概率论与数理统计

1、概率论与数理统计综合复习资料 一、填空题 1由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨(记作事件 A )的概率为 4/15，刮风(记 作事件 B )的概率为 7/15，刮风又下雨(记作事件 C )的概率为 1/10 。则： P(A|B) ； P(A B) 。 2一批产品共有 8 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个(不放回) 。则： ( 1)第一次取到正品，第二次取到次品的概率为； ( 2)恰有一次取到次品的概率为。 3设 A、 B为事件， P(A) 0.6，P(A B) 0.3，则 P(AB) 。 4设 X 与 Y 相互独立，都服从 0，2上的均匀分布，则 PX Y 。 5设随机变

2、量 X 服从参数为 的泊松分布，且已知 E(X 1)(X 2) 1 ，则 6设由来自总体 X N( ，1) 的容量为 100的样本测得样本均值 X 5，则 的置信度 近似等于的置信区间为 。 7一个袋子中有 5 只黑球 3 只白球，从袋中任取两只球，若以A 表示：“取到的两只球均 为白球”； B表示：“取到的两只球同色” 。则 P(A) ； P(B) 。 e x， x 0 8设 X 的概率分布为 f (x) ，则 0， x 0 P X 3 ； X 的分布函数 F(x) 。 9已知工厂 A、B 生产产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A、B的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取

3、一件， 若取到的是次品， 那么该产品是 A 工厂的概率为。 Ax， 0 x 1 10设随机变量 X 的概率分布为 f (x) ，以Y表示对 X 的三次独立重 0，其它 复观察中事件 X 1 出现的次数，则 PY 2 = 。 2 2 11设 X 与 Y独立同分布，且 X N(2 ,32)，则 D(3X 2Y)=。 选择题 它是甲射中的概率是【 】。 ( A) (B) 5/11 (C) (D ) 6/11 4设事件 A、 B 、 C满足 AB C ，则下列结论正确的是【 】。 5 ( A)P(C) (C )P(C) P(A) P(B) (B) P(C) P(A) P(B) P(AB) (D) P(

4、C) P(A B) 设 A和 B 为任意两个事件，且 B， P（B） 0 ，则必有【 】。 (A)P(A) P(A| B) (B )P(A) P(A|B) (C)P(A) P(A| B) (D )P(A) P(A|B) 6 设 A和 B 是任意概率不为零的互斥事件，则下结论正确的是【 】。 7 ( A)P(B A) P(B) （B）A与 B互斥 (C) P(AB) P(A)P(B) （D）A与 B不互斥 设 （X，Y） 的概率密度 C， f (x，y) C0， x 1，0 y 2 其它 ，则 C 】。 ( A) 3 (B ) 1/3 (C ) 1/2 (D) （ A ） P X Y 1 1/2

5、 （B） P X Y 0 1/2 （C） P X Y 0 1/2 （D） PX Y 1 1/2 2已知 P（A） 0.4， P(B) 0.6， P(B | A) 0.5 ，则 P(A B) 【 】 (A) 1 (B) (C) (D) 1 设 X 和Y 相互独立，且分别服从 N(1, 22)和 N(1, 1)，则【 】。 甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为 和，现已知目标被命中，则 3 三、某工厂三个车间生产同一规格的产品， 其产量依次占全厂总产量的 25%、35%、 40%，如果各车间生产产品的次品率依次为 5%、4%、2%。现从待出厂的产品中 随机地取一件，求： （1）取到

6、的是次品的概率； （2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。 四、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为 4/5，今独立重复地作刺激试验， 直到发火为止，则消耗的雷管数 X 是一离散型随机变量，求 X 的概率分布 五、设随机变量 X 的概率分布为 X 10 1 2 pk 求：（1） EX、DX ； （2） Y 2X 1的概率分布； 六、设X随机地在1，2，3中任取一值， Y随机地在 1 X中任取一整数值 ,求： （1）（X，Y） 的分布律；（2）关于 X和Y的边缘分布律。 七、已知r v X 、Y分别服从正态分布 N（0, 32）和N（2, 42），且 X与Y的相关 系数 XY 1/2

