切线的性质和判定课件

1、切线的性质和判定切线的性质和判定 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞 出的方向是什么方向？ 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什 么方向？ 情景导入情景导入 想一想想一想 过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过 半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？ O r l A 经过半径的外端且垂于这条半径 的直线是圆的切线。 条件：(1) 经过半径的外端； 圆的切线判定定理： (2) 垂直于过该点半径； O A l lOA，且l 经过O上 的A点 直线l是O的切线 符 号 语 言 表 达 说明：

2、在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于 这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不 可，否则就不是圆的切线， 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的 切线： 定理辨析 判 断 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（） O r l A O r l A O r l A 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线； (3)过半径外端点且和半径垂直的直线 是圆的切线； (d=r) 归纳：归纳： 例1直线AB

3、经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是O的切线. 证明: 连接OC OA=OB, CA=CB OAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线 OCAB AB是O的切线 O C B A 这种证明方法简记为： “证切线，连半径，证 垂垂直” 注意：使用此方法时 必须已知直线与圆有 一公共点。 练练 习习 1、 、 如如 图图 4， ， A B 是是 O 的的 直直 径径 ， ABC=45，AC=AB，AC是是O的切线吗？的切线吗？ 为什么？为什么？ B A C O 解：AB=AC ACB=ABC=45 0 BAC=90 0 即ABAC AB是O的直径 AC是O的切线 变式练习

4、 练习2、如图:线段AB经过圆心O，交O 于点A、C，BAD=B = 30，边BD交 圆于点D。BD是O的切线吗？为什么？ A O B C D 解：BD是O的切线 连接OD OD=OA ODA=BAD=B =30 0 BOD=60 0 ODB=90 0 即： ODDB BD是O的切线 变式练习 证明：连结OP。 AB为直径 OB=OA， BP=PC， OPAC。 又又 PEAC， PEOP。 PE为为0的切线。的切线。 练习3,ABC中，以AB为直径的为直径的O， 交边BC于P， BP=PC, PEAC于于E。 求证:PE是是O的切线。的切线。 O A B C E P 变式练习 例例2 2:已

5、知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为 半径作O。 求证：O与AC相切。 O A B C E D 证明：过O作OEAC于E。 AO平分BAC，ODAB OEOD OD是O的半径 AC是O的切线。 小 结 例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点 ,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点 , 则过圆心作直线的垂线段为辅助线 ,再证垂线段长 等于半径长。简记为： 作垂直,证半径。 O BA C O A B C E D . O A L 如图：如果直线L 是O的切线,切

6、点为 A,那么半径OA与直线 L是不是一定垂直呢? 一定垂直 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径 直线L是O 的切线，A是切 点。 LOA于A 点 简记为：“知切线，连半径，得垂直” 探索切线性质 假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD, 垂足为M, 则OMOA,即圆心到直线CD的距离 小于O的半径,因此,CD与O相 交.这与已知条件“直线与O相 切”相矛盾. CD B O A 所以AB与CD垂直. M 例3如图，AB是O的直径, C为O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分DAB A O D C B 证明：连接OC CD 是O的切线， OCCD

7、. 又AD CD , OC/AD. ACO CAD. 又OC=OD, CAO ACO CAD CAO, 故AC平分DAB 1， 如图：AC是O的切线，B=60 0 。求 CAD= B A C O D A O C B 2，如图：以O为圆心的同心圆， 大圆的弦AB是小圆的切线，C是切 点，求证：C是AB的中点。 已知如图，已知如图，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O是底边是底边BC的的 中点，O与腰AB相切于点D。AC与O相切吗？为 什么什么? E 解：AC与O相切 连接OD,作OEAC OEC=90 0 AB是O的切线 ODAB, ODB=90 0 =OEC AB=AC B=C O是BC的中点

8、 OB=OC OBDOCE OD=OE AC与O相切 课堂小结 1. 判定切线的方法有哪些？ 直线l 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 2. 常用的添辅助线方法？ 直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径， 再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线 段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径） l是圆的切线 l是圆的切线 3. 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。 辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。 1. 切线和圆只有一个公共点. 2. 切线和圆

9、心的距离等于半径. 3. 切线垂直于过切点的半径. 4. 经过圆心垂直于切线的直线必过切点. 5. 经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 切线的性质、可归纳为 :已知直线满足a.过 圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三 个结论. 总结： 已知直角梯形ABCD 中，ADBC，ABBC，以腰DC 的中点 E 为圆心的圆与AB 相切，梯形的上底AD 与底 BC 是方程 x 210 x + 16 = 0 的两根，求 E 的半径 r . F 解解：连接EF x 210 x + 16 = 0 (X-2)(X-8)=0 X1=2 X2=8 BC=8 AD=2 AB是O的切线 EFAB ABB

10、C EF/BC/AD E是DC的中点 EF是梯形ABCD的中位线 EF= (AD+BC)=5 2 1 切线的性质定理的应用 例.已知RtABC的斜边AB=8cm,直角边 AC=4cm.以点C为圆心作圆,当半径为多长 时,AB与C相切 解:(1)过点C作CDAB于D. AB=8cm,AC=4cm. A=60 因此,当半径长为cm时,AB与C相切. 32 B A C B=30 D 练一练 1.AB 是O的弦,C是 O外一点,BC是O 的切线,AB交过C点的 直径于点D,OACD, 试判断BCD的形状, 并 说明你的理由. 巩固练习 2、矩形的两边长分别为、矩形的两边长分别为2.5和和5，若以较，若以较 长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半 圆相切的线段最多有（） A、0条B、 1条 C、 2条 D、 3条 D 3、已知如图ABC内接于O，过点A作 直线EF，AB为直径,还需添加的条件是