2020年高考文科数学一轮总复习：直线与椭圆

1、 2020 年高考文科数学一轮总复习：直线与椭圆第 2 课时 直线与椭圆直线与椭圆的位置关系(师生共研)x2 y24 2已知直线 l：y2xm，椭 圆 c： 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 c：(1)有且只有一个公共点；(2)没有公共点y2xm，【解】 将直线 l 的方程与椭圆 c 的方程联立，得方程组x2 y2 1，4 2将代入，整理得 9x28mx2m240.方程根的判别式 (8m)249(2m24)8m2144.(1)当 0，即m3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 c 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 c 有且只有一

2、个公共点(2)当 0，即 m3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 c 没有公共点直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程(2)消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程(3)当 0 时，直线与椭圆相交；当0 时，直线与椭圆相切；当0 时，直线与椭圆相离x2 y2不论 k 为何值，直线 ykx1 与焦点在 x 轴上的椭圆 1 恒有公共点，则实数 m7 m的取值范围是(a(0，1)b(0，7)d(1，7c1，7)x2 y2解析：选 c.直线 ykx1 恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆 1 上或其内7 m1x y22部，所以有 1，得 m1.

3、又椭圆 1 的焦点在 x 轴上，所以 m7.综上，1mb0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 m(4，1)，则椭圆的离心率是()122a.2b.d.355c.2【解析】 (1)设 a，b 两点的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，直线 l 的方程为 yxt，1122x24y24，由xt，y消去 y，得 5x28tx4(t21)0，854（t 1）2则 x x t，x x .5121 2所以|ab| 1k2|x x |12 1k2 （x x ）24x x121 2854（t 1） 22 24t 54 25 5t2，当 t0 时，|ab| 4 10.5maxx2 y2a2

4、b21 11，(2)法一：设直线与椭圆的交点为 a(x ，y )，b(x ，y )，分别代入椭圆方程，得1122x2 y2a2 b22 21，y y两式相减得 1x xb2 x x2 12.a2 yy2112y y132b2a2 4cba2因为 k 1 21，且 x x 8，y y 2，所 以 ，e 1 ， x xab1212a12故选 c.2020 年高考文科数学一轮总复习第 2 页 共 10 页 x2 y2a2 b2法二：将直线方程xy50 代入 1(ab0)，得(a2b2)x210a2x25a2a2b210a2a2b20，设直线与椭圆的交点为a(x ，y )，b(x ，y )，则 x x

5、 ，又由中点坐标公式11221210a2a2b2c32知 x x 8，所以8，解得 a2b，又 c a2b2 3b，所以 e .故选12ac.【答案】 (1)c (2)c(1)弦长公式若直线 ykxm 与椭圆相交于两点 a(x ，y )，b(x ，y )，则|ab| 1k2|x x |11221211 |y y |；k2122b2焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长 ，最长为 2a.a(2)中点弦的重要结论x2 y2a2 b2ab 为椭圆 1(ab0)的弦，a(x ，y )，b(x ，y )，弦中点 m(x ，y )112200斜率：kb2x0；a2y0b2a2弦 ab 的斜率与弦中点

6、m 和椭圆中心 o 的连线的斜率之积为定值 .x2 y2a2 b255已知椭圆 1(ab0)的一个顶点为 b(0，4)，离心率 e ，直线 l：yx4 交椭圆于 m，n 两点则弦 mn 的长为_c5解析：由已知得 b4，且 ，a 5c2 1a2 5a2b215即 ，所以 ，a2x2 y220 16解得 a220，所以椭圆方程为 1.将 4x25y280 与 yx4 联立，消去 y 得 9x240x0，40所以 x 0，x ，912所以所求弦长|mn| 112|x x |40 2.92140 29答案：2020 年高考文科数学一轮总复习第 3 页 共 10 页 椭圆与向量的综合问题(师生共研)x

