数值分析第四版习题及答案讲解

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.第四版数值分析习题第一章 绪 论设 x0,x的相对误差为 ,求ln x的误差 .设 x 的相对误差为 2,求 xn 的相对误差 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字 :x1 1.1021, x2 0.031, x3 385.6, x4 56.430, x5 7 1.0. 利用公式 (3.3)求下列各近似值的误差限 :(i)x1* x2* x4* ,( ii ) x1* x2* x*3 ,( iii )x2* /x*4,其中 x1* , x*2 , x3* , x4*均为第

2、3题所给的数 . 计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少 ? 设 Y0 28, 按递推公式Yn Yn 1 1 783100( n=1,2, )计算到 Y100 .若取 783 27.982( 五位有效数字 ), 试问计算 Y100将有多大误差 ?求方程 x2 56x 1 0 的两个根 ,使它至少具有四位有效数字 ( 783 27.982).当 N充分大时 , 怎样求11xdx21正方形的边长大约为 100 , 应怎样测量才能使其面积误差不超过设S 12 gt2假定 g是准确的 ,而对 t 的测量有 0.1 秒的误差 ,证明当 t 增加时 S的绝对 误差增加 ,

3、 而相对误差却减小 .序列 yn 满足递推关系yn 10yn 1 1(n=1,2, ), 若 y02 1.41( 三位有效数字 ),计算到 y10 时误差有多大 ?这个计算过程稳定吗 ?计算 f ( 2 1)6,取 2 1.4, 利用下列等式计算 , 哪一个得到的结果最好 ?( 21 1)6 ,(3 2 2)3,(3 21 2) 3 ,99 70 2.f(x) ln(x x 1) ,求 f(30)的值.若开平方用六位函数表 ,问求对数时误差有多大 ?若 改用另一等价公式ln(xx2 1) ln(xx2 1)计算 ,求对数时误差有多大 ?14.15.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11

4、.10 10x1 10 x2 10 ;x1 x2 2.试用消元法解方程组 1 2 假定只用三位数计算 ,问结果是否可靠 ?s 1 ab sin c,0c已知三角形面积 2 其中c 为弧度 ,2 ,且测量a, b, c.证明面积的误差 s 满足sabc.sabca ,b ,c 的误差分别为第二章 插值法1x02x0nx01xn 12xn 1nxn 11x2 xn x根据 (2.2)定义的范德蒙行列式 ,令Vn(x) Vn(x0,x1, ,xn 1,x)证明Vn (x)是n次多项式 ,它的根是 x0, ,xn 1,且Vn(x) Vn 1(x0,x1, ,xn 1)(x x0) (x xn 1)当x

5、= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式 .给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值 .x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144给出 cos x,0 x 90的函数表 ,步长 h =1 =(1/60) ,若函数表具有 5 位有效数字 , 研究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界 .x x kh max l2(x)设 xk x0 kh , k=0,1,2,3, 求 x0 x x3 2 .设 xj 为互异节

6、点 (j =0,1, ,n), 求证:nxkjlj (x) xk(k 0,1, ,n);i) j 0n(xj x)kl j(x)k 1,2, ,n).ii) j 012 设 f(x) C2 a,b 且 f(a) f(b) 0,求证ma ax bx f(x) 8(b a) maaxbx f (x). 在 4 x 4上给出 f(x) ex 的等距节点函数表 ,若用二次插值求 ex的近似值 ,要使截 断误差不超过 10 6 ,问使用函数表的步长 h 应取多少 ?若 yn 2n,求 4yn 及 4yn.如果 f(x) 是 m次多项式,记 f(x) f(x h) f(x) ,证明 f(x) 的 k 阶差

