浙江专用高考数学一轮复习专题8立体几何与空间向量第60练向量法求解空间角和距离问题练习含解析

1、第60练 向量法求解空间角和距离问题基础保分练1. 平行六面体 ABCBAiBiCiD中，向量罷,忌,AA俩两的夹角均为 60,且|AB| = 1 , |AD| = 2,| Ail = 3,则 I Cl| 等于（）A.5B.6C.4D.82. 在正方体 ABCB ABCD中，E是CD的中点，则异面直线 DE与AC所成的角的余弦值为（ ）a1bc-d丄20 10 10 203 .在空间直角坐标系 Oxyz中，平面OAB勺一个法向量为n= （2，-2,1），已知点R 1,3,2）, 则点P到平面OAB勺距离d等于（）A.4B. 2C. 3D.14. （2019 绍兴一中模拟）设点M是棱长为2的正方

2、体 ABCABCD的棱AD的中点，点 P在 平面BCCB所在的平面内，若平面DPM分别与平面ABC刖平面BCCB所成的锐二面角相等， 则点P到点C的最短距离是（）5. 平面a的一个法向量为n= （1，3, 0），贝U y轴与平面a所成的角的大小为（）6.如图所示，在空间四边形 OABC中, OA= 8, AB= 6, AC= 4, BC= 5,Z OAC= 45,/ OAB=60，贝U OA与 BC的夹角的余弦值为（）7. 已知正方体 ABCD ABCD的棱长为a,点M在AG上，且AMl/Ci, N为BB的中点，则| Hmni 为（）A.faB.facaD耳a8. P是二面角a AB- 3棱上

3、的一点，分别在a , 3平面上引射线 P/PN如果/ BPMk/ BPN=45,/ MP比60,那么二面角 a AB- 3的大小为（）A.60 B.70 C.80 D.909. 如图所示，正三棱柱 ABC ABG的各棱长（包括底面边长）都是2, E, F分别是AB AC的中点，贝U EF与侧棱CC所成角的余弦值是 .10. 如图所示，已知空间四边形 OAB（中 OB= OC且/ AOB=Z，则cos oA $C的3值为.能力提升练1. 已知三棱柱 ABC- ABC的侧棱长与底面边长都相等，A在底面ABC内的射影为 ABC勺中心，则AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）2. （2019 浙江名校

4、联盟联考）在平面a内，已知ABL BC过直线AB, BC分别作平面 3 , Y ,nn使锐二面角a AB 3为3，锐二面角a BC- 丫为亏，则平面3与平面丫所成的锐二 面角的余弦值为（）93. （2019 金华一中模拟）已知点P是正方体 ABC ABCD表面上一动点，且满足 PA= 2PB 设PD与平面ABCD所成的角为B ,则B的最大值为（）4.过正方形 ABC的顶点A,引PAL平面 ABCD若 PA= BA则平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是（）A.30 B.45 C.60 D.90 5.如图，平面 PADL平面 ABCD ABCD正方形，/ PAD= 90,且 PA= AD= 2

5、, E, F分别是线段PA CD的中点，则异面直线 EF与BD所成角的余弦值为 .6.如图，已知平面四边形 ABCD AB= BC= 3, CD= 1, AD=.5，/ ADC= 90,沿直线 AC将 ACD翻折成 ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 .合案精析基础保分练3.B4.A5.B6.C7. A 8.D910.05能力提升练1. B 设A在底面ABC内的射影为 Q过0作OH/ BC交AB于点H,以0为坐标原点，分别以OA OH OAl的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 (图略).设厶ABC的边长为1,平面ABC的法向量n= (0,0,1),则AB与底面ABC所

6、成角a的正弦值sin a =|cosAB1, n|,6J 其75163,36+ 4 + 92. A 由题意以平面 a为底面，以平面 3 , Y为两相邻的侧面构造正四棱锥 E ABCD设 正四棱锥的底面边长为 2,以点B为坐标原点，以 AB BC所在直线，过点 B垂直于平面a 的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题意易得B(0 , 0,0) , A(2,0,0),C(0,2,0) , E(1,1 , , 3)，则 E3A= (2,0,0) , E3C= (0,2,0) , E3E= (1,1 , , 3),BA mi= 2x= 0,设平面3的法向量为 m= (x, y, z)，则

7、有.BE- m= x + y+ 3z= 0,令z = 1,得平面3的一个法向量为 m= (0, 3, 1)，同理可得平面 丫的一个法向量为n= C 3, 0, 1)，则平面3和平面丫所成锐二面角的余弦值为|cos m n | = |m ；=|m| n|1 122 = 4，故选A3. A 以B为坐标原点，BC BA BB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间 直角坐标系，设AB= 1,易得平面APB勺一个法向量为n1= (0,1,0)，平面PCD勺一个法向量为n2 = (0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为|n1 n2|n1|n2|设正方体的边长为2，P(x，y，

8、z)，贝U A(0,2,0)，因为PA = 2PB,所以x 02-y 22-z 02= 2x2 + y2 + z2，即x2 +y+ 2 2+ z2 =罟，所以点P的轨迹为以点 Q0, 3，0为球心，B 建立如图所示的空间直角坐标系,为半径的球与正方体表面的交线，即为如图的EMG, 3 丿 3GSF , ENF，要使得PD与底面ABC所成的角最大，则 PD与底面ABC啲交点到点D的距4104DD1离最短，从而点P在ENF上，且在QD上,则DP= DQ-= -= 2,此时，tan 0 =P= 1，n所以0的最大值为_，故选A.故所求二面角的大小是45 .5.解析 以A为坐标原点，AB AD AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间 直角坐标系Axyz，则 E(0,0,1), F(1,2,0), B(2,0,0), D(0,2,0)EF= (1,2 , - 1),张(2,2,0),故 cos EF, BD =24.36.解析设直线AC与BD所成角为0，平面ACD翻折的角度为a ,设O是AC中点，由已知得AC= 6，如图,以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系,作DHL AC于 H翻折过程中,D