2020年同步优化探究理数(北师大版)练习：第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析.doc

1、 课时作业 A组一一基础对点练 1 已知点 A(0,1), B(3,2),向量AC= ( 4, 3),则向量 BC=() A ( 7, 4)B. (7,4) C. ( 1,4)D . (1,4) 解析：设 C(x, y),则AC= (x, y 1) = ( 4, 3), x= 4, 所以 从而BC= ( 4, 2) (3,2)= ( 7, 4). 尸2, 故选A. 答案：A 2. 已知向量a=(2,4),b=(1,1),贝U2ab=() A. (5,7)B. (5,9) C. (3,7)D. (3,9) 解析：由 a= (2,4)知 2a= (4,8),所以 2a b= (4,8) ( 1,

2、1)= (5,7).故选 A. 答案：A 3. 设向量a= (2,4)与向量b= (x,6)共线，则实数x=() A. 2B. 3 C. 4D. 6 解析：由向量a= (2,4)与向量b= (x,6)共线，可得4x= 2x6,解得x= 3. 答案：B 4. 已知向量 a= (2,3), b= (1,2),若(ma+ nb)/ (a 2b)，则m等于() B. 2 解析：由题意得 ma+ nb= (2m n,3m+ 2n), a 2b= (4, 1),v (ma+ nb) / (a 2b), (2m n) 4(3m+ 2n) = 0. 答案：C 5. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E,

3、使得DE = CD，若点P为CD C. 2D. 1 解析：由题意，设正方形的边长为1,建立直角坐标系如图, 则 B(1,0), E(- 1,1), AB= (1,0),(- 1,1), aP= ?aB+ (jAE=(入一仏”, 又 P为CD的中点， 1 -辰 q 1), 匕 |, 5 |, 答案：B 6. 已知向量 a= (m,4), b= (3,4),且 a/ b,贝U m=. 解析：由题意得，4m 12= 0,所以m= 3. 答案：3 7. 设向量 a= (m,1), b= (1,2), 且|a+ bf= |af+ |b|2，则 m=解析：由 |a+ b|2= |a|2+ |b|2得 a丄

4、b,则 m+ 2= 0,所以 m= 2. 答案：2 8. 已知向量 a= (m,n ),b= (1, 2),若 |a| = 2.5,a=入 b 0),则 m n=. 解析：T a= (m, n), b= (1， 2),二由 |a|= 2 5, a= X b0),得 m2 + n2= 20 m0, ，联立，解得 m= 2, n= 4.：m n= 6. -2m n= 0 答案：6 9. 设两个非零向量ei和e2不共线. (1) 如果 AB = ei e2, BC = 3ei + 2e?, CD = 8ei 2e2, 求证：A, C, D三点共线； (2) 如果AB = ei + e2, BC =

5、2ei 3e2, CD = 2ei ke2,且 A, C, D 三点共线，求 k 的值. 解析：(1)证明：T AB = e1 e2, BC= 3ei + 2e2, CD = 8e1 2e2, AC= AB+ BC= 4e1 + e2 =2 8e1 2es)= qCD, AC与 CD 共线. 又tAC与CD有公共点C,A A, C, D三点共线. (2)AC = AB+ BC= (e1+ e2)+ (2e1 3e2)= 3e1 2e2. t A, C, D三点共线， AC与CD共线，从而存在实数 入使得AC= XD, 即 3e1 2e2 = X2ei ke2), 得 3 = 2 X3 4 I

6、2= Xk 解得 X=3, k=3. 10. 已知 A(1,1), B(3, 1), C(a, b). (1)若A, B, C三点共线，求a, b的关系式; 若AC=2AB,求点c的坐标. 解析：由已知得 AB= (2,- 2), aC= (a 1, b 1). A, B, C 三点共线，二 AB/ AC. 2(b 1) + 2(a 1) = 0，即 a+ b=2. v AC = 2AB,a (a 1, b 1)= 2X (2, 2). a 1= 4, : b 1 = 4, 解得严5 g 3, 点C的坐标为(5, 3). B组一一能力提升练 1.已知 ABC的三个顶点A, B, C的坐标分别为