7、分 k f (x)(0 k m)是m k次多项式 ,并且 mlf(x) 0(l为正整数 ).证明 (fkgk) fk gk gk 1 fk.n 1n 1fk gk fn gn f0 g0gk 1 fk.12. 证明 k 0k 0n1 2 yjyny0.13. 证明 j 014. 若 f(x) a0 a1xan1xn 1 anxn有 n个不同实根 x1,x2, ,xn ,证明nxkj 0,0 k n 2;j 1 f (xj)an ,k n 1.15. 证明 n 阶均差有下列性质 :i) 若F(x) cf(x),则 F x0,x1, ,xn cf x0,x1, ,xn ;ii) 若F(x)f(x)

8、 g(x),则 Fx0,x1,xn f x0,x1, ,xng x0,x1,xn.16. f(x) x7x4 3x 1,求 f2 ,2 ,2及 f 2 ,2 , ,2.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是R3(x) f(4)( )(x xk)2(x xk 1)2/4!,(xk,xk 1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限 .18. 求一个次数不高于 4 次的多项式 P(x),使它满足 P(0) P( k 1)并由此求出分段三次 埃尔米特插值的误差限 .19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式 P(x) ,以便使它能够满足以下边界条件 P(0) P (0) 0,P(1) P(1

9、) 1, P(2) 1.20. 设 f (x) C a,b ,把 a,b 分为 n等分 ,试构造一个台阶形的零次分段插值函数n(x)并证明当 n 时, n(x)在 a,b 上一致收敛到 f (x).221. 设 f (x) 1/(1 x ),在 5 x 5上取 n 10 ,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),计算各节点间中点处的 Ih(x)与 f (x)的值,并估计误差 .22. 求 f (x) x2 在 a,b 上的分段线性插值函数 Ih(x),并估计误差 .23. 求 f (x) x4 在 a,b 上的分段埃尔米特插值 ,并估计误差24. 给定数据表如下 :xj0.250.300.39

10、0.450.53yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值 S(x) 并满足条件i) S (0.25) 1.0000, S (0.53) 0.6868;ii) S (0.25) S (0.53) 0.25. 若 f(x) C a,b ,S(x) 是三次样条函数 ,证明f (x) 2dxS (x) 2dxf (x) S (x) 2dx 2 S (x) f (x) S (x) dxi) a a a a ; ii) 若 f(xi) S( xi )(i 0,1, ,n),式中 xi 为插值节点,且 a x0 x1xn b,则26.1.2.3.4.5.6.7.8.9

11、.10.11.12.13.14.15.16.17.18.baS(x) f (x) S(x)dx S(b) f(b) S(b) S(a) f(a) S(a) . 编出计算三次样条函数 S(x) 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x) 可用(8.7)式的表达式 ).第三章 函数逼近与计算(a)利用区间变换推出区间为 a,b 的伯恩斯坦多项式 .(b)对 f (x) sin x在 0, /2 上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形 ,并与相应的 马克劳林级数部分和误差做比较 .求证 :(a)当m f (x) M 时,m Bn(f,x) M . (b)当 f(x) x时,Bn(f ,x)

12、x. 在次数不超过 6 的多项式中 ,求 f (x) sin4x 在 0,2 的最佳一致逼近多项式 . 假设 f (x) 在 a,b 上连续 ,求 f (x) 的零次最佳一致逼近多项式 .3max x ax选取常数 a,使 0 x 1达到极小 ,又问这个解是否唯一 ?求 f (x) sin x在 0, /2 上的最佳一次逼近多项式 ,并估计误差 .求 f (x) ex在 0,1 上的最佳一次逼近多项式 .如何选取 r ,使 p(x) x2 r 在 1,1 上与零偏差最小 ?r 是否唯一 ?设 f (x) x 3x 1,在 0,1 上求三次最佳逼近多项式 .令Tn(x) Tn(2x 1),x 0

13、,1 ,求T0*(x),T1*(x),T2*(x),T3(x).试证 Tn(x) 是在 0,1上带权 x x2的正交多项式 .在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式 .设 f(x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若 f Ln 有界 ,证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使nTn1(x) f(x) Ln(x)nTn1(x)( 1 x 1).设在(x) 1 1 x 1 x22833x2415 4 165 5384x 3840 x ,试将 ( x)降低到 3次多项式并估计误差在 1,1 上利用幂级数项数求 f(x