7、，设Z X /3 Y/2，求： （1）数学期望 EZ，方差 DZ ；（2） X与Z的相关系数 XZ。 八、设X1，X2， ，Xn为X 的一个样本， X f(x, ) ( 1)x ,0 x 1 0, 其它 其中1为未知参数，求 的极大似然法估计量 九 、 设 X1，X2，X3，X4 是 来 自 正 态 总 体 N （0，3 2） 的 随 机 样 本 ， X a（X1 2X2）2 b（2X3 3X4）2。试确定 a 、b使统计量 X 服从 2分布，并指出其 自由度。 十、 设二维随机变量 X ， Y ）的概率分布为 f(x,y) e y , 0 x y 0, 其它 求：（1）随机变量 X的密度函数

8、 fX （x）； 2)概率 P X Y 1 。 一、设 X、Y的概率分布为 1 4y ， 1 x 5, 4e ， y 0, (x) 4 (y) 0， 其它 ,0， y 0, 求： E(X Y)和 E(2X 3Y2)。 十二、设总体 X 的分布列为 X 1 0 pk p 1 p X1，X2， ，Xn为 X 的一个样本，求 p的极大似然估计 十三、设P(A) 0.3，P(B) 0.4，P(AB) 0.5，求P(B|(A B) 。 十四、在某城市中发行三种报纸 A、 B、C ，经调查，订阅 A报的有 50%，订阅 B 报的有 30%，订阅C报的有 20%，同时订阅 A及 B 报的有 10%，同时订阅

9、 A及 C 报的有 8%，同时订阅 B 及C 报的有 5%，同时订阅 A、B、C 报的有 3%，试求 下列事件的概率： (1)只订阅 A及 B报；( 2)恰好订阅两种报纸。 十五、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中 敌机的概率为，求下列事件的概率： ( 1 ) 敌机被击中； ( 2)甲击中乙击不中； ( 3)乙击中甲击不中。 十六、在电源电压不超过 200，200240和超过 240 伏的三种情况下，某种 电子元件损坏的概率分别为， 和,假定电源电压 X N (220,252) ，试求： (提示： (0.8) 0.788 ) (1) 该电子元件被损坏的概率 (2) 电

10、子元件被损坏时，电源电压在 200240 伏内的概率 。 十七、设 X1，X2， ，Xn为总体 X的一个样本，且 X 服从几何分布，即 P X k (1 p)k 1 p, k 1,2,3, ，求 p 的极大似然估计量 参考答案： 一、填空题 1 3/14 19/30 2 8/45 16/45 3； 4 1/2； 5 1 6， 7 3 1 e x ， x 0 3/28 ； 13/28； 8 1 e 3 ； F (x) 0， x0 9 3/7 10 9/64 11 117 二、 选择题 1 C 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A7 C 三、某工厂三个车间生产同一规格的产品， 其产量依次占全厂总

11、产量的 25%、35%、 40%，如果各车间生产产品的次品率依次为 5%、4%、2%。现从待出厂的产品中 随机地取一件，求： （1）取到的是次品的概率； （2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。 解：设事件 A表示：“取到的产品是次品” ；事件 Ai 表示：“取到的产品是第 i 车间生产的”（ i 1， 2，3）。 2分 则 A1 A2 A3 ，且 P(Ai ) 0， A1、 A2 、A3 两两互斥， 由全概率公式得 P(A) i 3 P(Ai) P(A| Ai) 1 5分 25 5 35 4 40 2 69 7分 100 100 100 100 100 100 2000 P(A1|

12、A) = P(A1)P(A|A1) =3 10分 j 1P(Aj)P(A| Aj) 25 5 12 分 100 100 25 69 69 2000 四、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为 4/5，今独立重复地作刺激试验， 直到发火为止，则消耗的雷管数 X 是一离散型随机变量，求 X 的概率分布。 解： X 的可能取值为 1，2， 3， 记 Ak 表示“第 k 次试验雷管发火” 则 Ak表示“第 k 次试验雷管不发火”从而得 2分 p1 PX 1 P(A1) 5 14 p2 PX 2 P(A1A2 ) P(A1)P(A2) 55 p3 PX 3 P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A