7、2(1)已知点 f ，f 是椭圆 c： y 1 的焦点，点 m 在椭圆 c 上且满足|mf mf241212|2 3，o 为坐标原点，则mf f 的面积为()123332a.b.c2d14x2 y2(2)(2019石家庄质量检测(二)倾斜角为 的直线经过椭圆 1(ab0)的右焦点 f，a b22与椭圆交于 a、b 两点，且af2fb，则该椭圆的离心率为()3223a.c.b.d.2233【解析】 (1)|mf mf |2|mo|2 3，12所以|mo| 3c，所以 mf mf ，12|mf | |mf | 4c 12，22212解得|mf |mf |2，|mf |mf |2a4，12121所以

8、三角形的面积 s |mf |mf |1.212x y22 1a b22(2)由题可知，直线的方程为 yxc，与椭圆方程联立得，所以(b a )y 222yxc2b cyb 0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则0.设 a(x ，y )，b(x ，241122b2ca by y 2212y )，则，又af2fb，所以(cx ，y )2(x c，y )，所以y 2y ，2b4112212y y a b1 2222b2cy 2 a2b2b414c223可得，所以 ，所以 e ，故选 b.2 a b2 22y2a b222【答案】 (1)d (2)b解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量

9、条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系2020 年高考文科数学一轮总复习第 4 页 共 10 页 (2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题x2 y2a2 b2已知 f ，f 为椭圆 1(ab0)的两个焦点，b 为椭圆短轴的一个端点，bf bf121214 f f 2，则椭圆的离心率的取值范围为()1212b. 022 c. 033 12a. 0，d. ，1，1解析：选 c.根据题意不妨设 b(0，b)，f (c，0)，f (c，0)，因为bf bf f f 2，412121 2c3所以 b22c2，又因为 b2a2c2，所以 a23c

10、2，所以 0b0)的右焦点为 f(3，0)，过点 f 的直线交椭圆于 a，b两点若 ab 的中点坐标为(1，1)，则 e 的方程为()x2 y245 36x2 y236 27a. 1b. 1x2 y227 18x2 y218 9c. 1d. 1x2 y2a2 b21 11，x x x x（ ）（ ）解析：选 d.设 a(x ，y )，b(x ，y )，则两式相减，得1212a2112222x y2 21.a2 b2（y y ）（y y ）1212 0.因为线段 ab 的中点坐标为(1，1)，所以 x x 2，y y b21212y y b22.将其代入上式，得 1 2 .因为直线 ab 的斜率

11、为31 2011b 12 ，所以 ，所以 a22b2.2xx2a2a21x2 y218 9因为右焦点为 f(3，0)，所以 a2b2c29，解得 a218，b29.所以椭圆 e 的方程为 1.故选 d.x2 y2a2 b24已知椭圆c： 1(ab0)与直线 yx3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆 c 的方程为(4x y)22x y22a. 1b. 125 55 4x2 y29 5x2 y225 20c. 1d. 1解析：选b.将直线方程yx3代入c的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，

12、化简得 a2b29.55ca2b255b 42又由椭圆的离心率为 ，所以 ，则 ，解得 a25，b24，所以椭圆方aaa 52x2 y25 4程为 1.2 33x2 y2a2 b25已知点 m 2 2，在椭圆 g： 1(ab0)上，且点 m 到两焦点的距离之和为 4 3.(1)求椭圆 g 的方程；2020 年高考文科数学一轮总复习第 6 页 共 10 页 (2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 g 交于 a，b 两点，以 ab 为底作等腰三角形，顶点为 p(3，2)，求pab 的面积解：(1)因为 2a4 3，所以 a2 3.2 3在椭圆 g 上，3又点 m 2 2，2 4所以 1，解得 b2