14、) sinx的 3次逼近多项式 ,使误差不超过 0.005. f(x)是 a,a 上的连续奇 (偶)函数,证明不管 n是奇数或偶数 , f (x)的最佳逼近多项式Fn (x) Hn 也是奇 (偶)函数.2求a、b使 0 ax b sinx dx为最小.并与 1题及6题的一次逼近多项式误差作比较 f(x)、g(x) C1 a,b ,定义bf (x)g(x)dx f(a)g(a);b(a) (f,g) a f (x)g(x)dx;(b)(f,g) a 问它们是否构成内积 ?1 x6dx19.用许瓦兹不等式 (4.5)估计 01 x 的上界 ,并用积分中值定理估计同一积分的上下界并比较其结果 .20

15、.(x ax2)2dx, x ax2 dx21.22.选择 a ,使下列积分取得最小值 : 1设空间 span 1,x , 2 span x100,x101 ,分别在 1、 2 上求出一个元素 ,使得其为 x C 0,1 的最佳平方逼近 , 并比较其结果 .在 1,1 上,求在 1 span 1,x ,x 上的最佳平方逼近 .sin (n 1)arccosx un(x)f(x) x23.1 x21、是第二类切比雪夫多项式 ,证明它有递推关系un 1 x 2xun x un 1 x .f(x) sin 21x1,1 .24. 将 2 在 1,1 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平

16、方逼近多项式并画出误差图形 ,再计算均方误差 .25. 把 f (x) arccos x 在 1,1 上展成切比雪夫级数 .26. 用最小二乘法求一个形如 y a bx 的经验公式 ,使它与下列数据拟合 ,并求均方误差 .xi1925313844yi19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动 ,得出以下数据时间 t(秒)00.91.93.03.95.0距离 s(米)010305080110求运动方程 .28. 在某化学反应里 ,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下时间0510152025303540455055浓度01.272.162.863.443.874.154.

17、374.514.584.624.64用最小二乘拟合求 y f (t).29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图30. 编出改进 FFT 算法的程序框图 .31. 现给出一张记录 xk4,3,2,1,0,1,2,3 ,试用改进 FFT 算法求出序列 xk 的离散频谱Ck (k 0,1, ,7).第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数 ,使其代数精度尽量高 ,并指明所构造出的求积公式所具 有的代数精度 :2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.h(1) h f(x)dx A 1 f ( h) A0 f (0) A1f (h);(1) h ;2h(2) 2h f (

18、x)dx A 1f( h) A0f (0) A1 f (h);(2) ;1(3) f (x)dx f ( 1) 2f (x1) 3f (x2) /3;(3) 1 ;f (x)dx h f(0) f (h) /1 ah2 f (0) f (h)分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分 :(1) 4 x xdx,n 4(3) 1 ; 直接验证柯特斯公式用辛普森公式求积分 推导下列三种矩形求积公式 b(4)(2.4)具有 5 次代数精度 .1e xdx并计算误差(1)(2)(3)11 (1 e x)2dx,n 10(2) 0 x6 sin2 dx,n 6f 2( )(b a)22f ( )f (x)d

19、x (b a) f(b)a b f ( )f (x)dx (b a) f( )2 24f (x)dx (b a)f (a)(b a)2(b a)3bf (x)dxa证明梯形公式 (2.9)和辛普森公式 (2.11)当 n时收敛到积分ba f (x)dx,问要将积分区间 a,b 分成多少等分 ,才能保证误差不 )?2 1 x0 e dx 50, 要求误差不超过 10 5 .cS a 2 1 (c)2 sin2 d 卫星轨道是一个椭圆 ,椭圆周长的计算公式是0 a,这里 a 是椭圆的半长轴 ,c是地球中心与轨道中心 (椭圆中心 )的距离 ,记 h 为近地点距离 ,H 为远地点距 离, R 6371