13、3) 1 P X k P(A1A2 Ak 1Ak ) 4 5 (15)k (15)2 45 pk 8分 4 1 k 1 PX k ( )k 1 (k 1，2，3， 55 设随机变量 X 的概率分布为 12分 依次类推，得消耗的雷管数 X 的概率分布为 X 1 0 1 2 pk ：(1) EX、 DX 2)Y 2X 1的概率分布； 解： (1) EX 1 0.3 0 0.2 1 0.4 2 0.1 0.3 4 分 EX2 ( 1)2 0.3 0 0.2 12 0.4 22 0.1 1.1 6 分 DX EX 2 ( EX)2 1.1 2 (0.3)2 1.01 8 分 五、 求 2) Y 2X

14、1的概率分布 Y 3 1 1 3 pk 六、设 X随机地在 1，2，3中任取一值， Y随机地在 1 X中任取一整数值 , 求： （1）（X，Y） 的分布律；（2）关于 X和Y的边缘分布律。 解：（1） （ X，Y） 的概率分布表为 9 6分 2）关于 X 的边缘分布律为 X 1 2 3 P X xi pi 1 1 1 9分 关于 Y的边缘分布律为 Y 1 2 3 PY yj p j 11 5 1 12分 七、已知r v X 、Y分别服从正态分布 N（0, 32）和N（2, 42），且 X与Y的相关 系数 XY 1/2，设Z X /3 Y/2，求： （1）数学期望 EZ，方差 DZ ；（2） X

15、与Z的相关系数 XZ。 解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 EZ E(X3 Y2) E(X3) E(Y2) X Y X Y DZ D(X3 Y2) D(X3) D (Y2) 1 1 1 1 DX DY 2 32 22 3 2 11 0 2 1 3 分 32 XY 2Cov( ， ) 32 XY DX DY 5 分 123212422 1 1 ( 1)3 4 1 4 2 3 6 分 3222 3 2 2 2)Cov(X，Z) Cov(X， 1X 1Y) 1Cov(X,X) 1Cov(X,Y) 3232 11 DX XY DX DY 0 9 分 3 2 XY 从而有 X与Z的相关系

16、数 XZ Cov( X ,Z) 0 10分 XZ DX DZ 八、设X1，X2， ，Xn为X 的一个样本， X f(x, ) ( 1)x ,0 x 1 0, 其它 其中1为未知参数，求 的极大似然法估计量 解的 的极大似然估计量为 解：设x1，x2， ，xn为 X1，X2， ， X n观测值，则构造似然函数 L( ) ( n 1)n( xi ) i1 3分 ln L nln( n 1)ln xi i1 5分 dlnL nn ln xi 0 1 i 1 i 8分 d n n 10分 ln Xi i1 九、(6 分)设 X1，X2，X3，X4是来自正态总体 N (0，3 2) 的随机样本， X a

17、(X1 2X2)2 b(2X3 3X4)2。试确定a 、b使统计量 X 服从 2分布，并指出其 自由度。 解： 依题意，要使统计量 X 服从 2 分布，则必需使 a1/2(X1 2X2) 及 b1/2(2X3 3X4) 服从标准正态分布 2分 由于 X1，X2，X3，X4 为简单随机样本，故相互独立，所以由正态随机变量 的性质知a1/2(X1 2X2)N(0，(9a 36a) ，从而解得 a 1/45。 4分 同理b1/2(2X1 3X2) N(0，(36b 81b) ，从而解得 b 1/117。 5分 1 由 分布定义知，当 a 45 1 2 2 时， X a(X1 2X2)2 b(2X3

