高三直线与方程(优秀教师版本)

1、2012 年高三数学一轮复习精品资料: 直线与方程【知识特点】1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一；2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性；3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。【重点关注】1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的

2、知识点，这些将是今后高考考查的热点；2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力；3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高；4、注重数学思想方法的应用解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。【地位和作用】解析几何是17 世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立

3、直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题； 分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合 ”的思想方法。从新课改近两年来的高考信息统计可以看出，命题呈现出以下特点：1/201、各种题型均有所体现，分值大约在19-24 分之间，比重较高，以低档题、中档题为主；2、主要考查直

4、线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及综合应用，符合考纲要求，这些知识属于本章的重点内容，是高考的必考内容，有时还注重在知识交汇点处命题；3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系为主命题，且难度有所降低；更加注重与其他知识交汇，充分体现以能力立意的命题方向。第一节直线与方程【高考目标定位】一、直线的倾斜角与斜率（一）考纲点击1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。（二）热点提示1、直线的倾斜角和斜率、两直线的位置关系是高考热点；2、主要以选择、填空题的形式出现，属于中

5、低档题目。二、直线的方程（一）考纲点击1、掌握确定直线位置的几何要素；2、掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。（二）热点提示1、直线的方程是必考内容，是基础知识之一；2、在高考中多与其他曲线结合考查，三种题型可出现，属于中低档题。三、直线的交点坐标与距离公式（一）考纲点击1、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。（二）热点提示1、本节重点体现一种思想转化与化归的思想，这种思想是高考的热点之一；2、本部分在高考中主要以选择、填空为主，属于中低档题目。2/20【考纲知识梳理】一、直

6、线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（ 1）直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点： .与 x 轴相交 ; .x 轴正向 ; .直线向上方向.直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 .倾斜角的范围 001800 .（ 2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为900 的直线斜率不存在。经过两点的直线的斜率公式是每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（ 1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1 ,l2 ，其斜率分别为k1 , k2 ，则有 l1 / /l 2k1k2 。特别地，当直线l1 ,l 2 的斜率都不存在时，l1与 l2 的关

7、系为平行。（ 2）两条直线垂直如果两条直线l1 , l2 斜率存在，设为k1 , k2 ，则 l1l2k1 k21注：两条直线l1, l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1 ,l 2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l 2 互相垂直。二、直线的方程3/201、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式k 为斜率， b 是直线在 y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包

8、括垂直于x 轴和 y 轴的直线截距式a 是直线在 x 轴上的非零截距， b 是直线不包括垂直于x 轴和 y 轴或在 y 轴上的非零截距过原点的直线一般式A，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（ 1）若，直线垂直于x 轴，方程为；（ 2）若，直线垂直于 y 轴，方程为；（ 3）若，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y ），则此公式为线段的中点坐标公式。三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直

9、线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2.几种距离4/20（ 1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式特别地，原点O（ 0， 0）与任一点P（ x,y）的距离（ 2）点到直线的距离点到直线的距离；（ 3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（ 1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（ 2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。【热点难点精析】一、直线的倾斜角与斜率（一）直线的倾斜角相关链接2已知斜率 k 的范围， 求倾斜角的范围时， 若 k 为正数， 则的范围为 (0,) 的子集，

10、 且 k=tan2为增函数；若 k 为负数，则的范围为 (, ) 的子集，且 k=tan为增函数。若 k 的范围有正有负，则可2所范围按大于等于0 或小于 0 分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。例题解析例 已知直线的斜率k=-cos( R).求直线的倾斜角的取值范围。思路解析： cos的范围斜率 k 的范围tan的范围倾斜角的取值范围。解答：5/201 cos1,1cos1.即 1 k 1, 1 tan1,04或 3,4倾斜角的范围为 0,3 , .44（二）直线的斜率及应用相关链接1、斜率公式：ky2y1 与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；x2x12

11、、求斜率的一般方法：（ 1）已知直线上两点，根据斜率公式ky2y1 (x2x1 ) 求斜率；x2x1（ 2）已知直线的倾斜角或 的某种三角函数根据 ktan 来求斜率；3、利用斜率证明三点共线的方法：已知 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), 若 x1x2x3或kABkAC ，则有 A 、 B、 C 三点共线。注：斜率变化分成两段，900 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。例题解析例 设 a,b,c 是互不相等的三个实数，如果A(a, a3 )、B(b,b3 )、C( c, c3 ) 在同一直线上，求证：abc0思路解析： 若三点共线，则由任两

