物理学专业论文09490

1、 学学士士学学位位论论文文 基于基于 matlabmatlab 的系统的稳定性分的系统的稳定性分 析析 摘要摘要 稳定性在系统的实际应用中非常的重要，本文介绍了系统的稳定性的概念， 论述了常用判定系统的稳定性的方法：奈奎斯特判据、根轨迹法、波特图法等， 也介绍了罗斯矩阵、朱里矩阵在稳定性分析中的作用。应用 matlab 编程来实 现奈奎斯特判据、根轨迹法、bode 图对稳定性的分析。 关键词：关键词：lti 系统；稳定性；系统；稳定性；matlab matlab-based analysis of system stability abstract the stability of the s

2、ystems practical application is very important, this paper introduces the concept of stability of the system, discusses the stability of the system used to determine the method: nyquist criterion, root locus method, bode plots, such as law, rose also introduced the matrix, where matrix zhu at the ro

3、le of stability analysis. application of matlab programming to achieve the nyquist criterion, root locus method, bode diagram of the stability analysis. key words：lti system; stability; matlab 目录 摘要 .1 abstract.1 引言 .2 1.理论分析 .2 1.1 概述.2 1.1.1 matlab 语言介绍 .2 1.1.2 lti 系统的稳定性 .3 1.2 lti 连续时间系统的稳定性分析.

4、3 1.2.1 因果连续时间系统的稳定性准则 .3 1.2.2 连续时间 lti 反馈系统的奈奎斯特判据 .6 1.3 lti 离散时间系统的稳定性分析 .9 1.3.1 因果离散时间系统的稳定性准则 .9 1.3.2 离散时间 lti 反馈系统的奈奎斯特判据 .11 2.基于 mtlab 的稳定性分析 .13 2.1 奈奎斯特图.14 2.2 根轨迹.15 2.3 波特图.16 3.结论 .18 4.结语 .18 致谢 .19 引言引言 线性时不变系统通常被称为 lti 系统，系统在不同的情况下有不同的函数 表达式。系统的稳定性对系统的输入输出行为至为重要。若系统稍微偏离其平 衡态，就可能会

5、产生几种情况；若系统保持在平衡状态附近，则称系统是稳定 的；如果系统趋于返回平衡状态或一个极限状态，则称此系统为不稳定的。因 此，研究系统的稳定性的方法称为稳定性判据或稳定判据，如劳斯判据，胡尔 维茨（hurwirz）稳定判据以及奈魁斯特稳定判据等，在 matlab 未产生前，由 于系统的复杂性，判别计算量非常大，而用了 matlab 以后，稳定性分析将变的 很简单。 1.1.理论分析理论分析 线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，而与输出无关。线性系 统稳定的条件是其特征根均具有负实部。在实际工程系统中，为了避开对特征 方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，即看其是否全部具有负实部，

6、并 以此来判别系统的稳定性。 1.11.1 概述概述 1.1.11.1.1 matlabmatlab 语言介绍语言介绍 matlab 是 matrix laboratory 的缩写，是 mathwork 公司于 1984 年推出的 一套面向工程和科学运算的高性能软件。它具有强大的矩阵计算能力和良好的 图形可视化功能，为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境，因此被城为 第四代计算机语言。 matlab 发展至今，现已集成了许多工具箱，如控制系统集成箱（control system toolbox） 、信号处理工具箱（single processing toolbox） 、模糊推理 系统工具箱（

7、fuzzy logic toolbox） 、simulink 工具箱等。为此。matlab 语言 在控制工程领域已获得了广泛的应用。 1.1.21.1.2 ltilti 系统的稳定性系统的稳定性 lti 系统的稳定性与其系统函数或有着密切的关系。)(sh)(zh 一个连续时间 lti 系统，其冲激响应满足时，,而其系统函数0t0)(th 的 roc 一定是 s 平面的右半部分： 。一个稳定连续时间 lti 系)(sh 0 res 统的充要条件是其单位冲激响应绝对可积。即：)(th （1） dtth )( 对应于系统函数则是其 roc 包含轴。结合以上两种结果，可得稳)(shj 定连续时间 lt

