余弦定理知识点总结和同步练习

1、余弦定理教师：郭庆友(1) 语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.(2) 公式表达1、余弦定理：在 C 中，有 a2 b2 c2 2bccos , b2 a2 c2 2accos2 2 2cab 2abcosC .余弦定理证明如上图所示， ABC在c上做高，根据射影定理，可得到：C =+ COS(ft)将等式同乘以c得到：c 二flccos() + frccos(a)运用冋样的方式可以得到：X = accost + flbcos(y) = btcos(iT)+ dfecosf j/J将两式相加：a3= accost + abcos(y)+ be

2、 cos(a) + abcos(y)F 4胖二(jccos() + bcco5(t) +izfrco5(y) + flbeosy) a3 + b2 = / 十 2flfrcos(y)C亠=fl 4-t -2i7fccosy向量证明吐ABC中，AB = r= AC幘二BtBC? =(XC-AB)-(Xt-Xfe) 虞=网 + |ab|3-2ABAC 成f =卜士 ”直亠-2 pH AC： DZ n2 = fc2 + c2 - 2bccosA2、余弦定理的推论：COSb2c2 a22bccosa2c2b22accosCa2 b22abc23、 设a、b、c是C的角 、C的对边，则：若 a2 b2

3、c2，则C 90;若 a2 b2 c2，则 C 90 ；若 a2 b2 c2，则 C 90 注：此法可以进行三角形形状的判定：主要判定最大角的余弦值的正负号，若最大角的余弦 值为负数，也即最大角为钝角，所以此三角形为钝角三角形；若最大角的余弦值为0，也即最大角为直角，所以此三角形为直角三角形； 若最大角的余弦值为 正数，也即最大角为 锐角， 所以此三角形为锐角三角形；4、余弦定理的适用范围余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：已知三角形两边及夹角求第三边；是已知三个边求角的问题若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。注：在两边一对角 的三角

4、问题中，也可以运用余弦定理方便快捷的求出第三边；余弦定理的应用要比正弦定理范围广泛。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值例题：1 在 ABC中，已知 a 2.3，c 、6 2，B 600，求 b 及 A；2 2 2解析：(i)v b a c 2accosB=（2、.3）2 （、.6 、2）2 2 2 .3 （、6、2） cos45=12 （、6、2）2 4、3（、3 1）=8 b 2.2求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法cos Ab2 c2a22bc（2、.2）2 （.6；2 ）2 （2.3）2 12 22 b/6 V2）2 A 600解法二:已知加产中夕OW

5、:吧纠：、扭:（羽+ 1），求 ABC各角的度数._又 62 2.4 1.4 3.8, 2 3 2 1.8 3.6, a c，即 00 A 900,解题过程 a ： b : c = 2 : 6 : （ 3 + 1）, A 600-令 a= 2k, b= 6k, c = （ 3+ 1）k.例2:由余弦定理，有b2 + c2 a2_6 + ;3 + 1 2- 4_2 cos A= 2bc= 2 6 X .3+ 1 = T，A= 451 “=2,思路点拨：由c0S B=求三角形BS2X角.X 3 + 1 B= 60答本题可应用余定求出三个角0 45 60 = 75囲变式训练1.在 ABC 中，已知

6、a = 2 6, b= 6 + 2 3, c= 4 3,求角A, B, C.解析：在厶ABC中，由余弦定理得,a2 + b2 c22 J6 2 - 6 + 23 2 -2cos C=2ab 2X 2 6X 6+ 2 3243+ 124 23 + 12 -题后感悟此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题， 基本解法是先利用余弦定 理C推论萨个角s的余弦，工再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角， 最后用三角形内角和定理，求出第三个角 （一般地，先求最小角，再求最大角 ）由正弦定理得：_ 22 6X.A asin C21sin A=厂=小.c4p 32t ac,. Acsin

7、 30知本题有两解.csin B 33X 2 心例正:定理，得 sin C= cs： B =3 2= 23C= 60 或 120.当 C= 60时，A= 90由勾股定理a= b2 + c2= 2 3.当C= 120时，A = 30 ABC为等腰三角形. a= 3.已知：在厶ABC中，b = 解题过程方法一：由余弦定理：b2= a2 + c2 2accos B得(3)2 = a2 + 32 2Xax 3Xcos 30 - a? 3 对3a + 6= 0 a =3 或 a = 2 3当 a=Q时，b=3, A = 30 C = 120当a= 2*3时，由正弦定理sin A =譽严=2 3乌30 =

8、1.题后感悟可比较两种方法，从中体会各自的优点， 三角形中已知两边及一角， 有两种解 法，从而摸索出适合C自己思维的解题规律和方法. 方法一利用余弦定理列出关于 a的等量关 系建立方程，运用解方程的方法求出 a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦. 方法二直接运3, c= 3, B= 30解此三角形.广尊jjgh聲、由余弦定理列方程求J仝/由余弦定理的推论求A、匸=用正弦定理，先求角再求边.b . A方法二：在 ABC中由正弦定理得sin B= a = 26X万 12若将题中条件为为“a,b以,昨30A&鋤05；，应如何求解三05形2 3 2o6+2=4，asin C 则c=而C2 3乂旦严 _=

9、:=3+ 3.=sin(45 + 60) = sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60册变式训练解析：直接运用余弦定理：a2 = b2 + c2 - 2bccos A = 32 + (2 3)2 - 2 X 3 X 2 3 x cos30； = 3,从而a= 3,.a2+ c2-b2 3 2 + 2V3 2-32_6_ 1cos B_2ac _ 2X 3X 2 3 _ 12_2，.B_60.C_ 180 A- B_ 180 30 - 60 _90.3在 ABC中，已知角A, B, C所对的三边长分别为a, b, c,若 a_2 3, b_ 6, A_45 求边长 c.解析：

10、方法一：在 ABC中，根据余弦定理可得 a2 _ b2+ c2-2bccos A,即 c2- 2 3c-6_ 0,所以 c_ 33.因 为 c0,所以c_ 3 + 3.考点二：判断三角形的形状例5：在厶ABC中，若b2sin2C c2sin 2B 2bccosBcosC，试判断三角形的形状思路点拨：由题目可获取以下主要信息： 边角之间的关系：b2 sin2C c2sin2B 2bccosBcosC ； 确定三角形的形状.解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论； 也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状.a b c规范作答方

11、法一：由 而=拆=siiTC=2R，则条件转化为 4R2sin2C in2B+ 4R2 i n2C sin2B= 8R2 sinB sin C cos B cos C，又 sin B sin C工 0， sin B sin C= cos B cos C，6 分即 cos(B + C) = 0.8 分又 0B+ Cba且厶ABC为钝角三角形， C为钝 角.已知钝角三角形的三边2+ab2_k,c2b=k + 2k_Cl2k+ 4，求k的取值范围=2k k+ 2 0,2ab由余弦定理得cos C二a * _ C k _ 4k_ 12k2 4k 120，解得2 k k+ 4， k2，由可知2kk + 4,即k2,而不是k0.、选择题221 .在 ABC 中，a cA. 300B. 6002 .在 ABC中，已知AE的值为（余弦定理同步练习b2 ab，则角c%(C. 450 或 13504.63,COSB66D. 1200,AC边上的中线BD= 5，贝U sin AA.卫17B.7012C.7014D.143 .在 ABC 中,(ac)(ba)3bc ,并有 si nA = 2 sin BcosC,那么 ABC 是A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三