裂项相消法求和附答案

1、裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能 前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前 后等式两边保持相等。(1)1若是an等差数列，则 a*anan 1 a*an 2 2d an an 2(2)n (n 1)(3)n(n k)1(1k n代)(4)(2n 1)(2 n 1)2(2n 12n 1(5)n(n 1)( n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)(6)fn n 1、一 n(7)1已知数列：的前n项和为,.(1 )求数列 的通项公式；htt =-(2)设 ，求数列的前n项和为.” “ tlu . = 5

2、+ I)解析(1)“A?时，严s如得：第1页共14页分3在中令 ，有,即，分5故对2已知an是公差为d的等差数列，它的前 n项和为Sn, St=29+8.(I)求公差d的值；I .(I)若ai=i，设Tn是数列的前n项和，求使不等式Tn恒成立的最大正整数m的值；-Srn)对所有的n I N*解析(I)设数列an的公差为d,I S=2S?+8,即 4ai+6d=2(2a i+d) +8，化简得:4d=8,解得d=2分4(I)由 ai=i, d=2,得 an=2n-1,分5T=2 2/r- 2n(nr jtn 又I不等式Tn对所有的n I N恒成立,第2页共i4页.分.10丄丄“ 一呵I - -化

3、简得：m2-5m-60 解得：-1 m.6i m的最大正整数值为6.3. ）已知各项均不相同的等差数列an的前四项和S4=14，且ai,a3,a7成等比数列 （I求数列an的通项公式；（I设Tn为数列的前n项和，求T2 012的值.答案（设公差为d,由已知得屮列心（3分）解得d=1或d=0（舍去）,Ii=2. （5分）故 an= n+1. (6 分)（=屮&】+町=：髭1：,（8分）11111IT=?卫 +岂_鼻+屮i*l|n+2 =I, h+2) . (10 分)5D3IT012=. (12 分)4. ）已知数列an是等差数列，-=8n+4,设数列|a n|的前n项和为S,数列的前n项和为T

4、n.（1）求数列an的通项公式求证/ WT1.答案（1）设等差数列an的公差为d,则an=a1+（n-1）d. （2分）-=8n+4,I (n+1+an)(an+1-an)=d(2a1 -d+2nd)=8n+4.第3页共14页当 n=1 时,d(2ai+d)=12;当 n=2 时,d(2ai+3d)=20.解方程组纠得山二2或旭二-E(4分) 经检验知,an=2n或an =-2n都满足要求I n =2n 或 an=-2n. (6 分)证明：由(1)知:an=2n或an=-2n.I |a|=2n.I n=n(n+1). (8 分)=:i(LHL = :_n+l1 I L 111IT=1也 +2-

5、3 + .+口+1 = 1工+1|. (10 分)1I WT n T 由得；，满足I的最小正整数为72.（12 分）7在数列 ，：中，,且成等差数列，.；成等比数列(、).(I)求，印及忙心，九，由此归纳出归，血的通项公式，并证明你的结论;F f解析(I)由条件得第7页共14页由此可得-二叭超二実心二必汽二乜S二小兀二力猜测 |:,（4分）用数学归纳法证明：当 1时，由上可得结论成立假设当 时，结论成立，即= k（k +1）（九二（盘*1）2?那么当2八I时,=(A + 2): b.码 4i = 2优 = 2左 + I 2 - kk +1) = (A + 1)(A + 2、=所以当j -时，结

6、论也成立(7 分)由，可知对一切正整数都成立1 1 5=2时，由（d知毎九二（亦1）小）2（处1）甘111I学*所以1II ,=+ + ：, 6 2 2x3 3x4/叶十“1I 1 II 6 2 2 3 3 4朋灯口1第11页共14页综上所述，原不等式成立 （12分）8已知数列“計的前用项和是叽,(ncTO（I）求数列 的通项公式;（I）设 = 1礎川-九）SieJO ,地址的正整数虫的值.L+ll+_L r、s ,求使J007Hh成立的最小c 1.3_5 + _日| M 二 % M 解析(1 )当尽一 1时，內：遍，由 当n-2时,+(罠 f.J = 0W 口_ M 一为公比的等比数列.分4

7、3（4f （底巧咕唤宀如）分也1( + IX+3+1 n + 210072016= /7 2014故使100?:成立的最小的正整数的值-1分129.己知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14，且ai, a3, a7成等比数列.(I)求数列an的通项公式;第13页共14页(II)设Tn为数列 最小值.的前n项和，若Tn/T 对创亠恒成立，求实数丄的解析122.( D设公差为d.由已知得切 +6t/ = l4(码 4- 2d1 (分.3解得 J =)，所以 u = 1 故=H + 1Q ()匚进心用- - r .11 2-7 -?（8 分）（12 分）第16页共14页11. 等差数列an各

8、项均为正整数,ai=3,前n项和为3,等比数列bn中,bi=1,且b2S2=64,是公比为64的等比数列.（I 求 an 与 bn；（I证明：+ + 0,故q=.a1由 2a1+3a2=1 得 2a1+3ag=1,所以故数列an的通项公式为an(I )n=log3a1+log3a2+logan=-(1+2+ +n)r(n+l)2211( n+1)=-2LI+ + =-2 一+ 妇+ +|=-.所以数列阮的前n项和为 韶.13. 等差数列an的各项均为正数，ai=3,其前n项和为Sn,bn为等比数列，bi=1,且 b2S2=16,b3S3=60.(I求 an 和 bn；1 1 1(I求为 + + +.答案(设)an的公差为d,且d为正数,bn的公比为q,an=3+( n_1)d,bn=qn-1,依题意有 b2S2=q (6+d)=16,b3S3=q2 (9+3d)=60,(分)解得 d=2,q=2.(4 分)故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6 分)(I )S3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分)所以J= + + +(10 分)si 2i+a=-.(12 分)14. 设数列an的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1).等比数列bn的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.(1)求数列an的通