2018年高考复习之数列专题知识点归纳

1、WORD格式整理版2018高考复习之数列专题考点一：求数列的通项公式1. 由an与S的关系求通项公式：由Sn与an的递推关系求的常用思路有： 利用S S-1= an(n 2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；Si, n = 1,数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=当n= 1时，a1若适合S S-1,则n = 1Sn Sn- 1 , n 2.的情况可并入n2时的通项an；当n = 1时，a1若不适合Sn Sn-1,则用分段函数的形式表示. 转化为S的递推关系，先求出 Sn与n的关系，再求an.2. 由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法：已知数列的递推关系，求数列的

2、通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解.(1) 当出现an= an-1 + m时，构造等差数列；当出现an = xan-1 + y时，构造等比数列；(2) 当出现an= an-1+ f(n)时，用累加法求解；an(3) 当出现 =f(n)时，用累乘法求解.an - 1 数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.函数思想在数列中的应用(1) 数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来

3、解决.(2) 数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：作差；作商；结合函数图象等方法.(3) 数列a n的最大(小)项的求法an-1 W an,an-1an ,可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项.an an+ 1 ,anW an + 1 ,考点二：等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an an-1 =常数(n 2)an一常数(n 2)an T通项公式an= ai+ (n 1)dn 1an= aiq(q 工 0)判定方法(1) 定义法(2) 中项公式法：2an+1 = an+an+ 2(n1

4、)?a n为等差数列 通项公式法：an = pn + q(p、q为常数)?a n为等差数列(4)前n项和公式法：S= Ar2 + Bn(A、B为常数)?a n为等差数列a n为等比数列，an0?IOg aan为等差数列(1) 定义法2(2) 中项公式法：an+1 an a+ 2(n 1)(a nM0)?an为等比数列通项公式法：an = c q1(c、q均是不为0的常 数，n N*)?an为等比数列(4)a n为等差数列？aan为等比数列(a0且 aM 1)性质*(1) 若 m n、p、q N，且 m+ n = p+ q,贝U am+ an = ap + aq特别：若 m+ n = 2p,贝U

5、 am+ an = 2ap.(2) a n= am+ (n m)d(3) 数列Sm, Sm Sm, S S2m,也是等差数列， 即 2(S2m一 S = Sm+(S 3m一 3)*(1) 若 m n、p、q N，且 m+ n= p + q,贝9 am a= ap a特别地，若 m+ n= 2p,贝U am -a= ap.，-xn m(2) a n= amqG3)若等比数列前n项和为Sn则S, Sm S,S3m Sam 仍成等比数列，即(S2m Sm) 2 S(S3m S2m)(m N*,公比 qM 1).前n项和n ai + ann n 1Sn2 nai +2dai 1 qai anq(1)

6、q m 1, s=彳 宀1 q1 q(2) q 1, S= nai1.在等差(比)数列中，ai, d(q) , n, an, S五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个解这类问题时，一般是转化为首项ai和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2. 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3. 用函数的观点理解等差数列、等比数列(1) 对于等差数列 an= ai+ (n 1)d = dn+ (a i- d)，当d0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n , an

7、)是位于直线上的若干个离散的点；当d0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列，S有最小值；当d = 0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列，S=nai；当d v0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列，Sn有最大值.2若等差数列的前 n项和为Sn,贝U S= pn + qn(p , q R).当p = 0时，an为常数列；当p0时，可 用二次函数的方法解决等差数列问题.(2) 对于等比数列an= aiqn,可用指数函数的性质来理解.当ai0, q 1或aiv 0,0 v qv 1时，等比数列a n是单调递增数列；当ai0,0 v q v 1或aiv 0, q 1时，等比数列a n

8、是单调递减数列；当q = 1时，是一个常数列；当qv 0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.4. 常用结论(1) 若an , bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则ma+ kbn, -仍为等差数列，其中m k为常数.2 1(2) 若an,b n均是等比数列，则can(c 工 0) , |a n| , an n, manbn(m 为常数),an, _等也an是等比数列.(3) 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2 a1, a3-a2, a4a3,成等比数列，且公比为a3 a2a2 a1 qa2 a1a2 a1等比数列(q工1)中连续k项的和成等比数

