数形结合确定零点

1、数形结合求零点【利用数形结合确定零点的个数（方程的解）】1. sinx=x的解的个数为_ 1分析：易知x=0为方程的一个解。当x三0, 时，sinxx，此时，y=x的图像位于y=sinx的图像的上方，没有交点，由对称I 2丿性可知当x - ,0时，两函数的图像也没有交点。I 2丿2 .函数 f （ x） = In x -sin x 在（0,亠）内（ B ）（A ）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（D ）有无穷多个零点分析：当x=1时，In 1=0sine ,y=lnx的图像位于y=sinx的图像的上方，据此可得两函数的位置关系。3.函数f （ x） =|lg x | -co

2、s x在0,内零点的个数是（ B ）分析：当x=10时，lgx=1 ,函数y=|lgx|过点（10, 1）,而函数y=|lgx|在（1, 上是增函数, 故当1x10时，函数y=|lgx|1，必然和y=cosx有两个交点.变式：函数 f（x） =log .x - sin x 在（0， +）内（C ）A .有且仅有一个零点B .有且仅有两个零点C.有且仅有三个零点D 有无穷多个零点评注：遇到对数函数时，要重点关注对数值为1的点处两函数的位置关系4.函数f（x） =|x| In x在定义域内的零点的个数为（ A ）5. （ 2011陕西文）方程 x=cosx在（皿，母）内（ C ）A 没有根B.有且

3、仅有一个根变式：（2011陕西理）A 没有零点B 有且仅有一个零点C 有且仅有两个零点D 有无穷多个零点分析：x=0时，0 = 0 cosO=1 , y = . x 位于 y=cosx下方，当 x=1 时，cos10 , f (e)1： , f(x)在(1, e)有零点如图，函数在x)，则函数 y = f (x)()(A) 在区间(, 1), (1 , 2)内均有零点.(B) 在区间(, 1)内有零点，在区间(1, 2)内无零点.(C) 在区间(, 1), (1, 2)内均无零点.(D) 在区间(, 1)内无零点，在区间(1 , 2)内有零点.【分析】(1)函数y=f(x)的零点即使方程f(x

4、)=有解时x的值，禾U用函数图象或依据连续函数在区间端点函数值异号(即零点存在性定理)可作出判断解：如图，两图象有两个交点，其中一个交点横坐标冷 (, 1)，排除C, D.11 x2v f (x) = - x =x ， x 1 时，f (x) , f (2) = In 2 1 , f (x)在 (1 , 2)上必有零点，故选 A.8.若函数y=ex-2x+a有零点，贝U a的取值范围为 _a2ln2分析：x_y=e -2x+a有零点转化为y=2x 的如图，当y=2x向上平移至与y=ex相切时，两函数图像恰好有交点，只要求出此时截距即可，问题转化为求y=ex的切线方程，其中斜率 k=2。设切点为

5、（xo， yo），贝V y |x 兰=e = 2， xo=ln2， yo = e 0 =2， 所以切线方程为 y -2 =2(x In 2)，即 y =2x 2 - 2 1 n 2 ,要使函数用零点，只需-a2ln2，即a1A. 4B. 3C. 2D. 1分析：由g(x) =f x -log 2 x =0得f x = lo g2 x得，求g(x)的零点的个数即求 f(x)与 log 2 x交点的个数。易知f(x)与log?%在点(1, 0)处有一个交点。先做出分段函数f(x)的图像，然后代特殊值111确疋l o g2 x与f(x)在(0， 1)内的位置关系，当 x 时，l o g21， f (

6、 ) = 一4 ，2 2 211lo g2 f ()，此时log2 x的图像在f(x)的图像的上方，故在(0, 1)内log 2 x的图像穿22过f(x)的图像，两函数有一个交点。所以在定义域内，log2 x与f(x)共有2个交点，原函数有两个零点。10. (2011课标全国卷，文12)已知函数y=f(x)的周期为2,当x -1 , 1时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=|lg x|的图像的交点共有(A ).A. 10 个B. 9 个C. 8 个D . 1 个解析：根据f(x)的性质及f(x)在-1 , 1上的解析式可作图如下：可验证当 x=10 时，y=|lg 10|=1

