《高等数学》各章知识点总结——第1章

1、第1章函数与极限总结1、极限的概念(1 )数列极限的定义给定数列xn，若存在常数a，对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数N 使得对于n N时的一切n恒有|xn a | 则称a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为 lim xn a 或 xn a (n )n(2 )函数极限的定义设函数f(x)在点xo的某一去心邻域内(或当x M 0 )有定义，如果存在常数 A对 于任意给定的正数(不论它多么小)总存在正数(或存在 X)使得当x满足不等式0|x xo| 时(或当x X时)恒有|f(x) A|那么常数A就叫做函数f(x)当xx0 (或x )时的极限 记为lim f (x) A或 f(x

2、) a(当 x x0)(或 lim f (x) A)x X。x类似的有：如果存在常数 A对 0,0,当x : x0x x0 ( x0x x0)时，恒有f(x) A ，则称A为f (x)当x x时的左极限(或右极限)记作lim f (x) A(或 lim f (x) A)记作 lim f (x)xA(或 lim f (x) A)xxx0xx0显然有lim f (x)Alim f (x)limf(x) A)x X0xx0x X0如果存在常数A对0, X0,当xX(或x X)时，恒有f (x) A则称A为f (x)当x(或当x)时的极限显然有lim f (x) Axlim f (x) lim f (

3、x) A)xx2、极限的性质(1) 唯一性若 lim xn a， lim xnb，则 a b若 lim f (x) A lim f (x) B，则 A Bxx(x x0)(x x0)(2) 有界性(i)若lim xn a ,贝yM 0使得对 n N，恒有xnMnn(ii)若 lim f(x) A，贝U MO 当 x : 0 x x0时，有 f (x) Mx X。(iii )若 lim f(x) A，则 M 0, X 0 当 x X 时，有 f(x) Mx(3) 局部保号性(i) 若 lim Xn a 且 a 0(或 a 0)则 N N，当 n N 时，恒有 xn0(或xn 0)n(ii) 若

4、lim f(x) A，且 A 0(或 A 0)，贝U0 当 x : 0 x x0时，有x X。f (x)0(或f (x)0)3、极限存在的准则(i) 夹逼准则给定数列Xn, yn, Zn若n N ,当n n时有yz lim yn lim 召 a，nn则 lim xn an给定函数 f (x), g(x), h( x)，0若当 x U (x0,r)(或 x X )时，有 g(x) f (x) h(x)m g(x) Jim h(x) A，(x x0)(x x0)则 lim f (x) Ax(x X)(ii)单调有界准则给定数列Xn，若对 n N 有Xn Xn 1(或Xn Xn 1)M (m)使对n

5、 N 有 XnM (或xnm)则lim xn存在n若f (X)在点X。的左侧邻域(或右侧邻域)单调有界，贝y lim f(x)(或lim f (x)X X0x X0存在4、极限的运算法则A， lim g(x) BX(X X0)g(x) A B(1 )若 lim f (x)X(X X0)则(i)Jim f (x)(X X0)(ii) xlim f(x) g(x) A B(x x)叫:爲首(B0)(2)设(i) u g(x)且 lim g(x) u0 ( ii)当 xX X00U(x,)时 g(x)Uo(iii) lim f (u)U u0则 lim fg(x)X X0limu uf(u)5、两个

6、重要极限/八sin x(1) limxuPmsin u(x)10 u(x)lim沁x Xlimx 1x sinxlim xs in x 0(2) limxlimu(x)1u(x)u(x)e;1lim(1x)7v(x) v(x)e;6、无穷小量与无穷大量的概念Jim(x)(x X。)(1)0,0,当x: 0x xX )时有(x)，则称当X(或 x),(x)无穷小量(2)lim f (x)x(x x0)即对M 0,0(或X0),当x X。(或 xX )时有f (x)M则称当XX0(或 X),f (x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,(1)lim f (x)x(X x0)A f(x

