(完整版)用基底建模向量法解决立体几何问题

1、 用基底建模向量法解决立体几何问题空间向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽象的几何问题转化为代数计算问题 ,并具有很强的规律性和可操作性 , 而利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约,在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下, 我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底 ,然后将所需的向量用此基底表示出来 , 再利用向量的运算进行求解或证明 , 这就是基底建

2、模法 . 它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。空间向量基本定理及应用a b c空间向量基本定理：如果三个向量 、 、 不共面，那么对空间任一px y z p x a y b z c+向量 存在惟一的有序实数组 、 、 ,使 = +.1、已知空间四边形 oabc中，aob=boc=求证：ogbc.【解前点津】 要证 ogbc，只须证明og bc = 0 即可.例 1 题图而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示 .又已知条件为 aob=bcog bc = 0ogboc=aoc,且 oa=ob=oc，因此可选oa,ob

3、,oc【规范解答】 连 on 由线段中点公式得：为已知的基向量. 11 111og = (om + on) =oa + (ob + oc) = (oa + ob + oc),2 2224又,bc = oc - ob所以11)oc obog ob = (oa + ob + oc) (oc - ob) = (oa oc + ob oc + oc2 - oa ob ob-2 -44= 1 (). 因为.oa oc = oa oc cosaococ - oaob + oc2 - ob2oa4且，aob=aoc.所以og bc =0,即ogbc.oaob = oa ob cosaoboc = ob =

4、oa【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例 2】 在棱长为a的正方体abcdabcd 中，求：异面直线ba 与ac所成的角.11111【解前点津】 利用，求出向量与的夹角,，acba ac = ba ac cos baacba11111再根据异面直线ba，ac所成角的范围确定异面直线所成角.1【规范解答】 因为,ba = ba + bb , ac = ab + bc11所以=ba ac = (ba + bb ) (ab + bc) ba ab + ba bc + bb ab + bb bc1111因为abbc，bbab，bbbc，所以=0,ba bc

5、= 0,bb ab111=-a.所以=-a.2bb bc = 0,ba ab2ba ac11- a21又ba ac = ba ac cos , cos = - .11112 a 2 a2所以=120.ba , ac1所以异面直线ba 与ac所成的角为 601【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示例 3：如图，在底面是菱形的四棱锥 p-abcd 中，abc=60，pa面 abcd ，pa=ac =a,pb=pd=2a ，点 e 在 pd 上，且 pe:pd=2:1. 在棱 pc 上是否存在一点 f，使 bf

6、 平面 aec？证明你的结论.uuur uuur uuur解析：我们可选取ab, ad, ap 作为一组空间基底pedabc uuuruuuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur设pf = lpc,而bf = bp + pf = ap - ab + l(ac - ap)uuuruuuruuurlll= ( -1)ab + ad + (1- )apuuur uuur uuur uuuruuur uuuruuur uuur22又因为ae = ap + pe = ap + pd = ap + (ad - ap)33uuuruuur12= ap + ad33uuur

7、uuur uuur并且ac = ab + aduuuruuuruuur要使bf /平面aec,那么存在实数x,y使bf = xae + y ac成立uuuruuuruuuruuuruuuruuur uuur12即(l -1)ab + l ad + (1- l)ap=（x ap + a d）+y(ab + ad)3332x =l-1=y212于是，可得到 l = x 解得 y = -3112ll=1- = x3故在棱pc上存在一点f,其为pc的中点，使bf/平面aec【例 4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重【规范解答】e,g分别为ab,ac的中点,心

8、).，eg hf .bcbc22从而四边形egfh 为平行四边形，故其对角线ef,gh相交于一点o,且o为它们的中点,连接op,oq.为pq的中点,事实上,而o为gh的中点,例4图op = og + gp,oq = oh + hq1 cd,qh 1 cd,og + oh = 0,gp2211gp = cd,qh = cd.22=11=0.op + oq = og + oh + gp + hq = 0 + cd - cd22=,pq经过o点,且o为pq的中点.op = -oq【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点o,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明p、o