18、3X4)2 117 服从 2 分布，且自由度为 2。 6分 十、 设二维随机变量( X ， Y) 的概率分布为 求：(1) 2) 解： x 0 时， ey f(x,y) e0, 0 其它 xy 随机变量 X 的密度函数 概率 P X Y 1 。 fX (x)； 1) x 0时， f X (x) =0； fX(x)= f (x, y)dy e ydy 故随机变量 X 的密度函数 f X (x) = x e， 0， 2) P X Y 1f ( x, y)dxdy XY1 1 2 dx 0 ydy 2分 4分 5分 一、设 X、Y的概率分布为 1， (x)4， 0， 1 x 5, 其它, 求： E(

19、X Y)和 E(2X 3Y2)。 1 2e 2 10分 (y) 4e 4y 0， 0, 0, 解：由于 X 在有限区间 1，5 上服从均匀分布，所以 EX 3 ；又由 解：设 x1，x2， ，xn为 X1，X2， ， X n观测值， X的分布律为 p(x, p) x p (1 p)1 x ( x 1，0) 于是似然函数 n L(p) i1 n p(xi, p) i1 xi1 xi p i (1 p) i 2分 n xi i 1 (1 n p) n xi i1 4分 lnL ln n p xi i1 (n n xi )ln(1 p) i1 6分 dln L n xi i1 n n i xi 1

20、8分 dp p 1 p 令 dln L 0 ， dp 解得 p 1n xi n i 1 X ，因此 p 的极大似然估计为 于Y服从参数为 4的指数分布，所以 EY =1、DY 1 ， 4 16 因此由数学期望性质 2、性质 3 及重要公式得 11 E(X Y) EX EY 3 3 44 E(2X 3Y2) 2E(X) 3E(Y2) 2 3 5 6 3(DY (EY) 2 ) 6 5 。 88 3分 6分 10 分 十二、 设总体 X 的分布列为 X 1 0 pk p 1 p X1，X2， ，Xn为 X 的一个样本，求 p的极大似然估计 1n pxi X10 分 n i 1 十三、设P(A) 0

21、.3，P(B) 0.4，P(AB) 0.5，求 P(B|(A B)。 解：由于 P(B|(A B) P(B(A B) ， P(A B) 2分 B(A B) BA BB BA， A AB AB， AB AB ， 3分 P(BA) P(A) P(AB) 1 P(A) P(AB) 0.7 0.5 0.2 ， P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.7 1 0.4 0.5 0.8 ， 7分 P(B|(A B) P(B(A B) 0.2 P(A B) 0.8 十四、在某城市中发行三种报纸 A、 B、 C ，经调查，订阅 A 报的有 50%， 10%，同时订阅 订阅B报的有 30%，订阅C报的有

22、 20%，同时订阅 A及B报的有 A及C报的有 8%，同时订阅 B及C报的有 5%，同时订阅 A 、 B、C报的有 3%， 试求下列事件的概率： (1)只订阅 A及 B报；( 2)恰好订阅两种报纸。 解：(1)P( ABC ) P(AB C) P(AB ABC) 2 分 P(AB) P( ABC ) 3 分 0.1 0.03 0.07 4 分 (2)P ( ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)6 分 0.07 0.02 0.05 0.14 8 分 十五、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中 敌机的概率为，求下列事件的概率： ( 1 ) 敌机

23、被击中； 2)甲击中乙击不中； ( 3)乙击中甲击不中。 解：设事件 A 表示：“甲击中敌机”；事件 B 表示：“乙击中敌机”；事件 C 表 示：“敌机被击中”。则 (1) P(C) P(A B) 1 P(A B) 1 P(AB) 1 0.1 0.9 4 分 (2) P(AB) P(A)P(B) 0.8 (1 0.5) 0.4 8 分 (3) P(AB) P(A)P(B) (1 0.8) 0.5 0.1 12 分 十六、在电源电压不超过 200，200240和超过 240 伏的三种情况下，某种 电子元件损坏的概率分别为， 和,假定电源电压 X N (220,252) ，试求： (提示： (0.8) 0.788 )