20、 公里为地球半径 ,则 a (2R H h)/2,c (H h)/2 .我国第一颗人造 卫星近地点距离 h 439 公里 ,远地点距离 H 2384公里 ,试求卫星轨道的周长 .353!n2 5!n4试依据 nsin( /n)(n 3,6,12) 的值 ,用外推算用复化梯形公式求积分 超过 (设不计舍入误差用龙贝格方法计算积分nsin 证明等式 n 法求 的近似值 .3dyy 并比较结果 .用下列方法计算积分(1) 龙贝格方法 ;(2) 三点及五点高斯公式 ;(3) 将积分区间分为四等分 ,用复化两点高斯公式 .212. 用三点公式和五点公式分别求 (1 x) 在 x 1.0,1.1和 1.2

21、处的导数值 ,并估计误 差. f (x) 的值由下表给出 :x1.01.11.21.31.4f (x)0.25000.22680.20660.18900.1736第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题 y ax b, y(0) 0 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解12y ax2bx相比较。2. 用改进的尤拉方法解初值问题取步长 h=0.1 计算，并与准确解3. 用改进的尤拉方法解y x y,0 x 1; y(0) 1,y x 1 2e 相比较。y x2 x y; y(0) 0,x2取步长 h=0.1 计算 y(0.5) ，并与准确解 y e x x2 x 1相比

22、较。4. 用梯形方法解初值问题证明其近似解为y y 0; y(0) 1,yn并证明当 h 0 时，它原初值问题的准确解5. 利用尤拉方法计算积分2hn2hxyex t2 et dt 0在点 x 0.5,1,1.5,2 的近似值。6. 取 h=0.2，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题：y x y,0 x 1;1) y(0) 1,y 3y/(1 x),0 x 1;2) y(0) 1.7. 证明对任意参数 t，下列龙格库塔公式是二阶的：yn 1 yn h2(K2 K3);K1 f (xn, yn );K2 f (xn th,yn thK1);K3 f (xn (1 t)h,yn (1 t)h

23、K1).8. 证明下列两种龙格库塔方法是三阶的： hyn 1 yn(K1 3K 3);4K1 f (xn,yn);hnx(f22K3 f (xnh,ynhK2);1)3 3hyn 1 yn 9h(2K1 3K2 4K3 );9K1 f (xn,yn );hhK2 f(xn 2,yn 2 K1);33K3 f (xnh,ynhK2).2) 4 49. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题： y 1 y,y(0) 0,取h 0.2,y0 0,y1 0.181,计算 y(1.0)并与准确解 y 1 e x相比较。10. 证明解 y f(x, y) 的下列差分公式1hyn 1

24、(yn yn 1)(4yn 1 yn 3yn 1)24 是二阶的，并求出截断误差的首项。11. 导出具有下列形式的三阶方法：yn 1 a0 yn a1yn 1 a2yn 2 h(b0 yn b1yn 1 b2yn 2).12. 将下列方程化为一阶方程组：y 3y 2y 0,1) y(0) 1,y (0) 1;y 0.1(1 y2 )y y 0,2) y(0) 1,y (0) 0;x (t)x3 ,y (t)y3 ,rx2 y2 ,3) r 3 r 3x(0) 0.4,x (0) 0,y(0) 0,y (0) 2.13. 取 h=0.25，用差分方法解边值问题y y 0;y(0) 0, y(1)

25、 1.68.14. 对方程 yf (x,y) 可建立差分公式2yn 1 2yn yn 1 h f (xn ,yn), 试用这一公式求解初值问题验证计算解恒等于准确解y 1; y(0) y(1) 0,2xx y(x)215. 取 h=0.2 用差分方法解边值问题(1 x2 )y xy 3y 6x 3; y(0) y (0) 1, y(1) 2.第六章 方程求根1.2.3.2 用二分法求方程 x x 1 0 的正根，要求误差 0.05。 用比例求根法求 f (x) 1 xsin x 0在区间 0,1内的一个根，直到近似根 xk 满足精度 | f (xk )| 0.005时终止计算。为求方程 x3

