圆锥曲线焦点三角形推导

1、椭圆焦点三角形1.椭圆焦点三角形定义及面积公式推导(1)定义：如图1,椭圆上一点与椭圆的两个焦点f1,f2构成的三角形pf1f2称之为椭圆焦点三角形.(2)面积公式推导解：在 pf1f2中，设,PFiPF22，由余弦定理得PF12PF222F1F2I2|PF1|PF2cosF1PF22221D (2c)212(ri a)22吋2 4c2(2a)22订2 4c22订22订24(a2 c2) 2rir22b2心*yOx图12订2r1 r2 cos2b2即 r1r25cosS PF1F21 .r r2 sin22b21 cossinb2-=b2 tan.1 cos2例1 焦点为Fi, F2的椭圆2

2、2x y4924uuuu uuuu1 上有一点 M，若 MR MF2 0,求 MF1F2的面积.uuunMF1UUULTmf2 0，二 MF1MF2，MF1F2b2 ta n 24ta n902 22 2例2.在椭圆的令匚ab21(9 b0)中，F1, F2是它的两个焦点，B是短轴的一个端点，M是椭圆上异于顶点的点,求证:F1BF2F1MF2 .证明：如图2,设M的纵坐标为yo， S BF1F2 詐问b 2申| |y。以 +RBF22.F1MF2b tanb tan,2 2即tan丄理tan卫氏,2 211又RBF2, RMF2都是锐角，221故fbf2 fmf222从而有 fbf2fmf2

3、.2 双曲线焦点三角形定义及面积公式推导.(1)定义：如图3,双曲线上一点P与双曲线的两个焦点Fn F2构成的三角lPF1l22PF22F1F2Iwo2lPFdPF22 2 2A D (2c),PF1 * , PF2 $，由余弦定理得图3144，设F1, F2是双曲线得两个焦点.点形PF1F2称之为双曲线焦点三角形.(2)面积公式推导：解：在 pf1f2中，设 f1pf22 2 2(r, r2)2r,r2 4c(2 a)22 2 2芯 2(c a ) 卬2 2br1r2r1r2 nacos 盹 2b2即r r2b2即121cosS PF1F2112b22 sin2r2 sinsin21 cos

4、b= b cot21 cos例3、已知双曲线16x2 9y2双曲线上，PF1 PF2 32，求 FFF2的大小.2 2解：双曲线的标准方程为會16 1，PF1F21|PF1 |PF2|sin F1PF232sin F|PF2 16sin F1PF2,从而有 16sin F-|PF2 16cotRPF2_16si n F1PF2cos F1PF2cos F1PF2F1PF2902例4:椭圆-62y1与双曲线23x21的公共焦点为Fi,F2 , P是两曲线的一个交点，求cos F1PF2的值.解：在椭圆和双曲线中异算 pf1f2面积t 2 ta nS2 tan2 2PF1F2 1cot ，2cos2x-2a21 tan2 21 tan2 21 1_21 12开拓：从上例我们不难发现，若椭圆2 x-2a12 y b120）和双曲线2N 120,b2 0）有公共的焦点F1,F2和公