中考专题：三角形(学生

1、4.2三角形及其全等考点一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。2、三角形的特性与表示3、三角形的分类三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的

2、三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；

3、大边对大角。8、三角形的面积：三角形的面积=底高考点二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2、全等变换全等变换包括一下三种：（1）

4、平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。【典型例题】例1. 如图所示，小明欲从A地去B地，有三条路可走：AB；ADB；ACB（1）在没有其它因素的情况下，我们可以肯定小明是走，理由是_（2）小明绝对不会走，因为路程最长，即AC+BCAD+DB，你能说明其原因吗？ 例2. （2006郴州）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的

5、等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 例3. （2010南宁）如图，已知RtABCRtADE，ABC=ADE=90，BC与DE相交于点F，连接CD，EB（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：CF=EF 【随堂练习】1. （2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A5B6C11D162. （2012呼和浩特）如图，在ABC中，B=47，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC=_ 3. （2012黄石）将下列正确的命题的序号填在横线上_.若n为大于2的正

6、整数，则n边形的所有外角之和为（n-2）180三角形三条中线的交点就是三角形的重心证明两三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，SSA及HL等4. （2012河南）如图，在ABC中，C=90，CAB=50按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；作射线AG交BC边于点D则ADC的度数为_. 5. （2012绍兴）如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M（1

7、）若ACD=114，求MAB的度数；（2）若CNAM，垂足为N，求证：ACNMCN6. （2011河北）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A2B3C5D137. （2011福州）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A2B3C4D58. （2010南宁）如图所示，在RtABC中，A=90，BD平分ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A3B4C5D69. （2009江西）如图，已知AB=AD，那么添加下列

8、一个条件后，仍无法判定ABCADC的是（）ACB=CDBBAC=DACCBCA=DCADB=D=9010. （2009太原）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（）A4B4.5C5D5.511. （2008沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A1对B2对C3对D4对12. 如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC=40，求CAP=_ 13. （2011南昌）如图所示，两块完全相同的含30角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30有以下

9、四个结论：AF丄BC；ADGACF；O为BC的中点；AG：DE= ：4，其中正确结论的序号是 _ 14. 在ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若ABC的周长为10cm，则DEF的周长是_cm15. （2008吉林）如图所示，点D、B、C在同一直线上，A60，C50，D25，则1_16. （2010苏州）如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CD=CE（1）求证：ACDBCE；（2）若D=50，求B的度数4.3等腰三角形与直角三角形【知识清单】1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰

10、三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

11、推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平

12、分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三

13、边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。2.直角三角形的性质 1、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30可表示如下： BC=AB C=902、直角三角形斜边上的中线等于

14、斜边的一半 ACB=90 可表示如下： CD=AB=BD=AD D为AB的中点4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即5、射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项ACB=90 CDAB 6、常用关系式：由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC3. 直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。【典型例题】例1.（1）等腰三角形

15、的两边长分别为6cm，8cm，则其周长为_ ; (2)等腰三角形的两内角度数之比为1:2，则顶角的度数为_ _例2.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，求B的度数 例3.一个等腰三角形形状的花圃面积为30m2.，其一边长为10m，求该等腰三角形花圃的另两边长。 例4. 如图，AD为ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，AC于EF交于点O求证：3=B； 例5：（2007成都）已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G （1）求证：

16、BF=AC； （2）求证：CE= BF； （3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论 【随堂演练】1. 2012安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A10B.C10或D10或2 2.（2012宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I

17、都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A90B100C110D1213.（2012上海）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 44（2012丽水）如图，在等腰ABC中，AB=AC，BAC=50BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则CEF的度数是 5（2012黄冈）如图，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则EBC的度数为 6.（2012杭州）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=

18、CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE（1）求证：AF=DE；（2）若BAD=45，AB=a，ABE和DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长7. 2012河北）如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的EAB和EDC均是等腰三角形，且在BC同侧（1）AE和ED的数量关系为 _,AE和ED的位置关系为_;（2）在图1中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD分别得到图2和图3在图2中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比1：2，H是EC的中点求证：GH=HD，GHHD在图3中，点F在的B

19、E延长线上，EGF与EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GHHD（用含k的代数式表示）8（2010无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A两边之和大于第三边B有一个角的平分线垂直于这个角的对边C有两个锐角的和等于90D内角和等于1809如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG60现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为（）A4B3C2D110（2009安徽）如图，在ABC中，AB=AC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，则AIB的度数是（）A120B125C135D15011（2009重庆）如图，在等腰RtAB