26、x2 1 0在 x0 1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并 建立相应的迭代公式。2 x 1 1/ x 2 ，迭代公式 xk 1 1 1/ xk；xk 1 3 1 xk2 ；1)2)x3x21 x2 ，迭代公式1x 1 ，迭代公式xk 1 1/ xk 1 。并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。3) 试分析每种迭代公式的收敛性， 4. 比较求 ex 10x 2 0 的根到三位小数所需的计算量； 1)在区间 0,1 内用二分法；2) 用迭代法 xk 1 (2 e ) /10，取初值 x0 0。5. 给定函数 f(x)，设对一切 x,f (x)存在且0 m f (x) M ，0

27、2/M 的任意定数 ，迭代过程 xk1 xk f (xk )均收敛于 f(x)的根 x 。6. 已知 x( x)在区间 a,b内只有一根，而当 axb时，| (x)| k 1，试问如何将 x (x) 化为适于迭代的形式？ 将 x tgx 化为适于迭代的形式，并求37. 用 下 列 方 法 求 f (x) x 3x 1 0 在 x01.87938524 ，要求计算结果准确到四位有效数字。1) 用牛顿法；2)用弦截法，取 x0 1,x1 1.9 ； 3)用抛物线法，取 x0 1,x1 3,x2 2。8. 用二分法和牛顿法求 x tgx 0 的最小正根。证明对于范围内x=4.5 (弧度)附近的根。2

28、 附近的根。根的准确值 x9. 研究求 a 的牛顿公式1axk 1(xk), x0 0,k 1 2 k xk0证明对一切k 1,2, ,xka 且序列 x1,x2 , 是递减的。10. 对于 f (x) 0的牛顿公式 xk 1 xk f(xk)/ f (xk) ，证明 2Rk (xk xk 1)/(xk 1 xk 2) 收敛到 f (x )/(2f (x ) ，这里 x 为 f (x) 0 的根。11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：f (x)1)x,x 0;x,x 0;3 x2 ,x 0;2) f(x) 3 x2,x 0.12. 应用牛顿法于方程x2 a 0 ，导出求立方根 3

29、a 的迭代公式，并讨论其收敛性。 af (x) 1 a13. 应用牛顿法于方程 值。x20，导出求 a 的迭代公式，并用此公式求 115 的14. 应用牛顿法于方程 式，并求f (x) xf (x) 1 an 0 n0和x n，分别导出求 a 的迭代公lkim (n a xk 1)/(n a xk)2.15. 证明迭代公式2xk 1xk (xk 3a)3xk2 a 是计算 a的三阶方法。假定初值 x0 充分靠近根 x ，求 lim ( a xk 1) /( a xk )3. k第七章 解线性方程组的直接方法1. 考虑方程组：0.4096x1 0.1234x2 0.3678x3 0.2943x4

30、 0.4043;0.2246x1 0.3872x2 0.4015x3 0.1129x4 0.1550;0.3645x1 0.1920x2 0.3781x3 0.0643x4 0.4240;0.1784x1 0.4002x2 0.2786x3 0.3927x4 0.2557;(a) 用高斯消去法解此方程组(用四位小数计算) ，(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。2. (a) 设 A 是对称阵且 a11 0，经过高斯消去法一步后， A 约化为a110a1TA2证明 A2 是对称矩阵。0.8468x3 0.4127;(b)用高斯消去法解对称方程组：0.6428x1 0.3475

31、x 20.3475x1 1.8423x2 0.4759x3 1.7321;0.8468x1 0.4759x2 1.2147 x30.8621.0(i 1,2, ,n 1)时，则 A=LU ，其中 L 为单位下三角阵，4. 设 A 为 n 阶非奇异矩阵且有分解式 A=LU ，其中 L 为单位下三角阵， U 为上三角阵， 证 A 的所有顺序主子式均不为零。5. 由高斯消去法说明当 Lk为上三角阵。n| aii |aij |(i 1,2, ,n),j1ji步后，a1107. 设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，a1106. 设 A 为 n 阶矩阵，如果是对角优势阵，经过高斯消去法称 A 为