8、i 系统，其系统函数的所以极点的实部都必须是负的。)(sh 离散时间 lti 系统，也有类似的结果： （1）因果系统的充要条件是单位脉冲响应满足，其系统)(nh0, 0)(nnh 函数 h(z)的 roc 为某内界圆的外部，即； 0 rz （2）稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，或 k nh 系统函数 h(z)的 roc 包含单位圆； （3）因果稳定离散时间系统 lti 系统的系统函数 h(z)的所有极点必须落在 单位圆内部。因此，可以通过系统函数，很方便地了解系统的稳定性。不仅如 此，系统函数已经成为系统分析和综合的基本方法。 1.21.2 ltilti 连续时间系统的稳定性分析连

9、续时间系统的稳定性分析 1.2.11.2.1 因果连续时间系统的稳定性准则因果连续时间系统的稳定性准则 因果连续时间系统的系统函数 （2） )( )( )( sa sb sh 式中 （3） 01 2 1 1 )(asasasasa n n n n 的极点就是的根，因此为判断系统是否稳定，亦即的极)(sh0)(sa)(sh 点是否都在左半开平面，只需判断的根，即特征根是否都在左半开平面，0)(sa 并不需要知道各特征根的确切位置。所有根均在左半开平面的多项式称为霍尔 维兹多项式。罗斯和霍尔维兹提出了判别多项式是否为霍尔维兹多项式的准则， 称为罗斯- 霍尔维兹准则。 对于特征根为实根和共轭复根，多

10、项式可分解为许多一次aja )(sa 因子和二次因子的乘积。如果特征根都在左半开平面，则要as 22 )( as 求各因子中，从而多项式的所有系数。也就是说，0a)(sa), 2 , 1 , 0(0niai 如果中任何一个或多个系数为零或负值，那么它就不是霍尔维兹多项式。)(sa 上述条件是必要条件，而不是充要条件。罗斯提出了一种列表的方法，常城罗 斯阵列。其方法如下表所示，将多项式的系数按下表的规律排列在 1，2 行)(sa 表 1 罗斯阵列 行 1n a 2n a 4n a 21n a 3n a 5n a 31n c 3n c 5n c 41n d 3n d 5n d n+1 罗斯阵列中第

11、 3 行及以后的各行，按以上规则计算， ， （4） 2 1 1 13 1 nn n n nn aa c a aa 51 4 1 3 1 nn nn n n aa aa a c , , （5） 31 31 1 1 1 nn nn n n cc aa c d 51 51 1 3 1 nn nn n n cc aa c d 依次类推，一直排列到第 n+1 行（以后各行为零） 。 罗斯准则指出：多项式是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵)(sa 列中第一列元素的值均大于零，它保证了的根都在左半开平面。如果第0)(sa 一列元素的符号不完全相当，那么变号的次数就是在右半平面根的数目。 对于二阶系统

12、， （6） 2 210 ( )a sa sa sa 若，根据上述稳定准则，可得为霍尔维兹多项式的冲要条件为 2 0a )(sa （7） 10 0,0aa 例 1：已知某系统的系统函数为的系数排列成罗斯阵列 32 ( )331h ssssk 13 31 8 3 1 k k k 如果系统是稳定的，根据罗斯准则，以上阵列中的第一列元素的值为正值， 即 和 8 0 3 k 10k 解得 18k 因此，当时，系统是稳定的。18k 1.2.21.2.2 连续时间连续时间 ltilti 反馈系统的奈奎斯特判据反馈系统的奈奎斯特判据 根据反馈系统的稳定性，要求 （8）)()(1shskg 或等效函数 （9）)

13、()( 1 )(shsg k sr 在 s 复平面的左半平面内没有零点。因此，可以考虑如图所示的一条半圆 围线。当 s 沿这条围线 c 顺时针旋转一周时，由的轨迹围线顺时针绕原点( )r s 的次数，可得出围线 c 内所包括的的零点个数和极点个数的差值。随着 m( )r s 增加至无穷大值时，对应的围线 c 就是沿 轴从到的半径为的半j 圆曲线，此时围线 c 包括了整个右半平面，且围线 c 变为整个虚轴。j o c m im -jm jm re 图1 包括右半平面的半圆闭合围线，当m 时，该围线包括了整个右半平面 为了保证随 m 增加，围线 c 的半圆延伸至整个右半平面时，仍然是有( )r s

