曲面及其方程

1、第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 水桶的表面、台灯的罩子、反射镜水桶的表面、台灯的罩子、反射镜 的镜面的镜面 曲面曲面: :空间中满足一定空间中满足一定条件的动点的轨迹条件的动点的轨迹 曲面的方程曲面的方程 曲面的实例曲面的实例 一、曲面的方程一、曲面的方程 有下述关系：有下述关系： 下面给出几个常见的曲面下面给出几个常见的曲面. 解解 rmm | 0 根据题意有根据题意有 rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 22 0 2 0 2 0 rzzyyxx 特别，球心在原点时方程为特别，球心在原点时方程为 2222 rzyx 这就是球面上的点的坐标所满足的方程这就是球面上的点的坐标所满足的

2、方程 反过来，反过来， （1） 一定在球面上。一定在球面上。),(zyx满足方程（满足方程（1）的点）的点 方程方程(1)就是球心在点就是球心在点 半径为半径为 的球面方程的球面方程. ),( 000 zyx r 解解 设设),(zyxm是曲面上任一点，是曲面上任一点， 2 1 | | 0 mm mo 根据题意有根据题意有 2 1 432 222 222 zyx zyx 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 zyx 这就是所求曲面的方程。这就是所求曲面的方程。 例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(a，)4 , 1, 2( b，求线段，求线段ab的的 垂直平分面的方程垂直平分面的方

3、程. 设设),(zyxm是是所所求求平平面面上上任任一一点点， 根据题意有根据题意有 | |mbma 2 22 321 zyx 这就是所求垂直平分面的方程。这就是所求垂直平分面的方程。 07262 zyx 解解 2 22 412 zyx 即即 因此，关于空间曲面，就需要研究下面的因此，关于空间曲面，就需要研究下面的 两个基本问题两个基本问题： （讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面） （1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面的方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面的方程 以上几例表明：以上几例表明： 反过来，反过来， 作为空间中动点的轨迹的曲面，可以用它上面

4、的点的作为空间中动点的轨迹的曲面，可以用它上面的点的 坐标坐标 所满足的方程所满足的方程 来表示；来表示；),(zyx 0),( zyxf 通常也表示一个曲面。通常也表示一个曲面。 满足的方程满足的方程 zyx, 0),( zyxf 变量变量 （2 2）已知变量）已知变量 的方程，研究这方程所表示的方程，研究这方程所表示 的曲面的形状的曲面的形状 zyx, 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义定义 以一条平面曲线绕其所在平面内的一条以一条平面曲线绕其所在平面内的一条 定直线旋转一周而得的曲面称为旋转曲面定直线旋转一周而得的曲面称为旋转曲面. . 这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴 曲线

5、曲线 c : 0 0),( x zyf c y z o 绕绕 z 轴轴 旋转曲的方程 曲线曲线 c : 0 0),( x zyf x c y z o 绕绕 z 轴轴 . 旋转曲的方程 曲线曲线 c : 0 0),( x zyf 旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 s cs m n), 0( 11 zy zz 1 z p mpy | 1 1 y 1 z y z o 绕绕 z 轴轴 . 22 yx f ( y1, z1)=0 m(x,y,z) 旋转曲的方程 . x s 曲线曲线 c : 0 0),( x zyf 旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 s x cs m n ), 0( 11 zy

6、zz 1 z p mpy | 1 1 y 1 z 0),( 22 zyxf . 绕绕 z 轴轴 . . 22 yx m(x,y,z) f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0 旋转曲的方程 y z o s 22 1 yxy ：s . 0, 22 zxyf 同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 c: :0),( zyf 绕绕y轴旋转一周轴旋转一周而得而得的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz 圆锥面方程圆锥面方程 cot 22 yxz 例例 4 4 直线直线l绕另一条与绕另一条与l相交的直线旋转一周，相交的直线旋转一周，

7、所得旋转曲面叫所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫圆锥面的两直线的交点叫圆锥面的 顶点顶点，两直线的夹角，两直线的夹角 p p 2 0 叫圆锥面的叫圆锥面的半顶半顶 角角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶轴，半顶 角为角为 的圆锥面方程的圆锥面方程 o x z y 例例5 5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程 1 2 2 2 22 b y a zx （1）双曲线）双曲线1 2 2 2 2 b y a x 分别绕分别绕y轴和轴和x轴；轴； 旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面 1 2 2

