一元二次方程题型分类总结

1、一元二次方程题型分类总结知识梳理、知识结构：解与解法元二次方程根的判另y韦达定理考点类型一概念（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是.2,这样的整式方程就是一元二次方程。（2）般表达式： ax2 bx c 0（a0）难点：如何理解“未知数的最高次数是2”： 该项系数不为“ 0”； 未知数指数为“ 2”； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨 论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元次方程的是()A3 x 1 22 x 1B121 2 0xxC2ax bx c 0D2x22x x 1变式：当k时，关于x的方程kx22xx23是一元二次方程例2、方

2、程 m 2 3mx 1 0是关于 x的一元二次方程，则m的值为。针对练习： 1、方程8x2 7的一次项系数是 ，常数项是 2、若方程m 2 叫10是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。 3、若方程m 1 x2，m ?x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围o 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=3 ,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点类型二方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：2y 1的值为。x a2 4 0的一个根为0，则a的值例1、已知2y

3、2 y 3的值为2,则4y2例2、关于x的一元二次方程a 2x2 为。例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0a0的系数满足ab，则此方程必有一根为。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 0的两个根,则m的值为 3、已知m是方程x2 x 10的一个根，则代数式m2 4、已知 a 是 x2 3x 10的根，贝U 2a2 6a 5、方程 a b x2b c x c a 0的一个根为（针对练习: 1、已知方程x2 kx 100的一根是2，则k为，另根疋 2、已知关于x的方程x2kx 20的一个解与方程x 1X 13的解相同x 1求k的值；方程的另一

4、个解。C b cD a 6、若 2x 5y 30,贝U 4x?32y考点类型三解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法:X2 mm 0 , x对于x a 2 m， ax m典型例题：例1、解方程：1 2x280;bx n 2等形式均适用直接开方法22 25 16x =0;23 1 x 90;例2、若9 x1 216 x22 ，贝U x的值为针对练习:F列方程无解的是(2 2 2A. x 3 2x 1 B. x 20 C.2x 3 12D. x类型二、因式分解法：x x1 x x20 x x1,或 xX2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为0”,

5、方程形式：如axbx2 2x 2ax a典型例题:例 1、 2x x 3的根为X15?x2 3例2、若4x2 3 4x0，则4x+y的值为变式1: a2b20,则 a2b2变式2:若x30 ,则x+y的值为变式3:若x2xy y 14 ，y2 xy x 28，则x+y的值为例3、方程x2 x 60的解为()A. x13,x22 B.x13,x22 C.x13,x23 D. x12,x22例 4、解方程：x22、. 3 1x2.、3 40例5、已知2x2 3xy 2y2 0,则二卫的值为。x y变式：已知2x2 3xy 2y20,且x 0, y 0,则 的值为。x y针对练习： 1、下列说法中：

6、 方程 x2 px q 0 的二根为 x1， x2，则 x2 px q (x xj(x x2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2 y2 (x y)( . x y)(、x , y) 方程(3x 1)270 可变形为(3x 17)(3x 1、7)0正确的有()A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、以1. 7与1.7为根的一元二次方程是()A. x2 2x 60 B . x2 2x 60C. y22 y 60D . y2 2y 60 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数：_ 写出一个一元二次方程，要求二次

7、项系数不为 1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足x y3 xy 20，则x+y的值为()A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1或25、方程：x2 Ax2的解是。 6、已知、6x2 xy . 6y20且 x 0, y0,求2x 6y的值。 寸3x y 7、方程 1999x 219982000x 10的较大根为 r ,方程2007x22008x 10的较小根为s,贝U s-r的值为类型三、配方法ax2 bx c 0 a 0b2 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0例2、

8、已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7的最小值例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y为实数，求xy的值例4、分解因式：4x2 12x 3针对练习: 1、试用配方法说明 10x2 7x 4的值恒小于0。11 1 2、已知 x22 x 40，则 xxxx 3、若t 23x2 12x 9，贝u t的最大值为 ，最小值为。 4、如果 a b Jc 114灯 a 2214 ,那么 a 2b 3c 的值为。类型四、公式法条件：a 0,且b2 4ac 02a公式：x b , a 0,且b2 4ac 0典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：2 2 31 x 6.(2) x 3 x

9、 68. x 4x 1 0 3x2 4x 103 x 1 3x 1x 1 2x 5例2、在实数范围内分解因式：(1) x2 2 2x 3 ；( 2)4x2 8x 1. 2x2 4xy 5y2说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax2 bx c=0,求出两根，再写成ax2 bx c = a(x x1)(xX2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去类型五、“降次思想”的应用求代数式的值;解二元二次方程组。典型例题:例1、已知3x20，求代数式x一-x 1的值。例2、如果x210，那么代数式x3

10、2x2 7的值。例3、已知a是儿二次方程x2 3x320的一根，求-一卑亜的值。a 1例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6,(1)x2 5xy 6y20.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种： 先消元，再降次；先降次, 再消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想， 即把新问题转化归结为我们已知的问题考点类型四根的判别式b2-4ac根的判别式的作用： 定根的个数； 求待定系数的值； 应用于其它。典型例题：例1、若关于X的方程x2 2.kx 10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则m的取值范围是()A. m 0且

11、m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式9x2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求 m的值.例5、m为何值时，方程组2 2 2 6y,有两个不同的实数解？有两个相同的实mx y 3.数解?针对练习: 1、当k时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是 什么? 3、已知方程mx2 mx 2 0有两个不相等的实数根，则

12、 m的值是 4、k为何值时，方程组y kx 2,2y 4x 2y 10.(1) 有两组相等的实数解，并求此解;(2) 有两组不相等的实数解；(3) 没有实数解. 5、当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根与m均为有理数？考点类型五方程类问题中的“分类讨论”典型例题:例1、关于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则m为,只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于x的方程x2 2 x k k23根的情况例3、如果关于x的方程x2 kx 20及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。考

13、点类型六应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴， 出席者两两碰杯一次， 共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放1市场，根据计划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 丄，第三年比第二年减少31-，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，21 一还要盈利丄，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.

14、1，3,133.61）4、 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售, 一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。（2） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?（2） 两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不

15、能，请说明理由。（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲 再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点类型七根与系数的关系前提：对于ax2 bx c 0而言，当满足a 0、0时,才能用韦达定理。主要内容： x-i x2, x1x2 -aa应用：整体代入求值。典型例题:例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三 角形的斜边是（）A. 3B.3C.6 D.6例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根xX2,（1）求k的取值范围；（2） 是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值; 若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你 知道原来的方程是什么吗？其正确解