14、 界的。该条件要求的极点数要大于等于它的零点数。这时( )r s （10） n n n n n n n n n n ssm a b asasa bsbsb srsr 0 1 1 0 1 1 lim)(lim)(lim 为常数。 当极点阶数大于零点阶数时，上述值也为零。因此，当 m 增大到无穷( )r s 大是。沿着这个围线 c 半圆部分的值不再变化，为一常数。)(sr 当时，图 1 所示的围线 c 与虚轴轴重合，对应的图就是当mj)(sr 从变到时的图。如果正向和反馈通路的系统函数是稳定的，那)(jr 么和分别是这两支路系统的频率响应函数。)(jg)(jh 注意到的围线只是复变函数的一个性质，

15、不涉及 roc 的问题。这样，)(sf 即使正向和反馈通路的系统不稳定，也可用上述方法，检查在)(jr 范围内的图，用于计算位于右半平面内的零点数和极点数之差。)(sr 再者，由式（9）可知，绕原点的次数，就是绕点-1/k 的次)(sr)()(shsg 数，即绕原点的次数，就是围绕)(jr)()(jg)(jh)( 点-1/k 的次数。当从时，的图就称为奈奎斯特图。)(jg)(jh 注意到，的极点就是的极点，而的零点是闭环极点。因此，)(sr)(sg)(sh)(sr 根据围线映射性质可得如下结论。 奈奎斯特图顺时钟绕-1/k 点的净次数等于右半平面内闭环极点数减去)(sg 在右半平面内的极点数。

16、)(sh 由上述结果可得，如果反馈系统是稳定的，那么奈奎斯特图瞬时绕-1/k 点 的净次数等于在右半平面内的极点数，且是逆时针方向的。由此，就)(sg)(sh 可得出连续时间奈奎斯特稳定性判决。 例 2：设，试画出奈奎斯特图并确定使反馈系统 ) 15 . 0)(1( 1 )()( ss s shsg 稳定的 k 的取值范围。 解：从的表示式，可知)()(jhjg （1）时， ；01)()( 0 jhjg （2）时，；0)()( 0 jhjg img(j)h(j) reg(j)h(j) = =0 -1 图2 例2的奈奎斯特图 （3）当从 0 变化到时，相角单调从变化至，)()(jhjg 2 因此

17、，时，对应的奈奎斯特图应在第 iii 象限内。根据镜像对称性，可知0 时所对应的奈奎斯特图应在第 ii 象限内。0 根据以上论述，可画出例题的奈奎斯特图如图 2 所示，对于该例， 有一个由半平面的极点。因此，根据奈奎斯特稳定性判据，)()(jhjg1 1 p 要求奈奎斯特图逆时针围绕-1/k 点一次，这样就要求-1/k 点落在这条围线的里面。 由图 2 可知，要-1/k 点落在围线内，即要求 k 满足-1-1/k0 亦即 k1 系统 稳定。 1.3 lti 离散时间系统的稳定性分析离散时间系统的稳定性分析 1.3.11.3.1 因果离散时间系统的稳定性准则因果离散时间系统的稳定性准则 因果离散

18、时间系统的系统函数 （11） )( )( )( za zb zh （12） 01 1 1 )(azazazaza n n n n 要判别系统的稳定性，就需判别特征方程所有的根的模是否都小0)(za 于 1.朱里提出了一种列表的判别方法，称之为朱里准则。 表 2 朱里阵列 行 1n a 1n a 2n a 2 a 1 a 0 a 20 a 1 a 2 a 2n a 1n a n a 31n c 2n c 3n c 1 c 0 c 40 c 1 c 2 c 2n c 1n c 52n d 3n d 4n d 0 d 60 d 1 d 2 d 2n d 2n-1 2 r 1 r 0 r 将的系数如表