8、2 2 2 b zy a x 旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面 a x y o 双曲线双曲线 绕绕 y 轴一周轴一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x a x y o z 双曲线双曲线 绕绕 y 轴一周轴一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x a x y o z 旋旋转转单单叶叶双双曲曲面面: :得得 1 2 2 2 22 b y a zx . 双曲线双曲线 绕绕 y 轴一周轴一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x x 0 y z b y a x 双曲线双曲线 绕绕 x 轴一周轴一周 x 0 z y z b y a x 双曲线双曲线 绕绕 x 轴一周轴一周 x 0 z

9、 y 旋旋转转双双叶叶双双曲曲面面: :得得 1 2 22 2 2 b zy a x . z b y a x 双曲线双曲线 . 绕绕 x 轴一周轴一周 2 2 2 2 a y a x z 旋转抛物面旋转抛物面 （2）抛物线）抛物线绕绕z轴；轴； 0 2 2 x a y z 得：得： y o z 0 2 2 x a y z 抛物线抛物线 绕绕 z 轴一周轴一周 y 2 2 2 2 a y a x z . o x z 生活中同学们见过这个曲面吗？生活中同学们见过这个曲面吗？ . 0 2 2 x a y z 抛物线抛物线 绕绕 z 轴一周轴一周 得得: 旋转抛物面旋转抛物面 . 定义定义 三、柱面三

10、、柱面 平行于一条定直线并沿定曲线平行于一条定直线并沿定曲线 移动的动直线移动的动直线 所形成的轨迹称为柱面所形成的轨迹称为柱面. . cl 这条定曲线这条定曲线 叫该柱面的叫该柱面的准线准线，动直线，动直线 叫该柱面叫该柱面 的的母线母线. cl 方程方程 222 ryx 表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？ 圆柱面圆柱面 母线母线 准线准线 柱面柱面s l l c 柱面举例柱面举例 x o z y x o z y 2 xy 抛物柱面抛物柱面 xy 平面平面 从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 实实 例例 1 2 2 2 2 c z b y 椭圆柱面椭圆柱面 母线母线 / 轴轴x 1

11、 2 2 2 2 b y a x 双曲柱面双曲柱面 母线母线/ 轴轴 z z a x 2 2 抛物柱面抛物柱面 母线母线/ 轴轴y （其它类推）（其它类推） 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),( yxf，在，在 空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，轴的柱面， 其准线为其准线为xoy面上曲线面上曲线c. 二次曲面的定义：二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 相应地，平面被称为相应地，平面被称为一次曲面一次曲面 四、二次曲面四、二次曲面 二次曲面有二次曲面有9 9种，种， 适当选取空间直角坐标系，适当

12、选取空间直角坐标系， 可得它们的标准方程可得它们的标准方程. . （一）椭圆锥面（一）椭圆锥面 2 2 2 2 2 z b y a x 用垂直于用垂直于z轴的平面轴的平面tz 去截椭圆锥面，去截椭圆锥面， 得交线：得交线： tz z b y a x 2 2 2 2 2 tz t b y a x 2 2 2 2 2 它是什么曲线？它是什么曲线？ 1.截痕法截痕法 用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察 其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，其交线（即截痕）的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌从而了解曲面的全貌 即即 交线为交线为时时,0 t 0 0 2 2

13、 2 2 z b y a x )0 , 0 , 0(:点点即即 tz bt y at x 1 )()( 2 2 2 2 交线可化为交线可化为时时,0 t 它表示：它表示：,上的一个椭圆上的一个椭圆平面平面tz |,|:tbta半轴分别为半轴分别为 ), 0 , 0(:t中心为中心为 变变化化时时，当当t 椭椭圆圆。一一族族长长短短轴轴比比例例不不变变的的 时时，由由大大到到小小最最后后变变为为当当0|t .,最最后后缩缩为为一一点点这这族族椭椭圆圆也也由由大大变变小小 综上讨论，综上讨论， 我们得到椭圆锥面的形状。我们得到椭圆锥面的形状。 它们是：它们是： x y z 2 2 2 2 2 z

