 由点斜式写出直线方程，联立椭圆求出交点坐标，进而求出弦长考查直线与椭圆的综合，属于中档题19.【答案】解：在中，则，为三角形的内角，则，即，第

16、10 页，共 14页解得：，在中，由余弦定理得：，可得：，在中，由正弦定理得：【解析】本题考查正弦定理，余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题，可得边AB 的长；的面积为，求出 CD ，再由余弦定理求出AD，即可利用正弦定理求的正弦值20.双曲线的渐近线方程为，【答案】解：双曲线焦点到渐近线的距离为又双曲线离心率，平方得，解得因此，双曲线的方程为设，由右焦点设直线 l 方程：由消去 y，得根据题意知，由根与系数的关系得：，的面积两边去分母并且平方整理，得，解之得舍负，得直线l 的方程为【解析】根据题意，得离心率且，结合联解得，即得双曲线的方程；设，直线 l 方程：

17、由双曲线方程与直线l 方程消去 y，得关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系和的面积等于，建立关于 k的方程并解出k 的值，即得直线l 的方程本题给出双曲线的焦点到渐近线的距离和双曲线的离心率，求双曲线的方程并探索焦点弦截得的三角形面积问题，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲第11 页，共 14页线位置关系等知识点，属于中档题21.【答案】解：因为在曲线上，且，所以当时，当时，适合上式，所以因为，所以，得整理得所以因为，所以，所以，即，所以，所以存在最大值 【解析】通过在曲线上，且，求出然后求解通项公式通过，利用裂项消项法求解数列的和，通过转化求解即可本题考查数列与函数综合应用，数列求和的方法，数列的函数特征，考查转化思想以及计算能力，是中档题22. 由题意知，【答案】解：所以即又因为，所以，故椭圆 C 的方程为 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为由得设点，则第12 页，共 14页直线 AE 的方程为令，得将，代入，整理，得由得，代入整理，得所以直线AE 与 x 轴相交于定点 当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时， 设直线 MN 的方程为，且，在椭圆 C 上由得易知所以，则因为，所以所以当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时，其方程为解得，或、此时所以的取值范围是【解析】 由题意知，