32、对角优势阵。A 具有形式a1TA2 。证明：若A 约化为 a1T A2 ，其中 A(aij )n,A2(aij)n 1;证明 ( 1)A 的对角元素 aii 0(i 1,2, ,n);A2 是对称正定矩阵；an(n) aii ,(i 1,2, ,n);A 的绝对值最大的元素必在对角线上；(2)2mi,ajxn|ai(j2)| 2mi,aj xn | aij |;2)3)4)5)6)从( 2)，(3)，( 5)推出，如果 |aij | 1，则对所有 k |ai(jk) | 1.8. 设 Lk 为指标为1k 的初等下三角阵，即mk 1,kmnk除第 k 列对角元下元素外，和单位阵I 相同)k 时，

33、 Lk IijLkIij 也是一个指标为 k 的初等下三角阵，其中I ij 为初等排求证当 i, j列阵。9. 试推导矩阵 A 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式， 其中 L 为下三角阵， U 为单位上三角阵。10. 设 Ux d ，其中 U 为三角矩阵。(a) 就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。(b) 计算解三角形方程组 Ux d 的乘除法次数。(c) 设 U 为非奇异阵，试推导求 U 1 的计算公式。11. 证明( a)如果 A 是对称正定阵，则 A 1 也是正定阵；(b)如果 A 是对称正定阵， 则 A 可唯一写成 A LTL,其中 L 是具有正对角元的下三

34、角阵。12. 用高斯约当方法求 A 的逆阵：13. 用追赶法解三对角方程组23113017A12421015Ax b ，其中21A00014. 用改进的平方根法解方程组01000,b010201 0 02 1 01 2 10 1 20 0 11 x13x245.615. 下述矩阵能否分解为 分解是否唯一？LU其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵)？若能分解，那么1231A241 ,B246731121312515615 .4616. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组3 4 x111 1 x221 2 x3317. 如果方阵 A 有 aij 0(|i j | t) ，则称

35、 A 为带宽 2t+1 的带状矩阵，设 A 满足三角分解条件，试推导 A LU 的计算公式，对 r 1,2, ,n.1)2)uriarilrk ukik max(1,i t)(i r,r 1, , min( n, r t)；r1l ir(airlik ukr )/urrk max(1,i t)(i r 1, , min( n, r t)18. 设A 0.6 0.50.1 0.3计算 A 的行范数，列范数， 2-范数及 F-范数。19. 求证(a) |x| | x |1 n|x| ，1| A |F | A |2 c2 |A|F(b) n 。20. 设 P Rn n且非奇异，又设 |x|为 Rn上

36、一向量范数，定义 | x |p | Px |。试证明 | x |p 是 R 上的一种向量范数。21. 设 A Rn n 为对称正定阵，定义1/ 2 | x |A (Ax,x)1/222.试证明 | x |A为 Rn上向量的一种范数。设 x Rn,x (x1x2, ,xn)T ，求证n lyim( |xi |p)1/p y i 1max xi1in|x |。23.证明：当且尽当x和 y线性相关且 x y 0时，才有|x y|2 | x |2 |y |2。24.2分别描述 R2 中画图)2Sv x|x|v 1,x R2, (v 1,2, )。令 是 Rn (或 数|x| | Px |，证明 |A|

37、 |PAP 1 |。26. 设| A |s ,| A |t为Rn n上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2 0A Rn n 满足25.C n )上的任意一种范数，而 P 是任意非奇异实(或复)矩阵，定义范使对一切27.28.设 A Rn n ，求证 设 A 为非奇异矩阵，c1 |A|s | A |t c2 | A |sATA与 AAT特征值相等，即求证(A A) (AA )。求证29.设 A 为非奇异矩阵，11min |A|A1| y 0 |y| 。且 |A 1| A| 1，求证 (A A) 1存在且有估计 cond(A)| A| A| .1 cond ( A) | A| A|A 1