14、b y a x 2.伸缩变形法伸缩变形法先介绍先介绍 xoy 面上的伸缩变形法面上的伸缩变形法: ),( ),(yxmyxmxoy 变为变为面上，把点面上，把点在在,从而从而, , ),( ),(cyxmcyxm的轨迹的轨迹变为点变为点的轨迹的轨迹将点将点 .cyc倍倍变变成成图图形形轴轴方方向向伸伸缩缩沿沿称称为为把把图图形形 ，的方程为的方程为若曲线若曲线0),( yxfc,),( 11 cyxm 点点 ),( 22 yxmm变为点变为点点点 12 12 yy xx 则则 2 1 21 y y xx 即即 cyxm ),( 11 点点 0),( 11 yxf 0),( 2 2 y xf即即

15、的方程为的方程为的轨迹的轨迹点点),( 22 cyxm 0),( y xf 例如：例如：, 222 倍倍轴轴方方向向伸伸缩缩沿沿把把圆圆 a b yayx 就变为就变为 ) ( 222 a a b y x 1 2 22 2 b y a x 即椭圆即椭圆 x y a b a o 类似地：类似地： , 2 2 22 倍倍轴轴方方向向伸伸缩缩沿沿把把空空间间图图形形 a b yz a yx 就变为就变为 ) ( 1 222 2 z a b y x a 2 2 22 2 z b y a x 即即 圆锥面圆锥面 椭圆锥面椭圆锥面 （二）椭球面（二）椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a

16、x 面面上上的的椭椭圆圆把把xoz1 2 2 2 2 c z a x 绕绕 z 轴旋转，轴旋转， 所得曲面称为旋转椭球面所得曲面称为旋转椭球面, 其方程为其方程为: 1 ) ( 2 2 2 2 c z a 22 yx 即即 1 2 2 2 22 c z a yx 旋转椭球面旋转椭球面 再把旋转椭球面沿再把旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩轴方向伸缩 a b 倍倍, 所得所得 曲面为曲面为: 1 ) ( 2 2 2 2 2 c z a x y a b 1 即即 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 椭球面椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x a b c y x z

17、o , 时时cba 1 2 2 2 2 2 2 a z a y a x 球面球面 . 2222 azyx 即即 a a a y x z o （三）单叶双曲面（三）单叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 方程：方程： 面面上上的的双双曲曲线线把把xoz1 2 2 2 2 c z a x 绕绕 z 轴旋转，轴旋转， 得旋转单叶双曲面，得旋转单叶双曲面， 其方程为其方程为: 1 ) ( 2 2 2 2 c z a 22 yx 即即 1 2 2 2 22 c z a yx 再把旋转单叶双曲面沿再把旋转单叶双曲面沿 y 轴方向伸缩轴方向伸缩 a b 倍倍, 所得所得 曲面为曲面为

18、: 1 ) ( 2 2 2 2 2 c z a x y a b 1 即即 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 单叶双曲面单叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x . b a y x z o 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x (四四)、双叶双曲面、双叶双曲面 方程：方程： 面面上上的的双双曲曲线线把把xoz1 2 2 2 2 c z a x 绕绕 x 轴旋转，轴旋转， 得旋转双叶双曲面，得旋转双叶双曲面， 其方程为其方程为: 1 ) ( 2 2 2 2 ca x 22 zy 即即 1 2 22 2 2 c zy a x 再把旋转双叶双曲面沿

19、再把旋转双叶双曲面沿 y 轴方向伸缩轴方向伸缩 c b 倍倍, 所得所得 曲面为曲面为: 1 ) ( 2 22 2 2 c z a x y c b 1 即即 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 双叶双曲面双叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 双叶双曲面双叶双曲面 y z o x - a a （五）椭圆抛物面（五）椭圆抛物面 方程：方程： 面面上上的的抛抛物物线线把把xoz z a x 2 2 绕绕 z 轴旋转，轴旋转， 得旋转抛物面，得旋转抛物面，其方程为其方程为: z a 2 2 ) ( 22 yx 即即 z a yx 2 22 z b y a x 2 2 2 2 旋转抛物面旋转抛物面 再把旋转抛物面沿再把旋转抛物面沿 y 轴方向伸缩轴方向伸缩 a b 倍倍, 所得所得 曲面为曲面为: z a x 2 2 2 ) ( y a b 1 即即 z b y a x 2 2 2 2 椭圆抛物面椭圆抛物面 x z y 0 . z b y a x 2 2 2 2 椭圆抛物面椭圆抛物面 z b y a x 2 2 2 2 （马鞍面）（马鞍面）（六）双曲抛物面（六）双曲抛物面 方程：