19、 2 所示排列在第 1，2 行。表中第 1 行是的系数，)(za)(za 第 2 行也是的系数，但按反序排列。第 3 行按下列规则求出)(za ， (13) n n n aa aa c 0 0 1 10 1 2 n n n aa aa c 20 2 3 n n n aa aa c 第 4 行将第 3 行的各元素按反序排列。由第 3、4 行的元素再用上述规则求第 5 行和第 6 行的元素为 ， (14) 10 01 2 n n n cc cc d 20 11 3 n n n cc cc d 依次类推，一直排到 2n-3 行。 朱里准则指出，的所有根都在单位圆内的冲要条件是0)(za （15） 0

20、2 02 01 0 0) 1() 1( 0) 1 ( rr dd cc aa a a n n n n 上式关于阵列中元素的条件是：各奇数行，其第一个元素的值必须大于最后一 个元素的绝对值。 例 3：若系统的特征多项式为给系数是否稳定?1244)( 34 zzzza 解：首先将的系数排成朱里阵列表)(za 行 14-402-1 2-120-44 315-1404 440-1415 5209-21056 根据及上表，有)(za 56209 415 14 051244) 1() 1( 01244) 1 ( 4 a a 因此，根据（15）式，可判定该系统是稳定的。 1.3.21.3.2 离散时间离散时

21、间 ltilti 反馈系统的奈奎斯特判据反馈系统的奈奎斯特判据 对于离散时间系统情况，闭环反馈系统的稳定要求 )()( 1 )(zhzg k zr 在单位圆内没有零点。与连续时间情况相同，的极点也就是)(zr 的极点。)()(zhzg 由于围线性质将任何给定的围线内的极点和零点的关系联系起来，在单位 圆上有和。做变量替换：，可将单位圆外的极点和 j ez j e z 1 1 1 zz 零点映射到单位圆的内部，且顺时针的单位圆围线经变量替换后变为逆时针方 向的单位圆围线。因此，当围线是顺时针方向的单位圆时，其围线次数与单位 圆内部的极点数和零点数目有关；当围线是逆时针方向的单位圆时，其围线次 数

22、与单位圆闭合围线的外部的极点数目和零点数目有关。为考察在单位圆)(zr 内是否有零点，一般取单位圆上逆时针方向的围线，此时该围线上的 ，变量从 0 变化至。)()( j erzr2 根据围线性质，有以下关系。 以逆时针方向在单位圆上绕过一周时（即从 0 变化至） ，值2)( j er 的图顺时针绕原点的次数等于在单位圆外的零点数减去单位圆外的极点数。)(zr 和连续时间情况完全一样，计算包围原点的次数等效于计算)( j er 图包围-1/k 点的次数。于连续时间情况相同，把)()( jj eheg 的图也称为奈奎斯特图。因此，奈奎斯特图顺时针包围-1/k 点)()( jj eheg 的次数就等

23、于单位圆外的零点数目（即为闭环极点数目）减去单位圆外的)(zr 的极点数目（即的极点数目） 。为使闭环系统成为稳定的，就)(zr)()(zhzg 要求单位圆外没有闭环极点，即在单位圆外的零点数目为零，于是就可得)(zr 出离散时间奈奎斯特稳定性判据。 1.41.4 ltilti 线性反馈系统的根轨迹分析法线性反馈系统的根轨迹分析法 + h(s) g(s) y(t) e(t) r(t) x(t) (a)连续时间系统 + - + h(z) g(z) yn en rn xn (b)离散时间系统 + - 图2 基本lti反馈系统结构 lti 反馈系统的一般结构可以用图 3 来表示。图中的或称之为)(s

24、h)(zh 正向通路系统函数；而或则称为反馈通路的系统函数。图 3 中整个)(sg)(zg 系统的系统函数称为闭环系统函数，特记为或，他们分别表示为)(sq)(zq （16） )()(1 )( )( )( )( shsg sh sx sy sq （17） )()(1 )( )( )( )( zhzg zh zx zy zq 式（16） ， （17）时 lti 反馈系统基本方程。 观察（16）式，若前向通路函数,且增益 k 足够大，满足ksh)( ，则有1)()()(skgsgsh (18) )( 1 )( sg sq 于是图 3 中的反馈系统就可近似为系统函数 的逆系统。从式（18）可以)(s

