江南中学初中数学竞赛题20124-5

1、江南中学初中数学竞赛题2012.4班级姓名成绩一、选择题(每小题7分，共42分)1. 设、3 x 2、36 x y 、z，且 x、y、z 为有理数.则 xyz=().(A) 3 / 4(B)5 / 6(C)7 /12(D)13 /182. 某次数学测验共有 20道题.评分标准规定：每答对一题得5分，不答得0分，答错得-2分.已知这次测验中小强与小刚的累 计得分相等，分数是质数.则小强与小刚答题的情况是().(A)两人答对的题数一样多(B)两人答对的题数相差 2(C)两人答对的题数相差 4(D)以上三种情况都有可能3. 能判定四边形 ABCD是菱形的条件是().(A) 对角线 AC平分对角线 B

2、D，且AC丄BD(B) 对角线 AC平分对角线 BD，且/ A= / C(C) 对角线AC平分对角线 BD，且平分/ A、/ C(D) 对角线 AC平分/ A、/ C,且/ A= / C4. 已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与直线 y=k(x-1)-k24.无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点.那么，抛物线的解析式是().(A)y= x2(B)y=x2-2x(C)y=x2-2x+1 (D)y=2x2-4x+25.如图，在厶ABC中，/ B为直角,/ A的平分线为 AD，边BC上的中线为E,且点D、E顺次分BC成三段的比为1 : 2 : 3.贝U sin/ BAC=( ).(

3、A)12/13(B)4. 3 /9(C)2. 6 /5(D)26.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B ,P是线段AB上一点，PM丄x轴于点M , PN丄y轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为).(A)3(B)4(C)6(D)8二、填空题侮小题7分，共28分)7.正方形ABCD的边长为5,E为边BC上一点，使得BE=3 ,P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB=8.一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5 000 km后报废；若安装在后轮，则行驶3 000 km后报废.如果行驶一定路程后交 换前、后轮胎，使一对新轮胎

4、同时报废，那么，最多可行驶 km.9.已知方程x2+x-仁0的两个根为a、333.则的值为.OM=10 cm , l 是过距离始终相等.1分是 cm.10. 如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，点O的铅直直线.现有一只蚂蚁 P在秒针OM上爬行，蚂蚁 P到点O的距离与M到I的 钟的时间内，蚂蚁 P被秒针OM携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程 )三.解答题11. (18分)某公司用 480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1 520 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现 :该产品的

5、销售单价定在 100元到 00 元之间较为合理 .当销售单价定为 100元时，年销售量为 20万件;当销售单价超过 100元，但不超过 200 元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少 0.8万件;当销售单价超过 200元，但不超过 300元时，每件产品的销售价格每增加 10 元，年销售量将减少 1 万件设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元).(1) 直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 .(2) 求第一年的年获利 w 与 x 之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损?若赢利，最大利润是多少 ?若亏损，最少亏损是多少 ?(3) 该公司希望

6、到第二年底，两年的总赢利不低于1 842 万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元 ?12. (16 分)已知二次函数 y=x 2+2mx-n 2.(1) 若此二次函数的图像经过点(1, 1)，且记m, n+4两数中较大者为 P,试求P的最小值；(2) 若 m、n 变化时， 这些函数的图像是不同的抛物线， 如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点， 则过这三个交点作圆，证明 :这些圆都经过同一定点,并求出该定点的坐标.13. （16分）实数x、y、z、w满足x y z w昌且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w 的最大值和最小值参考答案

7、1.A.两边平方得 3+ 2 + 3+6 =x+y+z+2 . xy +2 yz +2”;：xz .根据有理数x、y、z的对称性，可考虑方程组x+y+z=3,2 xy =. 2 ,2 yz= 3 ,2 xz = . 6 .解得 x=1,y=1 /2,z=3/2此时,xyz=3/4.2. D.根据题意，依次枚举答对 20道题、19道题、的各种可能发现：(1)小强与小刚可能都答对 17题、答错1题、未答其余2题同得83分；小刚与小强可能同得 53分，不过一人答对 13题、答错6题、1题未答，另一人答对11题、答错1题、其余各题未答小刚与小强也可能同得 23分，其中一人答对 9题，其余各题答错，另一

