(完整版)勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)

1、 授课日期： 2014 年 月 日许 xx2h年8vip，那么这个三角形是直角三角形，2aca2+ b = c2勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的与较长边的平方 作比较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三2c a b ca2+b2，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角a b ca2+ b2 c2ac只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a222ac，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角a b caca222勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时

2、，这个三角形是直角三角形。2、勾股数中， ，aa2+ b2= c2bcabc记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5等用含字母的代数式表示 组勾股数：n+1（为正整数）；n 2, nn2-1,2n,n22n +1,2n + 2n,2n + 2n +122m2- n2,2mn,m2+ n2m n, m1/10 abcdabc5234分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。222222 dabc1392522b2c216例 2.三边长为 ， ， 满足 ， ， 的三角形是什么形状？a + b =10 ab =18 c = 8abc，且

3、q a + b = (a + b) - 2ab = 64c2 = 64222所以此三角形是直角三角形22例3. 如果abc的三边长分别为 a,b,c,且a=m -n ,b=2mn,c=m +n (mn,m,n是正2分析：先来判断 a,b,c三边哪条最长，可以代 m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。解： （m -n ） +（2mn ） =m +n -2m n +4m n =m +n +2m n =（m +n ） ，4，bc =10 cm ， 边上的中线bcab =13 cmaad =12 cmbd = dc = 5 cmab =169 ad + b

4、d = abbdc222222，ac =13 cm，ab = ac222例 5.（ 1）如 图， 在abc 中，d 是 bc 上一 点， ab=10 ，bd=6 ，ad=8 ，2/10 （2）在 abc 中， 若 ab=15 ， ac=13 ，高 ad=12 ，求 abc 的周 长分 析 ：（ 1）根据 ab=10 ，bd=6 ，ad=8 ，利用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 求 证 abd 是 直 角 三 角 形 ，再 利 用 勾 股 定 理 求 出 cd 的 长 ， 然 后 利 用 三 角 形 面 积 公 式 即 可 得 出 答 案 （ 2） 本 题 应 分 两 种 情 况 进 行 讨

5、论 ： 当 abc 为 钝 角 三 角 形 时 ，在 rt abd 和 rt acd 中 ，运 用 勾 股 定 理 可 将 bd 和 cd 的长 求 出 ， 两 者 相 减 即 为 bc 的 长 ， 从 而 可 将 abc 的 周 长 求 出 解 ：（ 1） bd +ad =6 +8 =10 =ab ，222222 abd 是 直 角 三 角 形 ， ad bc，在 rt acd 中 ， cd=15 ， 当 abc 为 锐 角 三 角 形 时 ， 在 rt abd 中 ， bd=9 ， 在 rt acd 中 ， cd=5 ， bc=5+9=14 abc 的 周 长 为 ： 15+13+14=4

6、2 ； 当 abc 为 钝 角 三 角 形 时 ， 当 abc 为 锐 角 三 角 形 时 ， abc 的 周 长 为 42 ； 当 abc 为 钝 角 三 角 形 时 ， abc 的 周长 为 321例 6：如图，在正方形 abcd 中，f 为 dc 的中点，e 为 bc 上一点，且 ec= bc，求证：af4ef3/10 思路点拨：要证 afef，需证 aef 是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出222基础练习：若abc 的三边 a，b，c 满足条件 a +b +c +338=10a+24b+26c，试判定abc 的形状222（提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c 的等式入手，找

7、出 a，b，c 三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）+（b-12）+（c-13）=0，求出 a=5，b=12，c=13，a +b =c ，222222例 1.一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。222【提高练习】1如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 a、b 两个基地前去拦截，六分钟后同时n到达 c 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120 海里，乙c巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，问：甲巡e逻艇的航向？ab4/

8、10 2一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为此三角形的形状为 。，3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 ab=4 米，bc=3 米，cd=13米，da=12 米，又已知b=90。cdba三、能力培养求：四边形 abcd 的面积。adebc分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造 3、4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明de 就是平行线间距离。例 2 已知：如图，在abc 中，cd 是 ab 边上的

9、高，且 cd2=adbd。求证：abc 是直角三角形。5/10 cbda分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。ac =ad +cd ，bc =cd +bd222222ac +bc =ad +2cd +bd =ad +2adbd+bd =（ad+bd） =a b222222222）2222若abc 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1： 2 ，试判断abc 的形状。3134d3已知：如图，四边形 abcd，ab=1，bc= ，cd=4abc25若abc 的三边 a、b、c 满足 a +b +c +50=6a+8b+10c，求abc 的面积。2226/10 6在abc 中

10、，ab=13cm，ac=24cm，中线bd=5cm。求证：abc 是等腰三角形。7已知abc 的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= 14 ，试判定abc 的形状。勾股定理及逆定理测试题1在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）.a12，15，17 b9，16，25 c5a，12a，13a（a0） d2，3，42在abc 中，a、b、c 的对边分别是 a、b、c，ab8，bc15，ca17，则下列结论不正确的是（ ）.aabc 是直角三角形，且 ac 为斜边 babc 是直角三角形，且abc90dabc 是直角三角形，且a603在abc 中，a、b、c 的对边分别是 a、b

11、、c，且 a：b：c1： ：2，则下列3ac90 bc a b cc 2a2d若 ak，则 c2k（k0）22225在abc 中，a、b、c 的对边分别是 a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）.aabcba：b：c 1：1：2da c bca：b：c4：5：62227/10 (a - 6) + b -8 + c -10 = 06、已知 a、b、c 是三角形的三边长，如果满足的形状是（ ），则三角形a.底与边不相等的等腰三角形c.钝角三角形b.等边三角形d.直角三角形二、填空题.8若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为9.木工师傅要

12、做一个长方形桌面，做好后量得长为 80cm，宽为（填“合格”或10.如图 1，一根电线杆高 8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离 6m 处（填11一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为 6cm，杯深 16cm.今有一根长为 22cm 的吸管如图 2 放入杯中，露在杯口外的长度为 2cm，则这玻璃杯的形状是 体.b.有a面 爬a14.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，a 和 b 是这个台阶两个相对的端点，a 点有一只蚂蚁，想到 b 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 bb点的最短路程是15.如右图所示，长方形 abcd 中，ab=3

13、，ad=9，将此长方形折叠，使点 b 与点 d 重合，折痕为 ef，则 ae 的长为.。三、解答题(11 题 20 分,12、13、14 每小题 10 分，共 50 分)8/10 16.判断由下列各组线段 a、b、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.（1）a6.5，b7.5，c4； （2）a11，b60，c61；3；417.在abc 中，a、b、c 的对边分别是 a、b、c. an 16，b8n，cn +16（n4）.22求证: c=90.18.如图 3，ad=7，ab25，bc10，dc26，db24，求四边形 abcd 的面积.adbccadb20、在数轴上作出 10 的点（保留痕迹）。0123421.如图，一架2.5 米长的梯