0909401-19刘亮数学建模课程设计

1、数学建模与数学实验课程设计报告题 目： 最佳给药方案 专 业： 数学与应用数学 学 号： 0909401-19 姓 名： 刘 亮 指导教师： 王 扉 老 师 成 绩： 二0一一 年 12 月 20 日最佳给药方案1 摘要：通常病人每日用药剂量及次数是根据科学研究由生产厂家严格规定的，目的是使药物在人体内保持一个相对稳定的治疗浓度。然而生活中，人们常会由于种种原因忘记按时注射。甚至于有人急于治好病，就盲目增加注射次数，缩短注射间隔时间。其实这些做法是不科学的。药效与药物浓度在特定情况下成一定函数关系,可表示为E=f(C)。忘记注射和注射时间间期太短，均不利于药效的发挥。那么药物浓度与药效有怎样的

2、关系呢？注射时间间隔又是如何影响药效的呢？2 问题重述：一种新药用于临床之前，必须设计给药方案.药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。若假设在人体中血药浓度是均匀的，快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强，故在临床上，每种药物有一个最小有效浓度m和一个最大有效浓度M。若药物P的m为12g/ml，M为28g/ml，并在临床前的实验中，用静脉注射方式一次注入人体该药物350mg后（注：1mg=103g），人体的

3、血药浓度如下表所示时间(h) 1 2 4 7 10 13 15 18 21 24 27浓度（g/ml） 22.2 21.1 19.1 16.4 14.2 12.2 11.0 9.5 8.2 7.0 6.0问题1：若药物需连续有效作用人体72小时后能取得预期效果，请给出所有可能的药物的注射方案（即注射几次，分别在什么时间注射）。问题2：若药物疗效的最佳浓度为20g/ml，浓度为m和M时分别只有50%的疗效，试比较问题1中的方案。3 问题分析： 将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立即上升；然后缓慢下降。当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能

4、导致药物中毒或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效浓度m和一个最大有效浓度M。设计给药方案时，要使血药浓度 保持在mM之间。本题设m=12，M=28(ug/ml)。1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律；2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长；4 问题假设：1.机体看作一个房室，室内血药浓度均匀 一室模型;2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数 k(0);3.血液容积v, t=0注射剂量d, 血药浓度立即为d/v;4.对血药浓度数据作拟合，符合负指数变化规律mMm0t5 符号说明：m:药物

5、的最小有效浓度；M:药物的最大有效浓度；K:药物排除速率；d:注射剂量；t:给药时间间隔；v:血液体积；6 模型建立与求解：由假设2得：dm/dt=-km;由假设3得：m（0）= d/v ;得 ： m(t)=(d/v)exp(-kt) 由 m(t)=(d/v)exp(-kt)=ln m=ln(d/v)-kt y=ln m,a1=-k,a2=ln(d/v)y=a1ta2;k=-a1;v=d/exp a2设计一个matlab程序：d=350;t=1 2 4 7 10 13 15 18 21 24 27;m=22.2 21.1 19.1 16.4 14.2 12.2 11.0 9.5 8.2 7.0

6、 6.0;y=log(m);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)7 结果分析与检验:问题1：计算结果为：k=0.2546(1/h);v=15.15(l)设每次注射剂量D, 间隔时间t;血药浓度m(t) 应m m(t) M;初次剂量D0 应加大;给药方案记为：D0,D,t1.D0=vM,D=v(M-m)2.m=M*exp(-kt)t=(1/k)*ln(M/m)计算结果为：D0=370.4,D=225,t=3.9给药方案：D0=370(mg),D=225(mg),t=4(h)所以最优的给药方案就是第一次注射370mg,每隔4小时注射一次，每次注射量为225mg,连

7、续注射72小时。问题2由于药物疗效的最佳浓度为20g/ml，浓度为m和M时分别只有50%疗效，计算结果为：k=0.325(1/h);v=15.15(l);D=159.37(mg),所以注射时间间隔为3小时，每次注射160mg,连续注射72小时，方能达到最佳的治疗效果。8 模型的评价： 优点：1）药物浓度与时间关系简化的指数模型，优点：药效总能控制在最佳水平；初次时间间隔需单独规定，以后可按时注射，该求每次药剂量及时间间隔方案适合于需长期注射的药物，如胰岛素。故该模型能说明病人按时注射才能达到最佳治疗效果的道理。2) 浓度与药效关系线性模型：可探求低药效水平时任意时段的药物作用效果。缺点：模型限

8、制于低药效水平，且与药物散失能力（k）及注射周期相关，若k值较大（即药物易被吸收）或注射间期较长，每次再注射前，药物浓度已达最低水平，药效会呈周期性指数变化，有其最大值。若相反，则药效会不断增强，是药三分毒，如此下去，反而物极必反。故该模型能解释为什么缩短注射间隔反而会对身体造成伤害，并且注射某种药物时间过长会导致体内积累的药物越来越多进而损伤身体。而且只把血药含量看成是时间的函数，忽略了其他因素，比如人的新陈代谢旺盛程度和所吃的食物与药物发生化学反应。 改进方向：增加几个变量，考虑不同人的新陈代谢等因素对血药量的影响，考虑各种食物与药物之间的化学反应等。 推广新思想：建立数学模型必须从多方面去思考，它的最终目的是使复杂