12、点所确定的直线斜率相等或都不存在。解答 ：（三）两条直线的平行与垂直6/20例 已知点 M （ 2， 2）， N （5， -2），点 P 在 x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。（ 1） MOP= OPN（ O 是坐标原点）；（ 2） MPN 是直角。思路解析： MOP= OPNOM/PN ， MPN是直角MPNP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。解答：设 P(x,0),(1)MOPOPN,OM / / NP. kOM kNP又 kOM201,kNP0( 2)2( x 5),20x5x512,x7,即P(7,0).x5900 , MP(2)MPNNP, kMP kNP1.又 kMP

13、2( x 2), kNP2222x(x 5),2 x1,x 5x 5解得x或x6,1即 P(1,0)或(6,0).注：（ 1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和 l 2 ，。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。（ 2）注意转化与化归思想的应用。（ 3）利用斜率的几何意义可以证明不等式，利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直，数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题，抓住问题的实质。二、直线的方程（一）直线方程的求法相关链接1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基

14、本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。用待定系数法求直线方程的步骤：（ 1）设所求直线方程的某种形式；（ 2）由条件建立所求参数的方程（组） ；（ 3）解这个方程（组）求参数；7/20（ 4）把所求的参数值代入所设直线方程。2、求直线方程时， 首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为 0。若不确定，则需分类讨论。例题解析例 求过点 P（ 2，-1），在 x 轴和 y 轴上的截距分别为a、 b,且满足 a=3b 的直线方程。思路解析： 对截距

15、是否为0 分类讨论设出直线方程代入已知条件求解得直线方程。解答：当 a=3,b 0 时，设所求直线方程为xy，即xya13b1.又直线过点 P(2, 1),bb21解得1所求直线方程为x3 y10.3bb1,b.3当a3b时，则所求直线过原点，可设方程为ykx(k 0).0又直线过点 P(2,1),则1 2k, k1 .12所求直线方程为yx.2综上所述，所求直线方程为x 3y或11 0yx.2（二）用一般式方程判定直线的位置关系相关链接两条直线位置关系的判定已知直线 l1 : A1 xB1 yC10 ， l 2 : A2 xB2 yC20 ，则（ 1）且A2C1 0(或B1C2B2C1 0)

16、l1 / /l 2A1B2 A2B1 0 AC12或记为：A1B1C1 ( A2、B2、 C2不为0).A2B2C2（ 2） l/ /l2AA BB 0.11212（ 3）8/20（ 4）例题解析例 已知直线 l1 : ax2 y60 和直线 l 2 : x(a1)ya210 ，（ 1）试判断 l1 与 l 2 是否平行；（ 2） l1 l2 时，求 a 的值。思路解析： 可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按l2 的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。解答：（ 1）方法一：由A1B2A2 B10,得a(a 1) 1 20,由 AC1 2A2C10,得a

17、(a2 1) 1 6 0,l1 / / l2a(a1)120a2a201,a(a2 1)160a(a21)a6故当a时，否则与不平行.1l1 / / l2ll2方法二：当a时,l1: x 2 y60,l2 : x不平行于l；10,l12当a时，l1: y3,l2 : x y 1不平行于l；00,l12当a且a时，两直线可化为10l1 : ya x3,l2 : y1x (a1),21 aa1l1 / /l 22 1 a,解得 a1,3(a1)综上可知，a时，l1 / /l2，否则 与 不平行 .1l1l 2（ 2）方法一：由 A1A2B1B20得 a2(a1) 0a2 .3方法二：9/20当 a

18、1时， l1 : x2 y60, l2 : x0, l1与 l 2不垂直，故 a1不成立 .当 a1时， l1 : ya x3,l 2 : y1x ( a 1),21a由(a )11aa .21 a3（三）直线方程的应用相关链接利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。（ 2）“截距”并非“距离” ，可以是

19、正的，也可以是负的，还可以是0。例题解析例 如图，过点 P（2， 1）作直线 l ，分别为交x、 y 轴正半轴于A 、B 两点。（ 1）当 AOB 的面积最小时，求直线l 的方程；（ 2）当 PA PB 取最小值时，求直线l 的方程。思路解析： 求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式。由于本题中给出了一点，且直线与 x、 y 轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：点斜式：设 l 的方程为，分别求出A 、 B 的坐标，根据题目要求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件；截距式：设 l 的方程为，将点（ 2， 1）代入得出a 与 b 的关系，建立目标函数，求最小值及最值成立的条件