9、、q三点共线进而说明pq直线过o点.op,oq例5如图在平行六面体 abcda1b1c1d1 中，e、f、g分别是 a1d1、d1d、d1c1 的中点求证：平面 efg平面 ab1c. uuuuraauuurabuuurad证明：设a，b，c，1uuuur uuuured d g 1uuureguuuracuuureg则 (ab)，ab2，112，uuuref1212112uuuur uuuur uuuurb c b c c cuuuurb cuuurefuuurefbc2，.11111又eg 与 ef 相交，ac 与 b1c 相交，平面 efg平面 ab1c.例 6如图，平行六面体 abcd

10、a1b1c1d1 中，以顶点 a 为端点的三条棱长都为 1，且两夹角为 60.(2)求 bd1 与 ac 夹角的余弦值uuurabuuurad解：设a，b，c，则两两夹角为 60，且模均为 1.uuuuraauuuurac1uuuuracuuuurccuuuracuuur uuurab ad(1)abc.11|2(ab c)2|a|2|b|2|c|22ab2bc2ac113611 6，2uuuurac1uuuurbd| 6，即 ac1 的长为 6.uuuurdduuuuraauuurbduuur uuurad ab(2)bac.111uuuurbduuurac(bac)(ab)1aba2acb

11、2abbc1.uuuuruuurbdac| (bac)2 2，| (ab)2 3，1uuuur uuurbd ga cuuuur uuurbd gacuuuurbd1uuurac166cos， .112 36bd1 与 ac 夹角的余弦值为 .6 14.已知线段 ab在平面内，线段 ac，线段 bdab，且与所成的角是 30，如果 aba，acbdb，求c、d之间的距离.如图，由 ac，知 acab.过 d 作 dd，d为垂足，则dbd30，ca,bd ，cd = (ca + ab + cd)2第 17 题222b2+a2+b2+2b2cos120a2+b2.cd a2 + b21111= o

12、c - oa = 2oc - 2oa = 2(oc - oa) = 2ac = 2(ab + ad)11- oa) + (od - oa = (2ob - 2oa) + (2od - 2oa)- oa ) + (od - oa ) = a b + a d=(ob1111111111buuuur uuur uuuur1a11123123uuuruuuruuuurcd1依题设中的条件，可知：cd me ,cb me ,cc ne=1213ba12123oquuur uuuurcd21bd cc = (-me + me )(ne )121313231323 c cbd1 的位置，使得 d1ab60，

13、设 ac 与 be 的交点为 o.uuuruuuruuurabuuuraead 表示向量od；1(1)试用基向量，1(2)求异面直线 od1 与 ae 所成角的余弦值；(3)判断平面 d1ae 与平面 abce 是否垂直？并说明理由解：(1) ab ce，abce2， 四边形 abce 是平行四边形， o 为 be 的中点uuuroduuur uuurao aduuuraduuur uuurab aeuuurabuuurae121212 ()1.11(2)设异面直线 od1 与 ae 所成的角为 ，uuur uuurod aeuuur uuur1uuur则 cos|cosod1，uuuraeo

14、d ae|1，uuuruuuruuuroduuuraduuuraeuuurabuuur uuurae aeuuur uuurab aeuuur1ae1112adae(22) |2111212121 2cos45 2 2cos45 ( 2)21，uuur(aduuuruuur11- ab - ae)uuur|od262122| ，1uuur uuurod aeuuur uuurod ae113333 cos1| . 故异面直线 od1 与 ae 所成角的余弦值为 .6 22uuuraduuuuram1uuuraduuurae12，1uuuuurd muuuraduuuruuuruuuraeuuu

15、raeuuuraeuuurae1212adae() |211112 ( 2)21 2cos450.uuuuurd m1uuuuurd m1uuur ae. d1mae.uuuraduuuruuuruuurabuuuraeuuurabuuur uuurae ab121adab()211uuuuurd muuur ab12 22cos4512cos600， d1mab.1又 aeaba，ae、ab 平面 abce， d1m平面 abce. 平面 d1ae平面 abce.1. 在下列条件中,使m与a、b、c一定共面的是( c)a.b.11=om32c.2 若向量a， b，c是空间的一个基底，向量ma