9、列，即Sk, S2k Sk, S3k d,成等比数列，其公比为kq.学习好帮手WORD格式整理版(3) 通项公式法：验证 an= pn+ q;2 前n项和公式法：验证 S= An + Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.7. 等比数列的判定方法a“+1*an*(1) 定义法：若=q(q为非零常数，n N )或 =q(q为非零常数且n2, n N)，则an是等比anan 1数列.(2) 等比中项公式法：若数列 an中，anM0且a2+1 = an a+ 2(n N)，则数列an是等比数列.(3) 通项公式法：若数列通项

10、公式可写成an= cq(c , q均是不为0的常数，n N)，则an是等比数列. 前n项和公式法：若数列an的前n项和Sn= k ( k(k为常数且0, qz0,1),则an是等比数列.注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定求解等比数列的基本量常用的思想方法(1) 方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1, q, n, an, S,已知其中三个量，可以通过解方程 (组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键.n亠a1 1 q a1na1na1(2) 整体思想：当公比ql时

11、，1 = 匚q (1 q),令百 =t，则t(1 q).把百 与qn当成一个整体求解，也可简化运算. 分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q= 1时，S = na1；当ql时，Sn=a；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论.a 1 na 1 x 函数思想：在等比数列an中，an= - q,它的各项是函数 y = q图象上的一群孤立的点，可以q q根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用.数列求和的常用方法1. 数列求通项的方法：(1) 一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化为

12、与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解.数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键.若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解:学习好帮手Sin= 1(1)a n =S1 S1-1n 2(2) 递推关系形如an+1 an= f(n)，常用累加法求通项；(3) 递推关系形如 竺=f(n)，常用累乘法求通项；an 递推关系形如a n+1= pan+ q(p、q是常数，且pM 1, qM0) ”的数列求通项，此类通项问题，常用 待定系数法可设 an+计入=p(a卄入)，经过比较，求得 入，则数列a卄入是一个等比数列;(5)递推关系形

13、如a n+1= pan+ qn(q , p为常数，且pM 1, qM0) ”的数列求通项，此类型可以将关系 式两边同除以qn转化为类型(4)，或同除以pn+1转为用迭加法求解.2. 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：1. 公式法一一直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式:nSn=-a1 + an2n=n a1 + -n 12学习好帮手na1, q= 1, 等比数列的前n项和公式：Sn= a1 anq a 1 qn1 q =1 q ，qM 1.2. 倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项

14、和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.3. 错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n b的前n项和，其中an, bn分别是等差数列和等比数列.求a1b+ a2b2 + + anbn的和就适用此法.做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn ”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉).4. 裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或 n项的差，通过相加过程中的相互抵消， 最后只剩下有限项的和. 这种方法，适用于求通项为1anan+ 1的数列

15、的前n项和，其中an若为等差数列，则1anan+11 1 1 d an3n +1利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？(1) 在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2) 在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项.常见的 拆项公式/八1111 n (n + k)= k n_；1 1 1(3)=一 一n (n + 1)n - - n + 11 111(2n 1)( 2n+ 1) = 2 2n 1 二2n+ 1 ；1 1 1 小+ n + 1 =卄1円n+.n + k和(门+ k5. 分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组

16、成，则求和时可用分组求和 法，分别求和后再相加减.6. 并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an = ( 1) nf(n)类型，可采用两项合并求解.2 2 2 2 2 2例如，S= 100 99 + 98 97 + 2 1 = (100 + 99) + (98 + 97) + (2 + 1) = 5 050.,放缩法的注意冋题以及解题策略7. 放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法(1)明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项， 等等，即不一定是对全部项进行放缩。放缩法的常见技巧及常见的放缩式:(1)根式的放缩：11Vk k 1 72k(2)在分式中放大或缩小分子或分母:1 ；k 11k(k1)1 1 ,k2k(k 1)(k 2)真分数分子分母同时减一个正数，则变大;1;假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如2n 1 2n .；2n 2n 1(3)应用基本不等式放缩:2. n n 2 2 ；n 2 n2等差数列中连续k项的和成等差数列，即S,