（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第十五章 圆锥曲线与方程 15.1 椭圆课件

1、第十五章圆锥曲线与方程 15.1椭圆 高考数学高考数学 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆. 符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|),轨迹是椭圆. 当|PF1|+|PF2|=2a(2a=|F1F2|)时,轨迹是线段F1F2; 当|PF1|+|PF2|=2a(2ab0)与+=k(ab0,k0)有相同的离心率. 2 2b a 1 2 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x a 2 2 y b 求椭圆标准方程的方法 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为+

2、=1(a b0); (2)如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为+=1(a b0); (3)如果椭圆中心在原点,但不确定焦点是在x轴上还是在y轴上,那么方 程可以设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn). 2 2 x a 2 2 y b 2 2 y a 2 2 x b 方法技巧 方法1 2.利用定义及性质求椭圆的标准方程 (1)根据动点满足的等式的几何意义,写出标准方程; (2)建立关于a,b,c,e的方程或方程组; (3)解方程或方程组,得到椭圆的标准方程. 例1(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标 轴为对称轴,求椭圆的标准方程. (2)(201

3、6江苏如东高级中学期中,17)已知圆C:x2+y2+2x=15,M是圆C上的 动点,N(1,0),MN的垂直平分线交CM于点P,求点P的轨迹方程. 解析(1)设椭圆方程为+=1(m0,n0,mn), 由题意知或 解得或 椭圆的标准方程为+y2=1或+=1. (2)由题意知|NP|+|PC|=|MP|+|PC|=4|NC|, 故点P的轨迹是以C、N为焦点,长轴长为4的椭圆. 所以点P的轨迹方程为+=1. 2 x m 2 y n 9 1, m 2 m3 2 n 9 1, m 2 n3 2 m, m9, n1 m9, n81. 2 x 9 2 y 81 2 x 9 2 x 4 2 y 3 求椭圆的离

4、心率或离心率的取值范围求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考的知识点通常有两类:一是求椭圆的离心率;二是求椭圆离心率的取 值范围. (1)若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点位置确定a2,b2,求出a,c的值,利 用公式e=直接求解. (2)若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立a,b,c,e满足的关系式,化 为关于a,c的齐次方程,求出a,c的关系或化为e的方程求解. 例2(2016江苏常州一中、江阴南菁高中联考,7)已知F是椭圆+= 1(ab0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PFx轴.若|PF|=|AF|, 则该椭圆的离心率是. c a 2 2 x a 2 2 y b 1 4 方法2

5、 解析由题意得,A(a,0),F(-c,0). PFx轴,|PF|=. 因为|PF|=|AF|,所以=(a+c),即(3a-4c)(a+c)=0,a,c0,3a-4c=0,e =. 2 b a 1 4 2 b a 1 4 c a 3 4 答案 3 4 例3(2015福建文改编,11,5分)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点F, 短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于两点A,B,若|AF|+|BF|=4, 点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是. 2 2 x a 2 2 y b 4 5 解析直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|

6、BF| =2a=4,所以a=2,不妨令M(0,b),则由点M到直线l的距离不小于得 ,即b1,所以e2=,又0e1,所以0e , 即椭圆E的离心率的取值范围是0e. 4 5 22 4b 3( 4) 4 5 2 2 c a 22 2 ab a 2 4b 4 3 4 3 2 3 2 答案0e 3 2 椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题 解决椭圆中的最值问题主要运用数形结合、函数与方程两大数学思想, 具体方法有以下几种: (1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质求最值或取值范围. (2)利用函数,尤其是二次函数求最值或取值范围. (3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围. (4)利用判

7、别式求最值或取值范围. 例4(2017镇江高三上学期期末,18)已知椭圆C:+=1的离心率为 ,且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程; 2 2 x a 2 2 y b 3 2 1 3, 2 方法3 (2)若直线l交椭圆C于P,Q两点,线段PQ的中点为H,O为坐标原点,且OH= 1,求POQ面积的最大值. 解析(1)由已知得=,+=1, 易得a2=4,b2=1, 故椭圆C的标准方程是+y2=1. (2)当PQx轴时,H位于x轴上,且HOPQ, 由OH=1可得PQ=, 此时SPOQ=OHPQ=. 当PQ不垂直于x轴时, 设直线l的方程为y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由得

8、(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0, c a 3 2 2 3 a 2 1 4 b 2 x 4 3 1 2 3 2 2 2 x y1, 4 ykxt 所以从而H, 由已知OH=1可得t2=(*). 因为PQ2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2 =(1+k2) =(1+k2), 设坐标原点O到直线l的距离为d,则d2=, 从而=(1+k2), 12 2 2 12 2 8kt xx, 14k 4t4 x x, 14k 22 4ktt , 14k14k 22 2 (1 4k ) 16k1 2 222 22 64k t16(t1)(1 4k ) (1 4k ) 22 22 16(1 t

9、4k ) (4k1) 2 2 t 1k 2 POQ S 1 4 22 22 16(1 t4k ) (1 4k ) 2 2 t 1k 将(*)式代入得,=, 令1+16k2=p, 则= =1, 当且仅当p=3时,取“=”,此时POQ的面积最大,且最大值为1. 0,n0, y10,m0. 22 xy 1, 43 xmyn 12 2 2 12 2 6nm yy, 3m4 3n12 y y. 3m4 2 3nm 3m4 2 1 y 2 2 4n 3m4 22 22 9n m (3m4) 2 2 4n 3m4 2 2 3m4 3m1 1 2 2 2 6|m|n 3m4 2 6|m| 3m1 2 2 3m

10、 3m4 n SOBC=, 当且仅当3m=,即m=时取等号, 此时n=, 所求直线l的方程为x=y+,即y=x+. 2 6m 3m1 6 1 3m m 6 2 3 3 1 m 3 3 10 2 3 3 10 2 3 30 2 圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中定点问题的两种解法: (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研 究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定 点与变量无关. 例6(2017江苏丹阳高三上学期期初考试,17,15分)如图,在平面直角坐 标系xOy中,A,

11、B分别是椭圆G:+y2=1的左,右顶点,P(2,t)(tR,且t0)为 直线x=2上的一个动点,过点P任意作一条直线l与椭圆G交于C,D,直线 PO分别与直线AC,AD交于E,F. (1)当直线l恰好经过椭圆G的右焦点和上顶点时,求t的值; 2 x 4 方法5 (2)记直线AC,AD的斜率分别为k1,k2. 若t=-1,求证:+为定值; 求证:四边形AFBE为平行四边形. 1 1 k 2 1 k 解析(1)由题意得,椭圆的上顶点坐标为(0,1),右焦点坐标为(,0),易 得直线l的方程为y=-x+1, 令x=2,得t=1-. (2)证明:由题意可设直线AC的方程为y=k1(x+2), 由得C, 同理,D,由C,D,P三点共线得kCP=kDP, 即=,化简得4k1k2=t(k1+k2), 3 3 3 2 3 3 1 2 2 yk (2), x y1 4 x 2 11 22 11 28k4k , 14k14k 2 22 22 22 28k4k , 14k14k 1 2 1 2 1 2 1 4k 14k 28k 2 14k t 2 2 2 2 2 2 2 4k 14k 28k 2 14k t t=-1时,+=-4(定值). 要证四边形AFBE为平行四边形,即只需证EF的中点为点O, 由得xE=,同理xF=, 将t=分别代入得, x