7、) A无穷小量的运算法则(x),其中 lim (x)0X(x x0)(2)xlim f (x)(x x0)0(f(x)limx (xX0)(3)xlim g(x)(x x0)limX(X X0)1gW(4)xlim f (x)(X x)则 Jim f (x)g(x)(x x0)且M 0,当x :0XX。(或 x时有g(x)(5) lim f (x)0且 M 0,当 x: 0X(X X0)则m f (x) g(x)0(X X0)Xo(或X )时有g(x)(6) xm fk (x)0(k1,2丄，n)则 lim(X X0)x(x X。)nfk(x)k 10,limX0)x(xnfk(x) 0,k

8、18、无穷小量的比较Jim f (x)(X X0)0，xlim g(x)(x X)0, limX(X x)(x)若(1)x(xlimX。)X(或 X)时,f (x)与g(x)是同阶无穷小。(2)limX0)x(xf(x) g(x)1，则称当x0(或 x)时,f (x)与g(x)是等价无穷小，记作f(x)：g(x)( xX(或 Xx0(或 x)时,f (x)是g(x)是高阶无穷小，记作f(x)o(g(x)X X(或 X(4)0U(x,)(或)，有f(x) g(x)，则记f (x)O(g(x)X(或 x(5)lim丰(Xx X0)(X)kC 0(k 0)，则称当xx0(或x)时,f (x)是(x)

9、是 k阶无穷小，9、常用的等价无穷小当x 0时，有(1)sin x x arcsin x tan x arctanln(1x) ex 1,(2)1 cosx 1 X22.(3) ax1 x ln a(0 a 1), (4)(1 x)10、函数连续的概念(1) 函数连续的定义设y f (x)在点x0及其邻域U(x)内有定义，若(i) lim。y lim f (x0x)或(ii) lim f (x) f (x0)X Xq或( iii )0,0,当 X : X Xo时，有 f (x) f (Xo则称函数y f (x)在点x0处连续设y f (x)在点(xq, Xq内有定义,若limX Xqf(x)f

10、(X。),则称函数yf (x)在点Xq处左连续,设y f (x)在点x0，X0)内有定义,若limX Xqf (x)f (x0),则称函数yf (x)在点Xq处右连续若函数y f (x)在(a,b)内每点都连续，则称函数f (x)在(a,b)内连续若函数y f (x)在(a,b)内每点都连续，且limx af(x)f (a)， lim f (x)x bf (b)，则称函数y(2)函数的间断点f (x)在a, b上连续，记作 f(x) Ca,bof (x)在点x0的某去心邻域U (x)内有定义若函数y f(x):(i )在点Xq处没有定义(H )虽然在Xq有定义但lim f(x)不存在X X0(

11、3)虽然在Xq有定义且lim f(x)存在但 lim f(x) f(x)x XoX Xq则函数f(x)在点X0为不连续 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。设点Xq为y f (x)的间断点，(1) lim f (x)= lim f (x) f (x0)，则称点 x0为 y f (x)的可去间断点，若(2) x Xo_ X Xqlim f (x) lim f (x)，则称点x0为yf (x)的跳跃间断点，x XoX Xq可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点(3) lim f (x) 或lim f (x) 则称点x0为y f(x)的无穷型间断点，X XqX Xq(4) 若lim f (

12、x)或 lim f (x)不存在且都不是无穷大，则称点 x0为y f (x)的振荡型X xoX xo间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、连续函数的运算(1) 连续函数的四则运算若函数f(x) g(x)在点x0处连续f ( x)则 f(x) g(x), f (x) g(x),(g(x) 0)在点 x处也连续g(x)(2) 反函数的连续性，1若函数y f (x)在区间lx上单调增加(或单调减少)且连续，则其反函数x f (y)在其对应的区间I y yy f (x),x lx上也单调增加(或单调减少)且连续。(3) 复合函数的连续性设函数y fg(x)由函数y f(u), ug(x)复合而成，U(x)Dy，若(1) lim g(x) Uo(或 lim g(x) g(x) u)x xox xo(2) lim f (u) f (u0)则 lim f g(x) f lim g(x)f (u0)u Uox x0x x0(或 lim fg(x) f lim g(x) fg(x。) f(u)X X。x x0(4) 初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的(5) 闭区间上连续函数的性质(i)有界性