练习题(答案)

1、1 一、简答题一、简答题(每小题每小题 5 分分,共共 25 分分) 1、已知、已知 P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(A|B)=0.4，求，求)(BAP。 2、已知随机变量已知随机变量 X)5 , 1 (N,Y,Y)8 , 3(N, ,X、Y 相互独立，相互独立， 求求YXZ23 的均值和方差。的均值和方差。 3、设、设 X 服从服从 b(3,p)分布，分布，52 XZ，求，求 X 与与 Z 的相关系数的相关系数 XZ 。 设总体设总体 X 服从服从 N(0,1)分布，分布， 821 ,.,XXX是来自总体的一个样本，是来自总体的一个样本， 4、 X 服从什么分布服从什么分布？ 5、随

2、机变量随机变量 8 5 2 4 1 2 i i i i X X 服从什么服从什么分布？分布？ 答案答案 答案答案 答案答案 答案答案 答案答案 2 二二、(10 分分) 假假定定某某工工厂厂甲甲、乙乙、丙丙三三个个车车间间生生产产同同一一种种螺螺丝丝钉钉, , 产产量量依依次次占占全全厂厂的的 4 45 5% %、3 35 5% %、2 20 0% %，如如果果各各车车间间的的次次品品率率依依次次为为 4 4% %、2 2% %、5 5% %。 求求：(1)该该工工厂厂生生产产螺螺钉钉的的次次品品率率。 ( (2 2) )现现从从待待出出厂厂的的产产品品中中查查出出 1 1 件件次次品品, ,

3、试试求求它它是是甲甲车车间间生生产产 的的概概率率。 三三、 （12 分分）设设随随机机变变量量(X,Y)的的概概率率密密度度为为 其其它它0 20, 10 4 3 ),( 2 yxxy yxf （1）求求关关于于 X 和和 Y 的的边边缘缘概概率率密密度度)(xf X ，)(yfY。 （2）X、Y 是是否否相相互互独独立立？为为什什么么？ 答案答案 答案答案 3 四四、 （12 分分）设设随随机机变变量量 X 的的概概率率密密度度为为 其其它它0 10)1 (6 )( xxx xf 求求 E(X)和和 D(X). 五五、 （10 分分）某某螺螺丝丝钉钉厂厂的的废废品品率率为为 0.01，一一

4、盒盒装装 100 只只螺螺钉钉。试试用用 中中心心极极限限定定理理估估计计一一盒盒里里至至少少有有一一只只不不合合格格品品的的概概率率是是多多少少？ 95. 0)645. 1( ，5 . 0)0( ，9177. 0)39. 1 ( 。 答案答案 答案答案 4 六、六、 （10 分）分）设总体设总体 X 服从指数分布，服从指数分布，概率密度为概率密度为 00 0 2 1 )( 2 x xe xf x 其中参数其中参数 未知。设未知。设 n XXX,., 21 是来自总体是来自总体 X 的一个样本，的一个样本， 求求 的极大似然估计量的极大似然估计量。 七、七、 （6 分）分）某种疾病患者的存活时

5、间某种疾病患者的存活时间 X（单位：月）是一个随机变量。（单位：月）是一个随机变量。 已知已知 X 近似服从正态分布近似服从正态分布),( 2 N，其中方差，其中方差9 2 ， 未知。未知。 抽查抽查 16 个患者的记录，得到个患者的记录，得到88.13 x，求，求 的置信度为的置信度为 0.95 的的 双侧置信区间。双侧置信区间。附有关分布表：附有关分布表： 95. 0)645. 1( ，975. 0)96. 1 ( ，1315. 2)15(,7459. 1)16( 025. 005. 0 tt 答案答案 答案答案 5 八、八、 （10 分分）某工厂生产的铜丝的折断力某工厂生产的铜丝的折断力