7、(0,1), (.2, 0), (0, 2), O 为坐标原点，动点P满足|CP|= 1,则|OA+ &B+ OP|的最小值是() A. 3 1B. 11 1 C. .3+ 1D. , 11+ 1 解析：设 P(cos 0, 2 + sin 见 则|OA+ OB+(cos 0+V2)2+(sin 1 )2= .4+ 2 . 2cos 0 2sin 0= ,4+ 2 ； 3cos 0+ 4 2,3= . 3 1. 答案：A 32 2已知向量a= (3, 2), b= (x, y 1),且a / b,若x, y均为正数，则_+的 x y 最小值是() A. 24B. 8 Q,5 Cid.3 解析：

8、v a / b, 2x 3(y 1) = 0, 化简得2x+ 3y= 3,又v x, y均为正数， 3+y= t+f.X 他+3y) =16+ 爭 + 4X+ 6 1x ；12+2 a/!耶8， 当且仅当9y=节时，等号成立. 32 .-+ -的最小值是8.故选B. x y 答案：B 3.已知 AC丄BC, AC= BC, D 满足CD = tCA+ （1 t）CB，若/ ACD = 60 则 t的值为（） B. 3 2 A心 2 C. ,2 1 -J 3 + 1 D. 解析：由题意知D在直线AB上令CA= CB= 1,建立平面直角坐标系，如图, 则B点坐标为(1,0), A点坐标为(0,1)

9、. A J3 令D点的坐标为(x, y),因为/ DCB = 30则直线CD的方程为y=x,易知 直线AB的方程为x+ y= 1,由y 3X, x+ y= 1 得尸专，即t二号故选A. 答案：A 4.在 ABC 中，AB = 3, AC = 2,Z BAC = 60 2 若AP= 3AB+ :AC,则|AP|的取值范围为（） 刃10+ 3弋 A. 2 , 点P是厶ABC内一点(含边界), 3 C. 0, B. 2 , 2, 8 3 解析：因为 AB = 3, AC = 2，/ BAC = 60 所以 AB AC = 3, 又AP= 2忑+ 爪C，所以 |APf= aB2 + 43AB C+ 於

10、AC2= 42?+ 4入+ 4,因为点 P 是厶ABC内一点（含边界），所以点P在线段DE上，其中D , E分别为AB, BC 的三等分点，如图所示，所以ow冶1,所以4w aP|252,所以2 AP|号3 故选D. 答案：D 5. （2018贵阳市检测）如图，在直角梯形 ABCD中，AB丄AD，AB/ DC，AB = 2, 1 AD= DC = 1,图中圆弧所在圆的圆心为点 C,半径为2且点P在图中阴影部分 （包括边界）运动.若AP = xAB+ yBC,其中x,y R,则4xy的最大值为. 解析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0), D(0,1), C

11、(1,1), B(2,0), 直线BD的方程为x+ 2y 2= 0, C到BD的距离d = 圆弧以点C为圆心的圆方程为(x 1)2 + (y 1)2 = 1, 设 P(m, n)则AP= (m, n), AD= (0,1), AB= (2,0), BC= ( 1,1), 若 AP= xAB + yBC, (m, n)= (2x y, y), m= 2x y, n = y, P在圆内或圆上， 2 2 1 (2x y 1)2+ (y 1)2 4 设 4x y = t，贝U y= 4x t，代入上式整理得 80 x2 (48t+ 32)x+ 8t2 + 7 0, 13 设 f(x) = 80 x2

12、(48t + 32)x+ 8t2 + 70, x ?, ?, 解得2t3+中， 故4x y的最大值为3+舟. 答案：3 + 6平面内给定三个向量 a= (3,2), b= ( 1,2), c= (4,1). 求满足a= mb+ nc的实数m, n. 解析：由题意得(3,2)= m( 1,2)+ n(4,1), 所以 m+ 4n= 3, 2m+ n = 2, 5 m= 9, 8 9. 7.已知点 O 为坐标原点，A(0,2), B(4,6), OM = t1OA+ t2AB. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件； 求证：当t1= 1时，不论t2为何实数，A, B, M三点共线. 解析：(1)OM = t1OA+ t2AB= t1 (0,2)+12(4,4) = (4t2,2t1 + 4t2).