高中平面向量知识点总结

1、荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁

2、莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂

3、蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃

4、蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀

5、蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁

6、薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节

7、膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀

8、艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀

9、芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁

10、芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿

11、莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿

12、莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀

13、蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈

14、蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿

15、蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿

16、薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇

17、薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈

18、膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈

19、芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆

20、芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇

21、莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇

22、莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅

23、莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆

24、蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇

25、蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅

26、薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅

27、薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆

28、薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄

29、艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄

30、芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅

31、芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃

32、莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃

33、荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁

34、莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂

35、蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃

36、蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀

37、蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁

38、薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节

39、膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀

40、艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀

41、芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁

42、芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿

43、莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿蚂腿蒁薂羀膈膀螇羆膇莃蚀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿芃蒁葿螅节膁蚅蚁芁芃蒈聿芀蒆螃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄羁莇薁螀羀蕿袆肈羀艿虿羄罿莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆蒀肅肆芅蚆羁肅莇蒈袇肅薀蚄袃肄艿薇蝿肃莂螂肈 高中平面向量知识点总结

44、平面向量1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量2、向量的表示方法uuuruuur（1）几何表示：以a为起点，以b为终点的有向线段记作ab，如果有向线段ab表示一个向量，通常我们就说向量ab.（2）字母表示：印刷时粗黑体字母a， b， c向量 uuurrr手写时带箭头的小写字母a，b3、向量点的长度（模）uuurr向量的大小叫做向量的长或模，记作|ab|、arr4、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行rvra0a0单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a0为单位向量a0rr平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量rr记作abrr5、相等向量：a=bx1=x2

45、即大小相等，方向相同(x1,y1)=(x2,y2)y=y21ra6、对于任意非零向量的单位向量是 .a7、向量的加法（1）三角形法则ruuuruuuruuurruuurrrruuu设ab=a,bc=b，则a+b=ab+bc=ac rrrrrr对于零向量与任意向量a的和有0+a=a+0=a（2）平行四边形法则uuurruuurrrr已知两个不共线的向量a，b，做ab=a,bc=b，则a、b、d三点不共线， uuurrr以ab、ad为邻边作平行四边形abcd，则对角线上的向量ac=a+b. 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个

46、向量相加：uuuruuuruuuruuuruuuruuur ab+bc+cd+l+pq+qr=ar，但这时必须“首尾相连”8、向量加法的运算律rrrr（1）交换律a+b=b+a（2）结合律(a+b)+c=a+(b+c)9、向量的减法rrrra-b=a+(-b)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量图： 10、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作-a（1）-(-a)=a，即a与-a互为相反向量； rrrrrrrrrrrrrrrr（2）若a、b是互为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0；rrrrr（3）a+(-a)=(-a)+a=0；（4）零向量的相反向量仍是零

47、向量uuuruuur（5）对于用起点和终点表示的向量，则有ab= ba,即ab和- ba互为相反向量 11、已知向量，b，则| |-|b| | | b|12、向量数乘运算 rr实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：rr（1）la=la；（2）当l0时，la与a同向 rr当l0时，la与a异向 rrrrrr当l=0或a=0时，la=0 13、向量数乘的运算律（1）(a) =()a rrr（2）(+)a=a+a rrrrrr（3）（a+b）=a+b（4）（a）= （a）=（a） rrrrrrr（ab）=a-b14、向量共线判定定理rrrrrrr当向量a0，对于向量b，如果有一

48、个实数l，使b=la，那么ab共线.rrrrrr向量b与向量a（a0）共线有且只有一个实数l，使得b=la.rr15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数、rrrr1 、2恒有l（1a2b）=l1a+l2b16、平面向量的基本定理如果e1,e2是一个平面 =0ab同向rr图=180ab同向rrrr=90ab垂直，记为ab18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量19、平面向量的坐标表示（1）直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平rraa，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使=xi

49、+yj，则把有面内的的一个向量ra序数对（x，y）叫做向量的坐标。（2）坐标表示 rrrr在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y）叫做向量的坐标表示。r（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0）j=（0,1）0=（0,0） rr20、若a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数rr（1）ab=(x1x2,y1y2)rla=(lx1,ly1) （2） uuur（3） 若a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab=ob-oa=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)21、向量平行条件rrrr（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)