6、(单位单位 N)服从正态分布服从正态分布)64,576(N。 某日随机抽取某日随机抽取 10 根铜丝进行折断力测试，根铜丝进行折断力测试，测得其平均值为测得其平均值为 575.2, 样样 本方差为本方差为 68.2,是否可以认为该日生产的铜丝的折断力是否可以认为该日生产的铜丝的折断力的标准差也是的标准差也是 8N(取取05. 0 )？ 附附: 023.19)9( 2 025. 0 ,919.16)9( 2 05. 0 ,325. 3)9( 2 95. 0 , 7 . 2)9( 2 975. 0 九九、 （5 分分）设设随随机机变变量量 X 与与 Y 相相互互独独立立，其其概概率率密密度度分分别

7、别为为 其其它它0 0 2 1 )( 2 xe xf x X 其其它它0 101 )( y yfY 求求随随机机变变量量 Z=X+Y 的的概概率率密密度度。 答案答案 答案答案 6 1、已知、已知 P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(A|B)=0.4，求，求)(BAP。 解：解：)(BAP)()()(ABPBPAP )|()()()(BAPBPBPAP 4 . 04 . 04 . 06 . 0 0.84 返回返回 7 2、已知随机变量已知随机变量 X)5 , 1 (N,Y,Y)8 , 3(N, ,X、Y 相互独立，相互独立， 求求YXZ23 的均值和方差。的均值和方差。 解：有已知可得解：

8、有已知可得 E(X)=1,D(X)=5; E(Y)=3,D(Y)=8; 所以所以)(2)(3)(YEXEZE =31233 )()2()(3)( 22 YDXDZD 95+4877 返回返回 8 3、设设 X 服服从从 b(3,p)分分布布，52 XZ，求求 X 与与 Z 的的相相关关系系数数 XZ 。 解解：因因为为52 XZ，Z 与与 X 具具备备线线性性关关系系，且且线线性性系系数数为为2 所所以以 X 与与 Z 的的相相关关系系数数为为1。 返回返回 另解：另解：相关系数相关系数 DZDX EZEXEXZ pXZ pEX3 ，)1(3ppDX ， 5652 pEXEZ， )1(1204

9、ppDXDZ ， ppEXEXDXEXEXXEXEXZ9125)( 252)52( 222 1 )1(6 66 )1(12)1(3 )56(3912 22 pp pp pppp pppp DZDX EZEXEXZ pXZ 9 设总体设总体 X 服从服从 N(0,1)分布，分布， 821 ,.,XXX是来自总体的一个样本，是来自总体的一个样本， 4、 X 服从什么分布服从什么分布？ 解：解： 8 1 8 1 i i XX， 由正态随机变量性质可知， 由正态随机变量性质可知 X 服从服从正态正态分布分布， 即， 即),( 2 NX。 其中其中0)( XE ， 8 1 )( 2 XD ，即，即) 8

10、 1 , 0( NX 返回返回 10 5、随机变量随机变量 8 5 2 4 1 2 i i i i X X 服从什么服从什么分布？分布？ 解：解：因为因为 821 ,.,XXX是来自总体是来自总体 XN(0,1)的一个样本的一个样本， 所以所以)4( 2 4 1 2 i i XY，)4( 2 8 5 2 i i XZ，且且 Y 与与 Z 独立独立 从而有从而有 8 5 2 4 1 2 i i i i X X 4 4 Z Y F(4, 4) 返回返回 11 解：设解：设 A“从“从该工厂生产的螺钉中任取一件是次品该工厂生产的螺钉中任取一件是次品” Bi“从“从该工厂生产的螺钉中任取一件是该工厂生

11、产的螺钉中任取一件是 i 车间生产的车间生产的” )3 , 2 , 1( i 则则 (1) (1) )(AP)|()()|()()|()( 332211 BAPBPBAPBPBAPBP 05. 020. 002. 035. 004. 045. 0 0.035 所以该工厂生产螺钉的所以该工厂生产螺钉的次品率为次品率为 3.5 . (2) )( )|()( )( )( )|( 111 1 AP BAPBP AP ABP ABP 035. 0 04. 045. 0 =0.514 所以这件次品是所以这件次品是是甲车间生产的概率是甲车间生产的概率为为 0.514。 返回返回 12 o x y 12 1