38、(A A) 1 |A 1 |30.矩阵第一行乘以一数，成为T T 1/2 T31. 设 A为对称正定矩阵，且其分解为 A LDLT WTW，其中 W D1/2LT，求证2(a) cond(A)2 cond( )2 ;(b) cond( A2 ) cond( T )2 cond( )2. 32. 设A 100 99A99 98计算 A 的条件数。 cond(A)v (v 2, )33. 证明：如果 A 是正交阵，则 cond( A) 2 1。34. 设 A,B Rn n且 为上矩阵的算子范数，证明cond ( AB) cond ( A) cond ( B ) 。第八章 解方程组的迭代法1. 设方

39、程组5x1 2x2 x3 12x1 4x2 2x3 202x1 3x2 10x3 3(a) 考察用雅可比迭代法 ,高斯 -塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;(k 1) (k) 4(b) 用雅可比迭代法 ,高斯 -塞德尔迭代法解此方程组 ,要求当 |xx | 10 时迭代终止00A2. 设 2 0 , 证明:即使| A |1 |A| 1级数 I A A2Ak也收敛3. 证明对于任意选择的 A, 序列1114!I,A,1 A2, 1 A3,1 A4,2 3!收敛于零. 设方程组a11x1 a12x2a21x1 a22 x2b1;(a11,a12 0);迭代公式为x1(k)x2(k)a1 (b1a11

40、1 (b2a22(k 1) a12 x2 );求证 : 由上述迭代公式产生的向量序列(k 1)a21x1 );(k 1,2, ).x(k) 收敛的充要条件是1.5. 设方程组(a)试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯(b)x1 0.4x2 0.4x3 10.4x1 x2 0.8x3 20.4x1 0.8x2 x3 3x1 2x2 2x3 1x1 x2 x3 12x1 2x2 x3 1 -塞德尔迭代法的收敛性。lim Ak A6. 求证 k k 的充要条件是对任何向量x，都有lim Ak x Ax.k7. 设 Ax b ，其中 A 对称正定， 问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题

41、5(a)方程组。8. 设方程组11x1x3x44411x2 x3 x42 4 3 4 411x1x24411x31;2;1;2;1;21.2.x1 x2 x44 1 4 2 4(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B0 的谱半径；(b) 求解此方程组的高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径； (c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯塞德尔迭代法的收敛性。9. 用 SOR 方法解方程组(分别取松弛因子 1.03, 1,1.1 )4x1 x2 1;x1 4x2 x3 4;x2 4x33.1 1 Tx ( ,1, ) , 精确解 2 2 值确定迭代次数。10. 用 SOR 方法解方程组(取 0.

42、9)5x1 2x2 x3 12;x1 4x2 2x3 20;2x1 3x2 10x3 3.(k 1) (k) 4要求当 |x x | 10 时迭代终止。11. 设有方程组 Ax b ，其中 A 为对称正定阵，迭代公式x(k 1) x(k)(b Ax(k) ), (k 0,1,2, )20试证明当 时上述迭代法收敛(其中 0 (A) )。 (k 1) (k 1)12. 用高斯塞德尔方法解 Ax b，用 xi 记 x(k 1)的第 i个分量，且 i 1 nri(k 1) biaij x(jk 1)aijxi(k)j 1 j i 。T, (k) 6要求当 |x x(k) | 5 10 6时迭代终止，

43、并且对每一个(k 1)xi(k 1) xi(k) ri(a) 证明ai ；(b) 如果 ( k) x(k) x ，其中 x 是方程组的精确解，求证： (k 1) (k 1) (k) ri iiaiii 1 nri(k 1)aij (jk 1)aij i(k)j 1 j i 。其中(c) 设 A 是对称的，二次型Q( (k) (A (k) , (k)n (rj(k 1) )2Q( (k 1) Q( (k)(r j )证明 j 1(d) 由此推出， 如果 A 是具有正对角元素的非奇异矩阵， 量 x(0) 是收敛的，则 A 是正定阵。13. 设 A 与 B 为 n 阶矩阵， A 为非奇异，考虑解方程

