(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

1、WORD格式.可编辑集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变初学时，由于未能真正 理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解.本文就常见易错点归纳如下：1 代表元素意义不清致误例 1 设集合 A= ( X, y)l x + 2 y= 5, B= ( X, y)l x 2 y=- 3,求 Al B .x + 2y = 5x =1错解： 由丿 丫得丿从而AIB=1 , 2.x 2y = 3y = 2分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A、B中元素为点集，所以 A B= (1 , 2)例 2 设集合 A= y I y = x2 + 1, X

2、 R , B= x I y= . x + 2，求 APB.错解： 显然A= y I ylB= x I y2.所以 AP B=B.分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y,从而A= yI y 1，但集合B中的元素为x,所以B= x I x 0，故AP B=A .变式：已知集合 A = y I y = x2 1，集合B = y | x二y2，求A B解：A 二 y | y = x21 = y | y _ 1 , B 二y|x二y2=RA B =y |y _1、22例3设集合A=xx-6 = 0,B=x|xx-6=0，判断A与B的关系。错解：A 二 B 二-2,3分析：某些指定的

3、对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A中的元素属性是方程，集合B中的元素属性是数，故 A与B不具包含关系。例4设B= 1,2，A= x|x? B，则A与B的关系是()A. A? B B . B? A C. A B D . B A 错解：B分析：选 D. / B 的子集为1，2，1,2，?， A= x|x ? B = 1，2，1,2，? ，从集合与集合的角度来看待A与B，集合A的元素属性是集合，集合B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看 待 B与A，. B A.评注：集合中的代表元素，反映了集

4、合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 A=1，3，a，B= 1， a2 a + 1 ,且 A=B，求 a 的值.错解：经过分析知，若a2 a 3,则a2 -a-2=0,即a -1或a = 2 .若a2 -a 1 二 a,则 a2 -2a 7=0,即 a =1 .从而 a =1，1，2.分析 当a =1时，A中有两个相同的元素 1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a =1,2.例6 设A=xl x + (b + 2)x + b+1 = 0,b R,求A中所有元素之和.(x+1) (x + b + 1)=0错解：由 x2 +(b + 2

5、)x + b+1 = 0得(1) 当b = 0时，x i = X2 - 1,此时A中的元素之和为一2.(2) 当b =0时，x i + X2 =b 2.分析 上述解法错在(1)上，当b = 0时，方程有二重根一1,集合A=1,故元素之和为一1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性” .评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。3 .忽视空集的特殊性致误例 7 若集合 A= x|x

6、2+ x 6 = 0, B=x|mx+ 1= 0，且 B A,求实数 m的值. 错解：A= x|x + x 6= 0 = 3,2. B=A,(1) B=m灶1 = 0的解为一3,1由 m- ( 3) + 1 = 0,得 m= 3；(2) B 二2m灶1 = 0的解为2,1由 nr 2+ 1 = 0,得 m= $;11综上所述，m = -或m =- 32分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了B =的情况。 2正解：A= x| x + x 6= 0 = 3,2./ BA,(1) B =，此时方程 mx 1 = 0无解，.m = 0(2) B = -3m灶1 = 0的解为一3,1由 m- ( 3)

7、+ 1 = 0,得 m= 3；(3) B=2m灶1 = 0的解为2,1由 m- 2+ 1 = 0,得 m= ;22(a1)x a -1=0，若 BA，求综上所述,例 8 已知 A =x | x2 4x = 0 , B =x | x2 a的取值范围。解：A =x| x24x =0二4,0(1) B = ，： =4(a 亠 1) -4(a -1) 8(a 亠 1) ： 0，即 a ： -1(2) B = /，方程 x2 - 2(a - 1)x a21 二 0有两等根43 = 0a = 1，所以无解得丿、16 -8(a +1) +a2 1 =0a =1 或7J(3) B =0，方程 x2 2(a 1

8、)x a2 -0有两等根 0A = 0a = 1由丿2得丿，所以a = 1a 1=0 a=1J(4) B = -4,0，方程 x22(a - 1)x a2 -1 = 0有两不等根4,0: 0|a -1由4 +0 = 2(a +1)得 4 , B=x|2a兰x兰a+3，若B匸A，求a的取值范围。解：(1) B = -, 2a a 3得 a 3(2) B = ，则 a 乞3严3或 +3 c1a 4得a 一4或2 : a込3综上所述a ： -4或a - 2例10已知集合 A 二x| x ： -1 或x 4 , B =x| 1 - a _ x _ 1 a，若 A B 二:：,求a的取值范围。解: (1

9、) B = :J，则a : 0，符合题意a 0(2) BH，则“ 一a兰一1= 0兰a兰2J + a v4综上所述，a空2变式：已知集合 A 二x|x ： -1 或x 4 , B =x|1 - a 岂 x1 a，若 AB “:，求a的取值范围。解：当B =:时，a乞2所以当A B “：时，a 2评注：对于任何集合A,皆有A ： =, AU =AA4，或 xV5 , B=xl a +1x4，解得 a w8，或 a 3.分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当 a =-8时，不符合题意；当 a = 3时，符合题意，故正确结果应为a v8，或a 3.评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字