8、人答对5题、答错1题、其余各题未答.3. D.如图4, AC平分BD , AC丄BD , AC也平分/ A和/ C,故可排除选项出四边形ABCD是平行四边形，故排除选项 (B).4. C.由 y=ax2+bx+c,y=k(x_1)_ k2/4 得ax2+(b-k)x+c+k+ k2/4=0. 由题设知，方程有两个相等的实根，则厶=(b-k) 2-4a( c+k+ k2/4)=0,即(1-a) k2-2(2a+b)k+ b2-4ac=0.因为k为任意实数，所以，抛物线的解析式为 y=x2-2x+1.5. C.设 BD=x , AB=y，贝U DE=2x , EC=3x.由 BD/DC=AB/AC

9、 ，得 AC=5y.又 AB2+BC2=AC2, 即卩y2+(6x)2=(5y)2.所以，x2=2y2/3, sin / BAC=6x/5y=2.6/5.6. C.设点P的坐标为(xo, y0)，矩形OMPN的面积为S.则xoO , y00 , S=xoyO.因为点 P(xo, y0)在 y=2kx+3-4k 上，所以，yo=2kxo+3-4k.故 S=xo(2kx 0+3-4k)=2kx 2o+(3-4k)x 0.2因此，S 最大= 0_ (3 _4k)，即 16k2-(24-8S 最大)k+9=0.4 2k因为k为实数，则有 =-(24-8S最大)2-4X 16X 9芳故J24-8S最大|

10、 24.解得 S最大 或S 最大 W 0舍去).当S最大=6时，k=-3/4.7. 15 2 /8.因为PE+PC=PE+PA，所以，当 A、P、E三点共线时，PE+PA最小.如图，建立直角坐标系，设B为坐标原点，BA为x轴.则lBD：y=x ,lAE：3x+5y=15.所以，P(15/8, 15/8).故 PB=15 一 2 18.8. 3 750.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶的磨损量为k/3 000.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有kxky50003000kxky30005000k.两式相加

11、得 x+y=3 750 (kmk9. .-7.3令A=333-,B=a 2+ 3 2就是分别以 OQ1、OQ2为直径的过O作I的垂线交O O于点Q1、所以， OMN Q1OP.故 /78万元.由已知有a +3=1, a3-=.故 B=( a + 3 )2-2 a3 =1+2=3. A+B=)=( a 3+ 3 3)(1/ a +1/ 3 )=-4. 由式、得A=-4-3=-7.10. 20 n.如图，以点 O为圆心、10 cm为半径作O O.过M作MN丄I于点N ,Q2.联结 PQ1.贝U MN / OQ1, / M= / MOQ1.又因 OM=OQ 1, MN=OP , OPQ1= / ON

12、M=90 .因此，点P在以OQ1为直径的圆上.同理，点P在以OQ2为直径的圆上.从而，蚂蚁P在1分钟的时间内被秒针 OM携带的过程中移动的轨迹 两个圆.移动的路程为 2X 10Xn =20n.211、(1)y=-x+28,100 w x 200;251y=-x+32,200xw 300.10(2)当 100 w xw 200 时，w=xy-40y-(1 520+480).222将 y=-x+28 代入式得 w=x(-x+28)-40(-x+28)-2 000.2525252整理得 w=-(x-195)2-78.25当200x w 300时，同理可得1 2w=-(x-180) 2-40.102故

13、 w=-(x-195)2-78 ,100w xw 200;25w=-(x-180) 2-40,200x w 300.10若 100w x w 200,当 x=195 时，Wmax=-78；若200x w 300时，Wmax-80.故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为(3) 依题意可知，第二年 w与x之间的函数关系式为2w=(-x+28)(x-40) , 100w xw 200;251w= (-x+32)(x-40) ,200x w 300.10一 2当两年总利润刚好为 1 842万兀时，依题意得(-x+28)(x-40)-78=1 842 ,25100w xw 200或 (-110x+32)(x-40)-78=1 842 , 200 4;P=n+4,-2 n4.再利用函数图像可知，当 n=-2时，Pmin=2.(2)图像与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A(X1, 0)、B(X2, 0)、C(0，-n2).又X1X2=-n2,若n=0,则与三个交点不符，故 X1X2=-n20 且 x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故 100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=1