44、组Az1 Bz2 b1 ,Bz1 Az2其中 z1,z2,d1,d2 Rn。(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件Az1(m 1) b1 Bz2(m),Az2(m 1)(b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件Az1(m 1) b1 Bz2(m) , Az2(m 1)比较两个方法的收敛速度。14. 证明矩阵a jj 。且高斯塞德尔方法对任意初始向b2 ,b2 Bz1(m) (m 0);b2 Bz1(m 1) (m 0);1 对于 215. 设50301是正定的，而雅可比迭代只对212 是收敛的。0 x(k 1)，试说明 A 为可约矩阵。Cx(k) g，其中 C Rn n(k 0,1,2, ) ，试

45、证明：如果 C 的16. 给定迭代过程，特征值 i(C) 0(i 1,2, ) ，则迭代过程最多迭代 n 次收敛于方程组的解。17. 画出 SOR 迭代法的框图。18. 设 A 为不可约弱对角优势阵且 0 1 ，求证：解 Ax b的 SOR 方法收敛。19. 设 Ax b ，其中 A 为非奇异阵。(a) 求证 AT A为对称正定阵； T2(b) 求证 cond(A A)2 (cond( A) 2 ) 。第九章 矩阵的特征值与特征向量计算1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：732343A1341A2463(a)213, (b)331当特征值有 3 位小数稳定时迭代终止。2. 方阵

46、 T 分块形式为T11Tnn2，则其中 Tii (i 1,2, , n)为方阵， T 称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过称T 为准三角形形式，用 (T)记矩阵 T的特征值集合，证明n(T)(Tii ).i13. 利用反幂法求矩阵621231111 的最接近于 6 的特征值及对应的特征向量。4. 求矩阵400031013与特征值 4 对应的特征向量。5. 用雅可比方法计算的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3 的关于 p 的最优值。1.01.00.5A1.01.00.250.50.252.0P为6. (a)设A 是对称矩阵， 和x(| x |2 1)是A 的一个特征值及相应的特征向

47、量，又设 一个正交阵，使Px e1 (1,0, ,0)T 证明 B PAPT 的第一行和第一列除了 外其余元素均为零。 (b)对于矩阵2102A10582811 =9 是其特征值，x212T ,3,3,3是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使Px e1 ，并计算B PAPT 。7. 利用初等反射阵将134A312421正交相似约化为对称三对角阵。8. 设 A Rn n ，且ai1,aj1 不全为零，Pij 为使a(2) aj10的平面旋转阵，试推导计算Pij A第 i行，第 j 行元素公式及 APij 第 i 列，第 j 列元素的计算公式。9. 设 An 1 是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵

48、，又设y 是 An 1的一个特征向量。(a)证明矩阵 A 对应的特征向量是x P1P2 Pn 2 y；(b)对于给出的 y 应如何计算 x？10. 用带位移的 QR 方法计算120310A2 1 1B121(a)013, (b)011全部特征值。11. 试用初等反射阵 A 分解为 QR ，其中 Q 为正交阵， R 为上三角阵，1 1 1A 2 1 1数值分析习题答案第一章绪论习题参考答案(lnx)(x* )r(x*)xr (xn)(xn)nxn* n 1 *(x* )*n x*n ( x ) 0.02 nx1 有 5 位有效数字 ， x2有 2 位有效数字， x3有 4位有效数字， x4 有 5 位有效 数字， x5 有 2 位有效数字 。( x1* x*2x*4)(x1* )(x*2) (x*4) 0.510 40.5 10 3 0.5 10 31.05 10 3(x1 x2x3)x2x3(x1 )x1 x3(x2) x1x2(x3)0.214790825x1 *x * 6( 2* )*(x*2)*22(x4*)8.855668 10 6x4x4x4。3Vr (R) r ( 3 )3361V21 (V )(V)/33V41r (V ) 0.0033333。(Y100 ) 100