7、;0x10 时，|lg x|10 时|lg x|1 .结合图像知y=f(x)与y=|lg x|的图像交点共有 10个.S)k-101 23456789 101112 xx + x、0变式：已知函数 f(x)=x 3-3x2+1 , g(x)4x，关于方程 gf(x)-a=O(a 为正2 _x .6x_8, x 0实数)的根的叙述有下列四个命题：存在实数a,使得方程恰好有3个不同的实根;存在实数a,使得方程恰好有4个不同的实根;存在实数a,使得方程恰好有5个不同的实根;存在实数a,使得方程恰好有6个不同的实根.其中真命题的个数是(D ).A. 0B. 1C. 2D. 3数形结合求解. 已知函数y

8、= f(x)和y= g(x)在2,2上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是()i2 s/TJ ,pp? 1y-嗣A .函数f g(x)的零点有且仅有6个B .函数g f(x)的零点有且仅有 3个C .函数f f(x)的零点有且仅有 5个D .函数g g(x)的零点有且仅有4个11. (2010课标全国卷,|ig x |(o ex Go)文12)已知函数f(x) 1 一“ 、，若a,b, c互不相等, x 亠 6(10 : x)f(a)=f(b)=f(c)，则 abc 的取值范围是(10, 12)_1 分析：由图可知，f(a)=|lga|=-lga , f(b)=|lgb|=lgb

9、, f(c)= c - 6 ,2由 f(a)=f(b)得-lga=lgb，即 lgab=0, ab=1,由 0f(c)1 得 10c12 ,所以 abc=c (10,12)变式：上题若改为方程f（x）=a有三个不同的解”，则a的取值范围是 (0a1)2x A 2练习：已知函数f（x） x，-，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实3（X -1） ,x ：:：1数k的取值范围是 . （ 0k0）的解的个数是 （）A. 1B. 2C. 3D. 4直线y=2与曲线y=x2凶+a有四个交点，贝U a的取值范围是？（）（a）（4, 1.（B）（1, 5）.（c）（7，2）.（D）（2, 9）.

10、 2J甲 1 j:卜亡七l+an r=1峠4a TAui0)，则函数 f(x) ( D ).A .在区间(0, 1), (1 , +s内均有零点B .在区间(0, 1), (1 , +R内均无零点C.在区间(0, 1)内有零点，在区间(1, +8)内无零点D .在区间(0, 1)内无零点，在区间(1 , +8内有零点1 22.设函数 f(x)=ln x 2x +1(x0)，则函数 y=f(x) ( A )(A) 在区间(0, 1), (1, 2)内均有零点.(B) 在区间(0, 1)内有零点，在区间(1, 2)内无零点.(C) 在区间(0, 1), (1, 2)内均无零点.(D) 在区间(0,

11、 1)内无零点，在区间(1 , 2)内有零点.【分析】函数y=f(x)的零点即使方程f(x)=0有解时x的值，利用函数图象或依据连续函数在区间端点函数值异号(即零点存在性定理)可作出判断13.如图是函数Q(x)的图象的一部分，设函数f(x)=sin x，g(x)=x，则Q(x)= ( D ) 入f(x)(A)謁?(B)f(x)g(x)(C)f(x) g(x)(D)f(x)+g(x)分析：由于函数f(x)、g(x)在各自的定义域上都是奇函数，又根据所给图象知函数Q(x)也是奇函数，结合奇函数的性质结论奇函数与奇函数的和、差函数在公共定义域上仍是奇函数”可排除 A、B;又 xt0+，Q(x)t+8，.选 D.【评注】函数图象有两大题型，一是已给函数解析式，用描点法或图象变换法，作出它的图 象对于复合函数，可分解为若干基本初等函数，利用初等函数图象的变换规律作出图象，也可依据解析式探寻函数的性质 (如：奇偶性、单调性、周期性、特殊点 )综合得出图象；二 是给出函数图象研究函数性质， 主要考查识图、用图、数形结合与灵活变通能力，巧妙运用函数