常用的一些矢量运算公式

1、1.三重标量积 如a , b和c是三个矢量，组合 a 叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。 在直角坐标系中，设坐标轴向的二个单位矢量标记为 i j ka ，令三个矢量的分量记为 a1，a2，a3，b bl，b2，b3 及 c 5 55 贝贿 a b ?c rr r ijk r rr c1c2c3 ? 8 c2 jCsk 因此，三重标量积必有如下关系式：a b ?c bc?a ca?b即有循环法则成立, 这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合, 其结果相等。 2.三重矢量积 如a , b和c是三个矢量，组合a 叫做他们的三重标量积，因有 a (b c

2、) a (C b) (c b) a 故有中心法则成立， 这就是说只有改变中间矢量时, 三重标量积符号才改变。 二重标量积有 一个重要的性质(证略) a (b c) (a?b)c a?c b (1-209 ) 将矢量作重新排列又有: a b?c b?a c (1-210 ) a 3.算子() a 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。()则是一个标量算子，将它作用于标量 ，即 (a )aadr 是在方向的变化速率的倍。如以无穷小的位置矢量代替以上矢量 a ，则 r (dr )是在位移方向dr 的变化率的 dr倍，即d。 (dr ) dr (dr )v 作用于矢量 r dv dr v 的全微分 若将 则

3、(dr )V就是 vdrdr 再位移方向变化率的倍，既为速度矢量 1-209 in bo uu ao (b )a (a )b b( ?a) a( ?b) 应用二重矢量积公式（ 1-210 )又有 a?b ao ?b r uu a?bo b) (a )b a)( ?b)a 将以上两式结合（相减）后可得 (a )b 1 2 a) b) b( ?a) a( ?b) a 一个重要的特例，令 b v ，因 0则有(V )V v2 (v) 4.算子的应用 r b ra; 为并矢量，则有 a) ao a)r o a a ?) c arb) 2 ， r?a) r b 7 r a 在直角坐标中，令 a iax

4、jay kaz ax x rr r ijk ay az axQyaz ?( x2 z2 a ax x ayG az 对一组正交曲线坐标系 ur Rh|d .e.h2d2e 1, 2, 3其单位矢量 （pp w Bappwpp pii pi2 pi3 则张量 可用9个张量元素来定义，可写成如下的矩阵形式 p21 p22 p23 p31 p32 p33 或写成张量的九项式: iiijPij,i, j 1,2,3 如p11 p12 p131,Pj 0(i j)，则为单位张量 如果张两分两满足条件 PijPji ，则这个张量叫对称张量。如果张两分两满足条件 BiPii J J，则这个张量叫反对称张量。

5、 若将张量的分量 pj与S互易位置后的张量，则 Pl1 P21 p31 称该张量的共轭张量，并以 表示: Pl2 p22 p32 pi3 p23 p33 3.并失 为区别 r r a ii 两个矢量的点乘， ur i2a2 u rr i 3a3，bi1b1 可 u u i 2b2i 3b3 r rr r aba;b 两个矢量的并失 写成。令 ,则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为 r r ab a;b a1b1a1b2a1b3 asbiasdasd ，并失为二阶张量。必须注意，并失 a;b与b;a是不同的 biaib1a2b1a3 b2aib2a2b?a3 b; a b； aa； b b3a1b

6、3a2b3a3 ，由此可见是并失的共轭张量。 a2 a3 x1x1x1 grad a ；a a1- a?a3 矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量： X2 x2x2 a1 a2 a3 X3 X3X3 da1dx1 dx2 dXs X2 X3 rr a(r) a(X1,x?,X3) da2dx1 -a2 dx2 -a2 dx3 考虑矢量的无穷小增量，因 X1 X2 X3 da3 旦 -a3 dx2 皀dx3 X1 X2 X3 a1 a?a3 r X x1x-i r r da / dr 尊 a1 a? a3 故为具有九个分量的二阶张量 d r X2X2X2 a1a2a3 X3X3X3 r r

7、r r da da/d r dr 因可将表示为 张量 与 矢量 的点乘 r da rr rr r d a r ?d r d r ? grad a d r( ; a) d r 应用并失运算法则又有da dr?( ；a) (dr )；a (dr )a 对标量函数(r)类似的有d dr? grad dr? 并失运算服从如下四个运算法则 (1)结合律法则 a;b;c (a;b);c a；(b； c)连续的并失积可以任何方式加上括号而不改 变结果。 (2)标量率法则 a;b ( a);b (a；b)标量 在并失运算中可以提到任何一个位置。 (3)缩并率法则 两个矢量点乘为一个标量，一个并失(张量)与一个

8、矢量点乘则为一个矢 量，表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个过程叫做缩并。如利用结合率和标量律 后，可知并失与矢量的点乘后为一矢量: (a;b)?ca;( b?c) (b ?c)a 如利用标量律后， 可知两个 并失点乘后仍未 (a;b)?(c;d)a;(b?c);d(b?c)(a; d) 、丄“ a;(b c) a;b a;c (4)分配律法则八 4.张量的梯度，散度和格林定理 零阶张量(标量)的梯度是矢量，一阶张量(矢量) 的梯度是二阶张量，一次类推，二阶 张量的梯度必为三阶张量。 设A是二阶张量，其分量 Aj(宀沁)，定义 Aj Xk Aj,k表示Aj对Xk求偏导数。 梯度符号是一矢

9、量算子, ur grad A MX2X3 Xk k 12 3 故张量A的梯 gradA A Aij Aij,k 度可写为 i, j 1,2,3, k 张量A的梯度具有 27个分量的量，即3个分量, 1,2,3 属于三阶张量。 一阶张量(矢量)的散度是一个标量，二阶张量的散度将是一个矢量。散度的定义为 divA ?A Aj AI1 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 k X1 X2 X3， X1 X2 X3， X1 X2 X3 hr , hfe时，二阶张量的散度和变形率张量分量 在正交坐标系 (1, 2, 3)中，拉美系数为 Dj divA ?A k i Add hi2h2h3 j :Ak lnhk i hih2h3 hih|h3 j A1k Ak D12 D12 h2/ V2 h3 ( V3)h2 h22 h3h33 (- h11h2 h (v1) h3 v31 (),D11 1v1 v2 h1 v3 h1 h3 3 h1 h1 1 h3 2 0 1 h1h2 2 h30 3 1 v v3 h2 v1 h2 1 f1 D33 v