25、g 发现，只要的增益足够的，即使增益绝对值有波动变化，对整个系ksh)( 统影响将是很小的，这是因为，此时，系统的特性将主要受反馈系统的影响。 反馈系统的特性取决于闭环系统函数特性。由反馈系统的闭环系统函数或)(sq 的极点，零点分布可以了解有关反馈系统特性的许多信息。如果反馈环路)(zq 中有个可调节的增益，随着此增益参数 k 的变化，闭环系统的极点位置将随之 变化。k 的变化过程中，系统可能从非稳定状态进入稳定状态或由稳定状态进 入非稳定状态。 这种来检查随着可调增益的变化，闭环系统的极点在 s 平面内的轨迹路径 的方法就称为根轨迹法。它是一个有理函数或的闭环极点作为增益)(sq)(zq

26、k 的函数画出来的一种图示方法。进而借助图形来分析系统的稳定性，这一方 法对连续时间系统和离散时间系统都是适用的。 2.2.基于基于 mtlabmtlab 的稳定性分析的稳定性分析 matlab 为 lti 系统的稳定性分析提供个许多方便、快捷的库函数，通过编 写程序，可以实现系统的可视化，能够直观、明了、快速的对系统的稳定性及 相关特性进行研究分析。 2.12.1 奈奎斯特图奈奎斯特图 奈奎斯特图又称为极坐标图或幅相频率特性图，它是以角频率为参量， 在复平面上表示开环频率相应的一种方法。在 matlab 中，可以通过调用 nyquist()来绘制开环系统的奈奎斯特图，具体方法可看例题 4。

27、例 4：已知一系统的传递函数为, 135 )( 2 ss k sh k=0.3，0.7，1.1，1.5，试绘出 k 不断变大时，该系统的奈奎斯特图 解：matlab 代码如下 %绘制奈奎斯特图的 matlab 代码 for k=0.3,0.7,1.1,1.5 %设置系统参数 h=tf (k,5,3,1); %生成系统函数 nyquist (h); %绘制奈奎斯特图 hold on; end title(奈奎斯特图) 2.22.2 根轨迹根轨迹 根轨迹是指闭环系统的增益 k 由 0 变化至时，闭环特性方程的根在 s 平面上的变化轨迹，根轨迹对于判断闭环系统的稳定性非常有用。在 matlab 中，

28、 可以通过调用函数 rlocus()来绘制闭环系统的根轨迹，其具体的调用方法参看例 题 5。 例 5：已知系统的开环传递函数为，试绘制其 sss ss sgsh 73 4 )()( 23 23 根轨迹图。 解：matlab 代码如下 %绘制根轨迹的 matlab 代码 num=1 1 0 4; %设置系统函数的分子系数矢量 den=1 3 7 0 ; %设置系统函数的分母系数矢量 sys=tf(num,den); %生成系统函数 rlocus(sys); %绘制根轨迹 title(根轨迹图) 2.32.3 波特图波特图 波特图又称对数频率特性图，由对数幅频特性图与对数相频特性图组成。 波特图的

29、横坐标为角频率，按常用对数分度。幅频响应的波特图的纵坐lg 标为幅频响应的对数值，单位分贝（db） ，线性分度。相频响应的波特图的纵坐 标为相位，单位为度（） ，线性分度。绘制波特图的 matlab 函数为)( freqs()，其具体的调用方法可看例 6。 例 6：绘制一阶系统的波特图。 14 1 )( s sh 解：matlab 代码如下 %绘制 lti 系统的波特图的 matlab 代码 num=1; %设置系统函数的分子系数矢量 den=4,1; %设置系统函数的分母系数矢量 sys=tf(num,den); %合成系统的函数 bode(sys); %绘制频率响应的波特图 grid on； title(一阶系统的波特图) 3.3.结论结论 通过奈奎斯特图、根轨迹图、波特图可以直观、明了、简