50、，a/bx1y2-x2y1=0rrr（2）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，如果b不平行于坐标轴，即x2y，则 020x1y1rra/b =即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x2y20） x2y222、向量的数量积 rrrrrr已知两个非零向量a与b，它们的夹角为q，则ab=abcosqrrrrr其中q是a与b的夹角，acosq叫做向量a在b方向上的投影。rr规定0a=023、数量积的几何意义rrrrrrrab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcosq的乘积rr24、a与b都是非零向量，它们的夹角为qrrrr（1）ab ab= 0rrrrrr （2）ab同向时ab=abrrrrr

51、rab反向时ab= ab（3）aa=a=|a|或 rrr2r2r 2 a=aa=a（4）cosq=abrrabrrrr（5）|ab|ab25、向量数量积的运算律rrrr（1）交换律：ab=ba ()rrrrrrrrrr（3）分配律：(ab)c=acbc=c(ab)rrrrrrr特别注意：（1）结合律不成立：a(bc)(ab)c why？ 前者表示与a共线的向量，后者表示与向量c共线的向量，而a与c不一定共线。 rrrrrr（2）结合律：(la)b=lab=alb(lr) ()rrrrr（2）消去律不成立ab=ac不rr（3）ab=0不能rrrra=0或b=0 rrb=c26、平面向量的数量积的

52、坐标运算：rrrr已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y27、垂直rr设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，rr则ab x1x2+y1y2=0rrrrababox1x2+y1y2=rr28、设a=（x，y），则a= xuuur设a=（x1，y1） b=（x2，y2），则ab=uuurruuurrrr0029、已知两个非零向量a与b，作oa=a, ob=b,则aob=q（0q180）叫做向rr量a与b的夹角（x2x1）+（ y2y1）2 2rrrx1x2+y1y2rabcosq=cos=（可用此公式求两向量夹角） 2222abx1+y1x2+

53、y2当x1x2+y1y2<0，q（，; 2当x1x2+y1y2>0，q0，）； 2当x1x2+y1y2=0，q=2rrrr0当且仅当两个非零向量a与b同方向时，=0，当且仅当a与b反方向时=1800 30、向量a的单位向量的坐标表示 rrraa0=（x，y）=arra0 为a的单位向量31、对于求直线l1：a1 x+b1y+c1=0与直线l2：a2 x+b2y+c2=0 的夹角，则只要求与两直线平行的向量的夹角，再取这两个向量的夹角或补角，即与直线l1 、l2分别平行的向量m=（a1，b1），n=（a2，b2），设向量m、 n的夹角为cosq=当cosq<0 时，直线l1 l

54、2夹角等于-锐角当cosq>0 时，直线l1 l2夹角等于 32、三角形面积公式s=33、a=|a| 12 2222 1+1 1+2bsinc可利用夹角公式求出sinc r2rr2rrrrrr2rrr22（ab）（ab）=|ab|=|a|2ab+|b|34、证三点共线 35、直线l的向量参数方程式运用2.2的例一设a、b 是直线l上任意两点，o是l外一点，则对于l上任一点p，存在实数t，是向量op=（1-t）oa+tob当t=p为ab中点时，op=2211 正弦定理 在abc中，角a、b、c所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为r。则有 即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦

55、之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。 定理变形 (3)相关结论: 余弦定理如上图所示，abc，余弦定理可表示为： 同理，也可描述为： 三角形面积1.海伦公式: 解释:假设有一个三角形，边长分别为 得，而公式里的p为半周长。2. ，三角形的面积s可由以上公式求 ，r为外接圆半径 芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆莃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃芁荿蒂蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿蒆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈膀蒄螃螀肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螅袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膃薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚄衿羈芈莄蚁羄芇薆羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆莃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅肇

56、莁蚀肀羃莀螂袃芁荿蒂蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿蒆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈膀蒄螃螀肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螅袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膃薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚄衿羈芈莄蚁羄芇薆羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆莃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃芁荿蒂蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿蒆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈膀蒄螃螀肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螅袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膃薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚄衿羈芈莄蚁羄芇薆羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆莃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃芁荿蒂蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿蒆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈膀蒄螃螀肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁

57、蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螅袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膃薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚄衿羈芈莄蚁羄芇薆羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆莃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃芁荿蒂蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿蒆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈膀蒄螃螀肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螅袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膃薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚄衿羈芈莄蚁羄芇薆羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆莃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃芁荿蒂蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿蒆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈膀蒄螃螀肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螅袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膃薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚄衿羈芈莄蚁羄芇薆羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆莃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃芁荿蒂蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿蒆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈膀蒄螃螀肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀葿羃罿膆薁螅袅膅螄羁芃膄蒃袄腿膃薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚄衿羈芈莄蚁羄芇薆羇节芇虿螀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆莃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃芁荿蒂蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿蒆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈膀蒄螃螀肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃薀