2020年高考文科数学一轮总复习：函数与方程

1、 2020 年高考文科数学一轮总复习：函数与方程第 10 讲 函数与方程1函数的零点对于函数 yf(x)，把 使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点函数零点的概念方程 f(x)0 有实数根函数yf(x)的图象与x 轴有交点函数 yf(x)有零点方程的根与函数零点的关系函数零点的存在性定理函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，若 f(a)f(b)0，则 yf(x)在(a，b)内存在零点注意 函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内2二次函数 yax bxc(a0)的图象与零点的关系2000二次函数yax bxc2(a0)的图象与 x 轴的交点零点个

2、数无交点零个121两个一个判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点()(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0.(3)二次函数 yax bxc(a0)在 b 4ac0 时没有零点()22(4)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，f(3)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有 3 个1 12x函数 f(x)x 的零点个数为() 2a0c2b1d3121x2 121212

3、x解析：选 b.函数 f(x)x 的零点个数是方程 x 0 的解的个数，即方程 x 121x 12x的解的个数，也就是函数 yx 与 y的图象的交点个数在同一个坐标系中作出两 2个函数的图象(图略)，可得交点个数为 1.log （xm），x2，2已 知 2 是 函 数 f(x) 的 一 个 零 点 ， 则 f(f(4) 的 值 是2 ，x2 x_解析：由题意知 log (2m)0，所以 m1，所以 f(f(4)f(log 3)2log 33.222答案：3已知函数 f(x)2axa3，若 x (1，1)，使得f(x )0，则实数a 的取值范围是00_解析：依题意可得 f(1)f(1)0，即(2

4、aa3)(2aa3)0，解得 a1.答案：(，3)(1，)函数零点所在区间的判断(师生共研)2函数 f(x)ln x 的零点所在的大致区间是()xa(1，2)c(1，e)和(3，4)b(2，3)d(e，)1 2x x2【解析】 因为 fx)( 0(x0)，所以 f(x)在(0，)上单调递增，23又 f(3)ln 3 0，f(2)ln 210，所以 f(2)f(3)0，所以 f(x)唯一的零点在区间(2，3)内故选 b.【答案】 b2020 年高考文科数学一轮总复习第 2 页 共 12 页 判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型利用函数零点的存在性定理进行判 能够容易判断区间端点值所对应函定

5、理法图象法断数值的正负画出函数图象，通过观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象1设 f(x)3 x ，则在下列区间中，使函数 f(x)有零点的区间是()x2a0，1c2，1b1，2d1，02解析：选 d.因为 f(x)3 x2，所 以 f(1)311 0 所以 f(x31)f(0)0a3c1b2d0【解析】 法一(方程法)：由 f(x)0，x0，x0，得或x x20 1ln x0，2解得 x2 或 xe.因此函数 f(x)共有 2 个零点2020 年高考文科数学一轮总复习第 3 页 共 12 页 法二(图形法)：函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有

6、2 个零点【答案】 b判断函数零点个数的 3 种方法(1)方程法：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0)，y ln x(x0)的图象，如图所示2由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.e x2，x0， x2函数 f(x)的零点个数是()x22x，x0a0c2b1d3解析：选 c.当 x0 时，令 f(x)0，即 x22x0，解得 x2，或 x0(舍去)所以当x0 时，只有一个零点；当 x0 时 ，f(x)exx2，而 f(x)ex1，显然 f(x)0，所以 f(x)在0，)上单调递

7、增，又 f(0)e00210，所以当 x0 时，函数2020 年高考文科数学一轮总复习第 4 页 共 12 页 f(x)有且只有一个零点综上，函数 f(x)只有 2 个零点，故选 c.函数零点的应用(师生共研)e ， x0x(1)(数形结合思想)(2018高考全国卷)已知函数 f(x)，g(x)f(x)xln x， x0a.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是(a1，0)b0，)d1，)c1，)(2)(分离参数法)若函数 f(x)4 2 a，x1，1有零点，则实数 a 的取值范围是xx_【解析】 (1)函数 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f(x)xa

8、 有 2个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2 个交点，作出直线 yxa 与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得 a1，故选 c.(2)因为函数 f(x)4 2 a，x1，1有零点，xx所以方程 4 2 a0 在1，1上有解，xx即方程 a4 2 在1，1上有解xx1214方程 a4 2 可变形为 a(2 )2 ，xxx12因为 x1，1，所以 2 ，2 ，x1 2 114所以 2 ，2 .x2414所以实数 a 的取值范围是 ，2 .14【答案】 (1)c (2) ，2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法2020 年高考文科数学一轮总复习第 5 页

9、 共 12 页 21(2019四川绵阳模拟)函数 f(x)2 a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取xx值范围是(a(1，3)c(0，3)b(1，2)d(0，2)解析：选 c.由题意，知函数 f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，（1）0， a0， 41a0，f解得 0a0，x2x，x0，2(2019福建漳州八校联考)已知函数 f(x)若函数 g(x)f(x)m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是_解析：令 g(x)f(x)m0，得 f(x)m，则函数 g(x)f(x)m 有三个零点等价于函数 f(x)与 ym 的图象有三个不同的交点，作出函数 f(x)

10、的图象如图：1 2 114当 x0 时，f(x)x2xx ，若函数 f(x)与 ym 的图象有三个不同的交241414点，则 1，13a1c3b2d4【解析】 函数 yf(x)x4 的零点个数，即函数yx4 与 yf(x)的图象的交点的个数如图所示，函数 yx4 与 yf(x)的图象有两个交点，故函数 yf(x)x4 的零点有 2 个故选 b.【答案】 b本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数考查了直观

11、想象这一核心素养已知函数 f(x)e| |x|.若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围x是()a(0，1)c(1，0)b(1，)d(，1)解析：选 b.方程 f(x)k 化为 e| |k|x|，x设 y e| |，y k|x|.x12y k|x|表示斜率为 1 或1 的平行折线系，2折线与曲线 y e| |恰好有一个公共点时，k1.x1如图，若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是(1，)故选 b.基础题组练2020 年高考文科数学一轮总复习第 7 页 共 12 页 x 2x，x0，21(2019福州期末)已知函数 f(x)则

12、函数 yf(x)3x 的零点个数是11 ，x0，x()a0c2b1d3x0，0，x解析：选 c.令 f(x)3x0，则或解得 x0 或 x1，1x22x3x0 1 3x0，x所以函数 yf(x)3x 的零点个数是 2.故选 c.2函数 f(x)x x 1 的零点所在的区间可以是()32a(0，1)c(1，2)b(1，0)d(2，3)解析：选 c.函数 f(x)x3x21 是连续函数因为 f(1)11110，所以 f(1)f(2)0，21则 yf(x)g(x)的零点个数为() ，x0范围是()a(，1)c(1，0)b(，0)d1，0)1解析：选 d.当 x0 时，f(x)3x1 有一个零点 x

13、，所以只需要当 x0 时，e a0x3有一个根即可，即 e a.当 x0 时，e (0，1，所以a(0，1，xx即 a1，0)，故选 d.13 x5(2019河北石家庄模拟)若函数 f(x)m的零点是2，则实数 m_ 2020 年高考文科数学一轮总复习第 8 页 共 12 页 1 3 2解析：依题意有 f(2)m答案：90，解得 m9.66(2018高考全国卷)函数 f(x)cos(3x )在0， 的零点个数为_6 解析：由题意知，cos 3 0，所以 3x k，kz，所以 x k，x62934979kz，当 k0 时，x ；当 k1 时，x ；当 k2 时，x ，均满足题意，所以函9数 f(

14、x)在0，的零点个数为 3.答案：37设函数 f(x)ax bxb1(a0)2(1)当 a1，b2 时，求函数 f(x)的零点；(2)若对任意 br，函数 f(x)恒有两个不同零点，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1，b2 时，f(x)x22x3，令 f(x)0，得 x3 或 x1.所以函数 f(x)的零点为 3 或1.(2)依题意，f(x)ax bxb10 有两个不同实根，所以 b 4a(b1)0 恒成立，即22对于任意 br，b24ab4a0 恒成立，所以有(4a)24(4a)0 a2a0，解 得 0a1，因此实数 a 的取值范围是(0，1)8已知a 是正实数，函数f(x)2ax 2

15、x3a.如果函数 yf(x)在区间1，1上有零2点，求 a 的取值范围解：1f(x)2ax22x3a 的对称轴为 x 0.2a（1）0， a5，12a12f当 1，即 0a 时，须使即（1）0，fa1，所以无解12a12当1 时，12a1 0， 3a0，2af须使即a1，f（1）0，解得 a1，2020 年高考文科数学一轮总复习第 9 页 共 12 页 所以 a 的取值范围是1，)综合题组练e a，x0， x1(应用型)(2019郑州市第一次质量测试)已知函数 f(x)(ar)，若函2xa，x0数 f(x)在 r 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是()a(0，1c(0，1)b1，)d(，1

16、解析：选 a.画出函数 f(x)的大致图象如图所示因为函数f(x)在 r 上有两个零点，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当 x0 时，f(x)有一个零点，需 00 时，f(x)有一个零点，需a0.综上，00)，若当 0 时， ( ) ( )，则 的值为()xa ba1b211c.2d.41解析：选 b.因为 f(x) 1x11，x（0，1，x所以 f(x)在(0，1上是减函数，在(1，)上是增函数由 11 ，x（1，），x111 10ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b，则 11 ，所以 2.a bab3方程 2 3xk 的解在1，2)内，则 k 的取值范围为_x解析：令函数

17、f(x)2 3xk，x则 f(x)在 r 上是增函数当方程 2 3xk 的解在(1，2)内时，xf(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得 5k2，且 a2a2，即 a0.所以 f(x) f(1)4a4，a1.min故函数 f(x)的解析式为 f(x)x22x3.x 2x33x2(2)因为 g(x)4ln xx 4ln x2(x0)，x3 4 （x1）（x3）所以 g(x)1 .x xx22令 g(x)0，得 x 1，x 3.12当 x 变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0，1)(1，3)30g(x)g(x)极大值极小值当 0x3 时，g(x)g(1)40，4xg(x)x1，x0.(1)求 g(f(1)的值；(2)若方