16、+b，na-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( c )b.bc. cd.2auuur uuurbc cduuurab12)化简)uuurbfuuurehuuurhguuurfguuur uuurac cduuurad12).4如图，在底面 abcd 为平行四边形的四棱柱abcda1b1c1d1 中，m 是 ac 与 bd 的交点，uuuura a若111相等的向量是12121212b. a bc121212c. a bcd a bcuuuurbmuuurbd11 uuur uuurad ab121212c () a bc.答案：auuuuraauuuraeuuurabuuurad

17、5已知正方体 abcda1b1c1d1 中，点 e 为上底面 a1c1 的中心，若则 x、y 的值分别为xy，1()ax1，y1bx1，y121212cx ，ydx ，y1uuuur uuuur uuuuraa a e aa 1 a cuuuur uuuuraa 1uuuraeuuur uuurab ad解析：如图， ()11121112答案：c题组二空间中的共线、共面问题4.a(1,0,1)，b(4,4,6)，c(2,2,3)，d(10,14,17)这四个点是否共面_(共面或不共面)uuuracuuurab解析：(3,4,5)，(1,2,2)，uuuraduuuraduuurabuuurac

18、(9,14,16)，设xy.x2，y3，即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)， 从而 a、b、c、d 四点共面答案：共面题组三空间向量数量积及应用6.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点 e、f、g 分别为 ab、ad、dc 的中点，则 a2 等于 ()uuurbcuuurbaa2c2b2uuur uuurefd2cbuuur uuurad bduuur uuurad bd33解析：， ，22a2cos a2.答案：b7二面角l为 60，a、b 是棱 l 上的两点，ac、bd 分别在半平面、内，acl，bdl，且 abac，bd2a，则 cd 的长为a2a b.

19、 5a ca解析：acl，bdl，()d. 3a uuuracuuuracuuurbduuurbauuur uuurab bd,60，且0，0，u uur uuur uuur(ca + ab + bd)2uuur u uur uuur uuurcd caab bduuur，|cd| a2a2(2a)22a2acos1202a.答案：a8.如图所示，在三棱柱 abca1b1c1 中，aa1底面 abc，abbcaa1，abc90，点 e、f 分别是棱 ab、bb1 的中点，则直线 ef 和 bc1 所成的角是b60d120u uruaba(x,5-x,2x-1),b(1,x+2,2-x)x1 已

20、知：a.19,当最取最小值时， 的值等于（ c ）- 88719147b.c.d.u uru r u uru r u uru ru uruab=i,bc= j,op= k ，e 为 pc 的中点，则ae2正四棱维 p-abcd 中，o 为底面中心，设示为可表（ b ）r r r3 3 3r r rr r r1 3 1r r ri+ j+k3 3 1i+ j+ k4 4 234i+ j+ k4 4 4i+ j+ k4 4 2a.b.c.d.rrr ra ba = (x, y,1),b = (3,2,z)xz+ yz3已知向量a. 6，且 ，则的值是（ b ）d. 3b. 5c. 4r r+ka

21、brrr ra b-a = (0,1,-1),b= (1,0,2)k4已知向量（ d ），若向量与向量互相垂直，则 的值是357244a.5下面命题正确的个数是b.2c.d.（ b ）p = 2x+3ypy，则 与 、 共面；x若若若uuur uuur uuurmp= 2ma+3mb，则 m、p、a、b 共面；uuur uuur uuur uuur ro a+ob+oc+od= 0，则 a、b、c、d 共面； uuur 1uuur 5uuur 1uuurop= oa+ ob- oc263若a.1，则 p、a、b、c 共面；c.3b. 2d.4r r r r r r r r rr r ra,b,

22、ca =i+ j,b= j +k,c = k +i6已知点 a 在基底r r r下的坐标为（8，6，4），其中，则点a 在基i, j,k底下的坐标是（ a ）a.（12，14，10）b.（10，12，14）c.（14，12，10）d.（4，3，2）u uru u uur 6 u uruoc=oa- obu uru u uruob oca(1,0,0),b(0,1,-1)67已知点,向量，则向量的夹角是（ a ）2p3p2rpp36a.b.c.d.rrarba = (-2,2,-1)b= (0,3,-4)8已知向量a.1，向量b. 2，则向量 在向量 上的射影的长是（ b ）c.5u uru u uru u uru u urudcpabd.10a(1,0,0),b(0,1,0)c, (0,0,2) bdpac若9已知，且，则点 d 的坐标为（ d ）a.（-1，-1，