12、2 返回返回 解：解： （1） dyyxfxf X ),()(， 当当10 x时，时，xdyxyxf X 2 4 3 )( 2 0 2 ， 所以所以 ., 0 10,2 )( 其它其它 xx xf X ., 0 20, 8 3 , 0 20, 4 3 ),()( 2 1 0 2 其它其它其它其它 yyydxxy dxyxfyfY （2）对一切）对一切 x，y 都有都有)()(),(yfxfyxf YX ，所以，所以 X、Y 相互独立相互独立. 13 解解： 2 1 ) 2 3 2()66( )1(6)()( 1 0 43 1 0 32 1 0 xxdxxx dxxxxdxxfxXE 22 )(

13、)()(XEXEXD 10 3 ) 5 6 2 3 ()66( )1(6)()( 1 0 54 1 0 43 1 0 222 xxdxxx dxxxxdxxfxXE 所以所以. 20 1 ) 2 1 ( 10 3 )()()( 222 XEXEXD 返回返回 14 解解：设设 X=“一盒一盒螺钉螺钉中中的的不合格不合格品品数数” ，则则 XB(100，0.01)， 101. 0100)( npXE，99. 099. 001. 0100)( npqXD， 所求所求概率概率为为)1001( XP 由由中中心心极限极限定理定理得得 ) )( )(100 )( )( )( )(1 ()1001( XD

14、 XE XD XEX XD XE PXP 5 . 05 . 01)0()9910( ) 99. 0 )11 () 99. 0 )1100 ( 所以所以，一盒里至少有一只不一盒里至少有一只不合格品的概率合格品的概率为为 0.5。 返回返回 15 解：似然函数解：似然函数 )( 2 1 2221 21 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n i i nX nn XXX eeeeL 取对数得取对数得 )( 2 1 ln2lnln 1 i n i XnnL 求导数得求导数得 0 2 1ln 1 2 i n i X n d Ld 解得：解得： 22 1 1 X X n n i i 所以，所以，参数参数

15、的最大似然估计量的最大似然估计量为为 2 X 。 返回返回 16 解解：9 2 已已知知，故故 的的置置信信区区间间为为： 2 u n X 已已知知 88.13 x， 95. 01,16 n 查查表表得得，975. 0)96. 1( 所所以以96. 1 025. 0 2 uu 所所以以 2 u n x47. 188.1396. 1 16 3 88.13 故故 的的置置信信水水平平为为 0.95 的的置置信信区区间间为为(12.41, 15.35)。 17 解：解：9 2 已知已知，选择统计量选择统计量)1, 0( N n X u 由由 1)( 22 u n X uP，可得，可得 的置信区间为：

16、的置信区间为： 2 u n X 已知已知 88.13 x， 95. 01,16 n 查表得，查表得，975. 0)96. 1( 所以所以96. 1 025. 0 2 uu 所以所以 2 u n x47. 188.1396. 1 16 3 88.13 故故 的置信水平为的置信水平为 0.95 的置信区间为的置信区间为(12.41, 15.35)。 返回返回 18 解解：要要检检验验的的假假设设为为： 22 0 8: H， 22 1 8: H 选选择择统统计计量量： 2 2 2 )1( Sn 1 2 n 查查表表得得拒拒绝绝域域023.19)9()1( 2 025. 0 2 2/ 2 n 7 . 2)9()1( 2 975. 0 2 2/1 2 n 计计算算统统计计量量得得 2 2 8 2 .68)110( 9.59 则则有有 2.79.5919.023，没没有有落落在在拒拒绝绝域域， 所所以以，接接受受原原假假设设 0 H ，认认为为该该日日生生产产的的铜铜丝丝的的折折断断力力的的 标标准准差差也也是是 8N。 返回返回 19 返回返回 解解：由由卷卷积积