排列组合用A还是C的技巧

1、排 列 组 合 用A 还 是C的 技 巧.解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是 组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本 质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一 些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一、合理分类与准确分步法（利用计数原理）解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类， 按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确， 分步层次清楚，不重不漏。例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不 同的排法有 （）A. 120 种B. 96 种 C . 78 种D. 72 种分析：由题意可先

2、安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾， 剩下四人可自由排，有P（4,4）=24种排法；2）若甲在第二，三，四 位上，则有C（3,1）*C（3,1）*P（3,3）=54 种排法，由分类计数原理，排 法共有78种，选C。解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排 列）的方法解答。例2、4个不同小球放入编号为1 , 2, 3, 4的四个盒中， 恰有一空盒的方法有多少种？分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1)选：从四个球中选2个有C(4,2)种，从4个盒中选3个盒有C(4,3)种；2)排： 把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3 盒作全排列有P(3,3)种，故所

3、求放法有C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144 种。二、特殊元素与特殊位置优待法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例3、用0, 2，3, 4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()。A.24 个 B。30 个C。40 个D。60 个分析由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按 0 排在末尾和0不排在末尾分两类：1) 0排末尾时，有P(4,2)=12个,2) 0不排在末尾时，则有C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18 个，由分数计数 原理，共有偶

4、数30个，选B。例4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只， 也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第 三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的 方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化 为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种 数为 C(4,3)=4。三、插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好， 再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。例5、7人站成一排照相，若要求甲、乙

5、、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析：先将其余四人排好有P(4,4)种排法，再在这人之间 及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有 P(5,3)种方 法，这样共有P(4,4)*P(5,3)=1440种不同排法。对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在 一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种 不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余 4人共 5个元作全排列，有P(5,5)种排法，而甲乙、丙、之间又有 P(3,3) 种排法，故共有P(5,5)*P(3,3)=720 种排法。四、排除法对于含有否定

6、字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除 去，此时需注意不能多减，也不能少减。例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全 排列有C(4,1)P(4,2)=48个，排好后发现0不能排首位，而且数字3， 5也不能排末位，这两种排法要除去，故有C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30 个偶数。五、 顺序固定问题用“除法”(对等法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。例7、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有 P(6,6)种，而

7、其中甲、乙、丙的种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有P(6,6)/P(3,3)=120 种。六、 构造模型“挡板法”对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔 板模型来解决问题。例& 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它 们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一 种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整 解，故原方程的正整数解的组数共有 C(11,3)=165 。例9、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的

8、 种数？解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下 的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在 7 本相同书之间的6个“空档”内插入2块隔板共有C(6,2)=15种插 法。又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级，有多少种 不同的分配方法？ 经过转化后都可用此法解。七、分排问题“直排法”把几个元素排成前后若干排的排列问题， 若没有其它的特殊 要求，可采取统一排成一排的方法来处理。例9、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同 的坐法有多少种？分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故 两排可看作一排来处理，不同的坐法共有 P(7,7)=5040

9、种。八、构造方程或不等式B.4种C.5种例10 :某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得 3分；平 一场得1分；负一场得0分。一球队打完15场积33分，若不考虑 顺序，该队胜、负、平情况共有()A.3种D.6种解析：设该队胜x场，平y场，则负(15-x-y)场，由题意得3x+y=33 y=33-3x( 0 x 11 且 x+y 15 )因此，有以下三种情况：x=11,y=0 或 x=10,y=3 或 x=9,y=6 故选 A例12、把一张20元面值的人民币换成1元、2元或5元面 值的人民币，有多少种不同的换法？解：设对换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，5元 的人民币z张，则x+2y+5z=20当z = 0时，x+2y=20 , x可以取0、2、420，有11种方 法。当z = 1时，x+2y=15 , x可以取1、3、515，有8种方法。 当z = 2时，x+2y=10 , x可以取0、2、410，有6种方法。 当z = 3时，x+2y=5 , x可以取1、3、5有3种方法。当 z = 4 时，x+2y=0 , x=0 , y=0,1 种方法。故共有11+8+6+3+1=29种方法。九、枚举法：有些计数问题由于条件过多，从排列或组合的角度思考不 太方便，可以尝试用枚举法，枚举时也要按照一定的思路进行，才 能做到不重不漏。例11 :某