13、4.3 3b2x2 y212 4所以椭圆 g 的方程为 1.(2)设直线 l 的方程为 yxm，yxm，由x2 y2 1，12 4得 4x26mx3m2120.x x3m4设 a(x ，y )，b(x ，y )(x b0)的两个焦点，p 为椭圆上一点，12且pf pf c2，则此椭圆离心率的取值范围是_12解析：设 p(x，y)，则pf pf (cx，y) (cx，y)x2c2y2c2，12b2将 y2b2 x2 代入式解得a2（2c2b2）a2 （3c2a2）a2x2，c2c2又 x20，a2，所以 2c2a23c2， 322c所以 e ，.3a 322答案：，3y242(综合型)设直线 l

14、：2xy20 关于原点对称的直线为 l，若 l与椭圆 x 1 的212交点为 a，b，点 p 为椭圆上的动点，则使pab 的面积为 的点 p 的个数为_解析：直线 l的方程为 2xy20，所以交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|ab|1255 5，由pa b 的面积为 ，得点 p 到直线 ab 的距离为 ，而平面上到直线 2xy2055的距离为 的点都在直线 2xy10 和 2xy30 上，而直线 2xy10 与椭圆相交，2xy30 与椭圆相离，所以满足题意的点 p 有 2 个答案：2x2 y2a2 b23(2019洛阳市第一次统考)已知短轴的长为 2 的椭圆 e： 1(ab0)，直

15、线n 的32横、纵截距分别为 a，1，且原点 o 到直线 n 的距离为 .(1)求椭圆 e 的方程；2020 年高考文科数学一轮总复习第 8 页 共 10 页 (2)直线 l 经过椭圆 e 的右焦点 f 且与椭圆 e 交于 a，b 两点，若椭圆 e 上存在一点 c满足oa 3ob2oc0，求直线 l 的方程解：(1)因为椭圆 e 的短轴的长为 2，故 b1.x11a232x23依题意设直线 n 的方程为 y1，由 ，解得 a 3，故椭圆 e 的方程为a1y21.(2)设 a(x ，y )，b(x ，y )，c(x ，y )，112233当直线 l 的斜率为 0 时，显然不符合题意当直线 l 的

16、斜率不为 0 或直线 l 的斜率不存在时，f( 2，0)，设直线 l 的方程为 xty2，x23y21，由得(t23)y22 2ty10，xty 2，2 2tt231所以 y y ，y y ，t 3121 22123212322因为oa 3ob2oc0，所以 x x x ，y y y ，又点 c 在椭圆 e 上，31231x23113 23 13 2y222所以 3y2xxy 22312112323 1x x121 2 y2 2 y 1，x x y y 2 31 21 24 34 3x23x231又 1y21， 2y21，所以 x x y y 0，31 2121 2将 x ty 2，x ty

17、2及代入得 t21，即 t1 或 t1.1122故直线 l 的方程为 xy 20 或 xy 20.x2 y2a2 b24(2019辽宁鞍山一中模拟)已知过点 a(0，1)的椭圆 c： 1(ab0)的左、右焦点分别为 f ，f ，b 为椭圆 c 上的任意一点，且 3|bf |，|f f |， 3|bf |成等差数列121122(1)求椭圆 c 的标准方程；(2)直线 l：yk(x2)交椭圆 c 于 p，q 两点，若点 a 始终在以 pq 为直径的圆外，求实数 k 的取值范围解：(1)因为 3|bf |，|f f |， 3|bf |成等差数列，所以 2|f f | 3|bf | 3|bf | 311221212(|bf |bf |)，1232x y22由椭圆定义得 22c 32a，所以 c a.又椭圆 c： 1(ab0)过点 a(0，1)，a b222020 年高考文科数学一轮总复习第 9 页 共 10 页 3所以 b1，所以 c a b a 1 a ，222224得 a2，c 3.x2所以椭圆 c 的标准方程为 y 1.24yk（x2），(2)设 p(x ，y )，q(x ，y )，联立方程得消x21122 ，y2 14去 y 得，(14k )x 16k x16k 40.2222因为直线 l：yk(x2)恒过点(2，0)，且此点为