10、母在取值范围的边界能否取等号， 否则会导致解题结果错误.5忽视隐含条件致误例 12 设全集U= 2, 3, a2 + 2 a 3 , A= 12 a II, 2 , CU A = 5,求实数a的值.错解：t Cu A =5,. 5 S 且 5 A，从而，a +2 a 一 3 = 5，解得 a = 2, 或 a =4.分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为u是全集，所以Au.当a =2 时，I2 a 1I=3- S,符合题意；当 a =一4 时，I2 a 11=9 一 S,不符合题意；故a = 2.评注：在解有关含参数的集合时， 需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件.6、忽视补

11、集的含义致错1例13已知全集I二R，集合M二x|x2 -x ：0，集合N二x |丄空1，则下列关x糸止确的是()A.B.C.M = 0D.C,IMIJN = R1错解：N =x| 11的补集为C|N =x|冷，故选xx剖析：本题错误地认为A二x|f(x)空0的补集为C|A二x| f(x) .0。事实上对 于全集I = r，由补集的定义有AYCiA = R，但临缅U何兔)亦x| f(x)乞 0 TX| f (x) 0 =x| 使 f (x)有意义，x R，即为 f (x)的定义域。所以只有当f(x)的定义域为R时才有A二x|f(x)乞0的补集为C|A=x|f(x)0，否则先求 A,再求 C| A

12、。1X 1正解：N =x |1 =x|0 =x |x ： 0或x _ 1,所以 C| N =x | 0 _ x ： 1,xx而 M =x|0 :：: x 1，应选 A7、考虑问题不周导致错误例14已知集合A Mx|ax2 4x 0, R, a R只有一个元素，求 a的值和这个元 素。解：（1）a =0，由4x 4 =0得x - -1，此时A =-1符合题意a式0（2）丿得a=1，此时A =-2符合题意也=16 16a = 0-综上所述，a=0或a =1一、对代表元素理解不清致错。2 _ 2 例 1.已知集合 A=y|y=x 2x,x R, B=y |y =x +6x+16,xR，求 a i B

13、。错解 1:令x2-2x=x2 6x16,得x - -2，所以 y =8,AB 二8。错解 2：令x2-2x=x2 6x16，得 x 2，所以 y =8，A B 二-2,8。剖析：用描述法表示的集合 x|x p中，x表示元素的形式，X，p表示元素所具有的 性质，集合（x,y）|y =f（x）,x R表示函数f （x）的图象上全体点组成的集合，而本题 y|y=f（x）,xR表示函数f（x）的值域，因此求A . B实际上是求两个函数值域的交集。正解：由 A 二y |y =x2 -2x,x R =y |y =（x -1）2 -1二y|y 一 -1,B 二y |y =X2 6x 16, x R二y |

14、y =（x 3）27 =y |y _7,得A . B =y|y _7。二、遗漏空集致错。例 2.已知集合 A =x 丨 -2 _x _ 5， B =x | m 1 _x _ 2m -1，若 A = B，求实数 m的 取值范围。错解：解不等式-2，仁亦-仁5,得2乞m乞3。剖析：空集是特殊集合，它有很多特殊性质，如 A二A,空集是任何 一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。 本题错解是因考虚不周遗漏了空集， 故研 究A = B时，首先要考虑 B=叮 的情况。专业知识整理分享正解：若B = ：，时，则m 1 2m _1,即m ： 2。_2 兰 m +1,若B学时，贝【Jm+12m1,即m兰2

15、。由1兰5得3兰m兰3。所以2兰m兰3。 由知m的取值范围是(-二，3】。三、忽视元素的互异性致错。例 3.已知集合x,xy,lg(xy) =O,|x|,y,求x y 的值。错解：由Xy 0，根据集合的相等，只有lg(xy 0, xy -1。所以可得1 x = 1或 |y 1 O殳=1=1-或X=-1, y = 1所以 x y =2或x - y 二2剖析：当x =y二1时，题中的两个集合均有两个相等的元素1,这与集合中元素的互异性相悖。其实，当xy i时，集合x，1,0 =0，|x|，y，这时容易求解了。正解：舍去x =y二1，故x y _ -2。四、混淆相关概念致错。2 _ 2 2例 4.已

16、知全集 U=R 集合 A=x|x +4ax4a+3 =0,x e R, B =x |x (a1)x+a= 0,xR, C =x |x Zx-2a = 0,xR，若a b、C中至少有一个不是空集，求实数a的取值范围。错解：对于集合A,当231=（4a） 4（4a 3） _0,得a或a -2 2时，A不是空同理当时，B不是空集；当a -2或a 0时，c不是空集。求得不等式解集的交集是空集，知a的取值范围为门。剖析：题中“ A B、C中至少有一个不是空集”的意义是“ A不是空集或B不是空集或C不是空集”，故应求不等式解集的并集，得1 .=x | x 1,则下列关系正确的A.M =CiNB.C.M =

17、C|ND.N =x |丄 1错解：x的补集为GN =x I11x ，故选Co五、忽视补集的含义致错。2N例5.已知全集I =R，集合M =x |x -X询,集合是(二x|f (x) .0 o事实上对于全A. A=BZDB. A =Bc. a - B D. A B剖析：本题错误地认为A珂x |f (x)岂0的补集为C i A集I=R，由补集的定义有ATCiA二R,但x|f(xWx|f(x) .0 =x|使f(x)有意义,R，即为f(x)的定义域。所以只有当f(x)的定义域为R时才有A二x|f(x)岂6的补集为Ci A二x |f(x)0，否则先求A,再求Cia o1X 1，所以 C|N 二x | 空 x :1，