高等数学求导公式

1、I.基本函数的导数01.；02.；03.；04.；05.；06.；07.；08.；09.；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.。II.和、差、积、商的导数01.；02.；03.；04.。III复合函数的导数若，则或 。l 计算极限时常用的等价无穷小 l 两个重要极限: l 若 ，则 l 罗尔定理：若在上连续，在内可导，且，则存在一，使。l 拉格朗日中值定理：若在上连续，在内可导，则存在一，使得。l 柯西中值定理：若、在上连续，在内可导，且则存在一，使得，则。l 罗必达法则：若（1），（2）及在（或）处存在，且，（3）存在（或），则。l 泰勒公式： 其中： ,。l 马克劳林公式

2、： 其中：,。1. 2. 3. 4. 5. 6. l 驻点：导数为零的点拐点：，则称在上是凸的，则称在上是凹的，若曲线在两旁改变凹凸性，则称为曲线的拐点。l 凹凸性判断（充分条件）：设存在，若时，则曲线是为凸的，若时，则曲线是为凹的。设曲线方程，具有二阶导数，则函数在的曲率为：（工程中，若时，）。基本积分公式： ； * * * * *l 基本积分方法1换元法：（1）设具有原函数，而可导，则有：；（2）设在区间上单调可导，且，又设具有原函数，则有：。2分布积分法： 3.有理函数积分： 4.万能代换（三角函数的有理式的积分）：设，则，。l 。l 定积分中值定理： 。l 定理：如果函数在区间上连续，

3、则积分上限的函数 在上具有导数，并且它的导数是 l 定积分换元公式： ， 。l l 定积分的分步积分： l 弧长计算公式： ; ，;，。向量代数l 定比分点公式：。l 数量积： ， 。l 向量积： 。l 平面 平面的一般方程：（向量为平面法向量）。 平面点法式方程：。 平面的截距式方程：（为平面在三个坐标轴上的截距）。 两个平面的夹角：两个平面方程为：平面：，平面：，则两平面的夹角的余弦为：。 两平面平行的条件： 。 两平面垂直的条件： 。 点到平面的距离：平面：，平面外一点：，则点M到平面的距离：。l 空间直线 两个平面的交线：。 点向式方程：直线上的一点，直线的一个向量，则直线方程为：，参

4、数方程为： 两直线的夹角：，则两直线的夹角余弦为：。两直线平行：，两直线垂直：， 两直线共面（平行或相交）：两直线：，共面的条件：。 直线与平面的夹角平面： ，直线：若直线与平面相交，夹角：；若直线与平面平行：；若直线与平面垂直：。l 多元函数微积分1.方向导数： （为轴到方向的转角）2.梯度： 3.二元函数的极值：，。令，。当时具有极值，且当时具有极大值，当具有极小值；当时没有极值；当时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨论。3.二重积分的计算4.曲面的面积计算： 平面薄片的重心： 平面薄片的转动惯量： 5.三重积分的计算：l 曲线积分和曲面积分1.对弧长的曲线积分： 2.对坐标的曲线积分

5、： 3.对曲面的积分：4.对坐标的曲面积分：l 无穷级数 收敛级数的基本性质：1.如果级数收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛，且其和为。2.如果级数、分别收敛于和、，则级数也收敛，且其和为。3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。4.如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数仍收敛，且其和不变。5.（级数收敛的必要条件）如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即。 常数项级数的审敛法：定理1.正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。定理2（比较审敛法）.设和都是正项级数，且。若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散。推论1.设和都是正项

6、级数，如果级数收敛，且存在自然数，使当时有成立，则级数收敛；如果级数发散，且当时有成立，则级数发散。推论2. 设为正项级数，如果有，使，则级数收敛；如果，则级数发散。定理3（比较审敛法的极限形式）. 设和都是正项级数，如果，则级数和级数同时收敛或同时发散。定理4（比值审敛法，达朗贝尔（DAlembert）判别法）.若正项级数的后项于前项之比值的极限等于：，则当时级数收敛；（或）时级数发散；时级数可能收敛也可能发散。定理5（根值审敛法，柯西判别法）. 设为正项级数，如果它的一般项的次根的极限等于：，则当时级数收敛；（或）时级数发散；时级数可能收敛也可能发散。定理6（莱布尼茨定理）.如果交错级数满

7、足条件：（1），（2），则级数收敛，且其和，其余项的绝对值。定理7.如果级数绝对收敛，则级数必定收敛。 幂级数定理1（阿贝尔（Abel）定理）.如果级数当时收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛；反之，如果级数当时发散，则适合不等式的一切使这幂级数发散。推论：如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数存在，使得：当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当与时，幂级数可能收敛也可能发散。定理2.如果，其中、是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径性质1. 设幂级数的收敛半径，则其和函数在区间内连续。如果幂级数在（或）也收敛，则和函数在（或）连续。性质

8、2.设幂级数的收敛半径，则其和函数在区间内是可导的，且有逐项求导公式，其中，逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。性质3.设幂级数的收敛半径，则其和函数在区间内是可积的，且有逐项积分公式,其中，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。l 欧拉公式： l 傅立叶级数 函数展开成傅里叶级数 （是周期为的周期函数）其中：定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设是周期为的周期函数，如果它满足：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则的傅里叶级数收敛，并且：当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于。定理. 设是周期为的函数，在一个周期上可积，则（1）当为奇函