20、；根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决。10/20解答：（ 1）方法一：设 l 的方程为 y1k (x2)( k0) ，则 A(21 ,0), B(o,1 2k),kS AOB(21 )(1 2k )2 21( 4k1 ) 21 2 ( 4k )(1 )4,k2k2k当且仅当4k1 ，即 k1 时取等号 .k2k0),A0 b ,P( x1 ,0),a,bx1-a x1 a,ABbx-ay+ab=0,ACbx+ay-ab=0,4 7a0,b0 , ab0,-ab0,b x1 - ab0,10 12【感悟高考真题】12010410x-2y-2=0Ax-2y-1=0(B)

21、x-2y+1=0(C)2x+y-2=0Dx+2y-1=04.A15/20【解析】设直线方程为x 2 y c0，又经过(1,0)，故 c1 ，所求方程为x2y10 .【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为x2 yc0 ，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程. 也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线 x-2y-2=0平行 .2（ 2010 上海文数） 7. 圆 C : x2y22x 4 y40 的圆心到直线 3x 4 y40 的距离 d3 。解析：考查点到直线距离公式圆心（ 1,2 ）到直线 3x4 y 43142430

22、距离为53（ 2010 山东理数）（ 16）已知圆C 过点（ 1，0），且圆心在x 轴上，直线l : yx1补圆 C 所截得的弦长为2 2 ，则过圆心有与直线 l 垂直的直线的方程为【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为 (a,0) ，则由题意知：( | a-1| ) 2 +2=(a-1) 2 ，解得 a=3 或 -1 ，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以 a=3 ，故圆心坐标为（3， 0），2因为圆心（ 3， 0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0 ，即 m=-3 ，故所求的直线方程为 x+y-3=0 。【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关

23、系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。4 （ 2008 年全国二11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为xy20 与 x7 y40 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（A）A 3B 211CD32【考点精题精练】一、选择题1倾斜角为45 ，在 y 轴上的截距为1 的直线方程是（B）A x y 1 0 B x y 10 C x y 1 0 D x y 1 02倾斜角为 45 ，在 y 轴上的截距为1 的直线方程是（ D ）16/20A yx1C yx1B yx1D yx13过点 M 2,1 的直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 P、Q 两点，且 MQ2 MP ，则直

24、线 l 的方程为（ D）A.x+2y-4=0B.x-2y=0C.x-y-1=0D.x+y-3=04点 P(2,3)到直线： ax+(a 1)y+3=0 的距离 d 为最大时， d 与 a 的值依次为（ B ）A 3,-3B 5,1C 5,2D 7,15在平面直角坐标系中，点A(1 ，2)、点 B(3，1)到直线 l 的距离分别为1 和 2，则符合条件的直线条数为( B )A 3B 2C 4D 16已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（ C ）ABCD7A(2, m) 和 B( m,4) 的直线与直线 2x y1 0 平行，则m的值为（B）已知过点A.0B.8C.2D.10解析： k4m2,

25、m8m 28已知 ab0,bc 0 ，则直线 axbyc 通过（ C）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限ya xc , ka0, c0解析：bbbb9若方程 (2m2m3) x(m2m)y4m 1 0表示一条直线，则实数m 满足（ C）A.m0B.m32C.m 1D.m 1， m3， m 02解析： 2m2m3,m2m不能同时为017/2010若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平面区域内，则实数的值为（ D ）A.7B. 7C.3D. 311设分别是中所对边的边长,则直线与的位置关系是(B )A 平行B垂直C重合D 相交但不垂直12过原点和在

26、复平面内对应点的直线的倾斜角为（D ）ABCD二、填空题13（2010 届广东省梅州揭阳高三联考（理）13函数 ye2 x 图像上的点到直线 2x y 4 0 距离的最小值是_ 514 11.若直线 l1 : mx y 10 与 l2 : x2 y5 0 垂直，则 m 的值是 215 16.已知 A、 B、 C 三点的坐标分别是(0,-2)、 (0,0) 、 (3,1), 若点 M满足 AM2MC,点 N满足AN3NB ，点 P 满足 PMPN ，则 P 点的轨迹方程是 x 2+y2-2x-y=0.16直线为参数）上与点的距离等于的点的坐标是（ -3，4）或（ -1， 2）三、解答题17（广东汕头金平区2010 届高三上联考（文） ） (20)（本小题满分 14 分）f ( x)af ( 2)22x(0,)2 . 设点 P 是函数图象上的任意一点，过点P已知函数x 的定义域为，且分别作直