圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

1、圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离和 一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.以椭圆的左焦 点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为 K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统 一的极坐标方程为：p =坐.其中p是定点F到定直线的距离, 1 一 ECOS 当点P在双曲线左支上时，|PF = -a-ex 1 PF2 = ci-ex； 3、若尸是抛物线的焦点，|时=“牛 利用弦长求面积 高考题（08年海南卷）过椭圆兰+艺=1的焦点F

2、作一条斜率为2的 5 4 直线与椭圆交于A, B两点,0为坐标原点，求AAOB的面积. 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式ia盼綁求弦长，然后 1Y cos-8 利用公式S*b = I AB II OF I sin ZAFO直接得出答案。 乙 变式（20 0 5年全国高考理科）己知点F为椭圆S + / = l的左焦点.过 点F的直线厶与椭圆交于P、0两点，过F且与厶垂直的直线厶交椭圆于 M、N两点，求四边形PMQN而积的最小值和最大值. 解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程 为：P = 设直线厶的倾斜角&,则直线厶的倾斜角为& + 90。，由极坐标系中 焦点弦长公式知: PQ 1

3、= V2 ,IMN = 1_1Cos2( + 90) x/2 1-isin2 2 用他们来表示四边形的面积 S=-PQ AMN = -一-一1=-一-1 2l + lsin26.cos2 方 0) 例一过椭圆/戸的左焦点F,作倾斜角为60的直线 /交椭圆于A、B两点,若网=卒耳，求椭圆的离心率. 简解，建立极坐标系,然后利用等量关系，可很快求出离心率。 设椭圆的极坐标方程为旷占则皿占 1ycos240 ：.ul=2ulm 得一刍 e , e3变式求过椭圆 =匸加的左焦点，且倾斜角为扌的弦长和左焦 点到左准线的距离。 2 解：先将方程有化为标准形式：p= ” 1一一COS& 3 则离心率e =彩

4、，S =彳， :.p = 2 所以左焦点到左准线的距为2。 设A（喝）皿中，代入极坐标方程，则弦长 AB = p+p2 3cos7 3-cosT 24 17 （3）定值问题 例1.抛物线y2=2px（p0）的一条焦点弦被焦点分为a, b的两段，证 明：丄+ ；定值。 a b 解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的 极坐标方程为 = 一-一，设A（aB（b,0+7r） 1-COS& 将A, B两点代入极坐标方程，得“=1- 1-cos 01-cos（& + 兀） 贝lJ_L + J_J_cos& + l_cos(& + /r)二2 (定值) a b ppp 点睛，引中到椭圆和

5、双曲线也是成立的。 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有侖+侖需 例二:经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证丄t +人为定 |AB| |CD| 值。 证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为厂匕 X/Q 则代入可得 乂设A(p,q)B(R,/r+&),C 门+。Q c，耳 112-e2 H二 |AB| |CD| 2ep 注释。此公式对抛物线也成立,但对双曲线不成立。注意使用的范围。 推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为 极点建立极坐标方程。 推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。 例三（2007重庆理改编）中心在原点o的椭圆

6、壬+寻，点尸是其左焦 点，在椭圆上任取三个不同点P|片匕使 ZPFP=ZPfP、= ZP、FP= 120. 1为定值，并求此定值. 解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为: p = ,设点p.对应的极角为e,则点E与p.对应的极角分别为 2-cos& 0 + 120、&-120。, P、几与人的极径就分别是I FP. 1= 一-一 2 一 cos 0 FP= 2-cos(6 + 120) J IF/I= 2-cos(& 120) 111 2-COS& 2-cos(& + 120)2-cos(8-120) M+P+M=+ 角函数的学习中，我们知道心& +心（& + 120。） +心（&-120。） = 0,因此 111 为定值 if* FP |FP2| fp. 点睛:极坐标分别表示I码I、I F鬥I与I FPJ,这样一个角度对应一个极 径.就不会象解析几何那样,一个倾斜角，对应两个点，同时对应 两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点. 推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？ 推广2设只匕P3匕是椭圆上的n个点，且FP,FP2,FP3.FPn圆周角等分贝J 工匕也为定值 制