误差理论与数据处理--课后答案

1、误差理论与数据处理练习题考答案第一章绪论绝对误差等于：18000 02 -180 =2相对误差等于：-=-0.0000030864V 0.000031%180180 60 606480001 5测得某三角块的三个角度之和为解：18000 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m，试求其最大相对误差相对误差max绝对误差max测得值100%20 10-62.31100%_4= 8.66 10 %1 10检定2.5级（即引用误差为 2.5%）的全量程为I00V的电压表，发现50V刻度点的 示值误差2V为最大误差，问该电表是否合格？解：

2、2V2/100 = 2%2% 2.5%依题意，该电压表的示值误差为 由此求出该电表的引用相对误差为 因为所以，该电表合格。1- 12用两种方法分别测量 L1=50mm, L2=80mm。测得值各为50.004mm, 80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差L1:50mm50.004 -50I1100% =0.008%50L2：80mm80.006 -80I2100% =0.0075%80I1I2所以L2=80mm方法测量精度咼。在距离50m远处准确地射中直径为 2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高解：多级火箭的相对误差为:0.1 =0.00001 =0.001% 10000射手

3、的相对误差为：1cm0.01m小小，0.0002 = 0.002%50 m50m多级火箭的射击精度高。第二章误差的基本性质与处理2-6 测量某电路电流共 5次，测得数据（单位为mA）为168.41 , 168.54 ,168.59 , 168.40 ,168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解：Ti= 168.49(mA)5、(li -丨)y 5-154St 5、(li -I)i 15-14 0.08 二 0.065-0.082 7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm为20.0015,20.0016 , 20.0018 , 20.0015 , 2

4、0.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值J1=20.0015mm26 10 42.55 10 mm求单次测量的标准差求算术平均值的标准差写出最后测量结果确定测量的极限误差因n = 5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。现自由度为：v = n 1 = 4;a = 1 0.99 = 0.01 ,查t 分布表有：ta = 4.60极限误差为imX = tx = 4.60 1.14 10* =5.24 10*mmL 二 x 、limx = 20.0015 _5.24 10* mm2- 9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差二=0.0

5、04mm, 若要求测量结果的置信限为0.005mm ,当置信概率为99%寸，试求必要的测量 次数。正态分布 p=99%时，t=2.582.58 0.0040.005 n =4.26n =5即要达题意要求，必须至少测量5次。2 10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差(T = 0.001mm,若要求测量的允许极限误差为土 0.0015mm,而置信概率 P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有十 xZ,0015根据题目给定得已知条件，有查教材附录表3有t . 0.0015.n 一 0.001-1.5若 n = 5, v= 4, a = 0.05，有 t = 2.78 ,2.78

6、2.236= 1.24若 n = 4, v= 3, a = 0.05，有 t = 3.18 ,t _3.18_3.18.n 42-1.59即要达题意要求，必须至少测量5次。2- 12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85, 102391.30, 102257.97, 102124.65, 101991.33, 101858.01，101724.69, 101591.36,其权各为1, 3, 5, 7, 8, 6, 4, 2,试求加权算术平均值及其标准差。8、Pi XixJ* =102028.34(Pa)、Pii 土8 PiVxiCT-x:86.95(Pa)i 8(8 Pi

7、i A2-13测量某角度共两次，测得值为=24 13 36 , : 2 =24 1324，其标准差分别为-1 =3.1 2 =13.8 ,试求加权算术平均值及其标准差。P1 : P2 12二 2=19044:961x =24 132019044 16 961 4”19044 961=24 13352-14下：甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角：各重复测量5次，测得值如:甲 :7 2 20 ,7 3 0 ,7 2 35 , 7 2 20 ,7 2 15 ;:乙 :7 2 25 ,7 2 25 ,7 2 20 ,7 2 50 ,7 2 45 ;CT-x=3.1収1904419044 9613.0

8、试求其测量结果。甲：x甲 =7 220 60 35 20 15二 7230二甲 18.4= 8.23 v2i 1-13.55-14乙:X乙 25 25 20 50 45 ,2335(-8 )2 (-8 )2(-13 )2 ( 17)2 (12)2p甲 :卩乙=2 :22 :2 = 3648: 6773S2 *2 8.232 6.042X _ p甲X甲 p乙忆 _ 3648 30 6773 33 72 =7：2323648 67733648=4.87= 8.23、V3648 + 6773242 9.811 147 9.802x =242 +1470.014242.20 242 1470.002(

9、 m/s2)X 二x _3；x =7 232_152-16重力加速度的20次测量 具有平均 值为9.811m/s2、标准差 为0.01 4n/s2。另外30次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为0.0 2 m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。1 111c c ,P1 : P22 : 2_ z1a2 2 =242:147/.、2a_2 cr_2xX2(0.014、(0.022、2030:9.808(m/s2)2-仃对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6,14.9，14.8，15.1，15.0，试判

10、断该测量列中是否存在系统误差。x =14.96按贝塞尔公式 J =0.263310瓦|vi按别捷尔斯法匚2 =1.253 心0.264210(10-1)由二1 u 得 u 二一1 = 0.0034u r=0.67所以测量列中无系差存在。亦-12-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后 6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为 mH：50.82，50.83，50.87，50.89;50.78，50.78，50.75, 50.85，50.82，50.81。试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。使用秩和检验法：排序：序号12345第一组第二组50.755

11、0.7850.7850.8150.82序号678910第一组50.8250.8350.8750.89第二组50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T_ = 14 T一30T -T亠所以两组间存在系差2-21对某量进行两组测量，测得数据如下:Xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：T12345678

12、910Xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T11121314151617181920Xi1.211.221.301.341.391.41yi1.251.311.311.38T2122232425262728Xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95现nx= 14, ny = 14，取x的数据计算T,得T= 154。由123=(山1 1)=203 ； c =(匹0)=474 求出:t 二 = -0.1CJ现取概率2、(t) =0.95 ,即(t) =0.475 ,查教材附表1有L =1.96。由于t t.因此,可以

13、认为两组数据间没有系统误差。第三章误差的合成与分配3- 2 为求长方体体积V ,直接测量其各边长为a =161.6mm ，b =44.5mm , c =11.2mm ,已知测量的系统误差为a = 1.2mm，b = -0.8mm，c =0.5mm ,测量的极限误差为： 0.8mm，：b二0.5mm， -：c二0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。V 二 abc V = f (a,b, c)V0 二abc =161.6 44.5 11.23=80541.44(mm )体积V系统误差 V为：=V 二bca ac=b abc= 2745.744(mm3) ： 2745.74(mm3)立方体

14、体积实际大小为：V二乂- Z =77795.70(mm3) lim V（：f、2. 2 （f、2 . 2 厂f、2. 2 -Jr（b）b（p）、c二.(bc) a2 - (ac)2、b2 (ab)2：2二 3729.11(mm3)测量体积最后结果表示为V =Vo - V limV = (77795.70 _3729.11)mm33 3长方体的边长分别为 a 1, a 2, a 3测量时：标准差均为（T ；标准差各为（T 1、（T 2、 （T 3。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为：V = q a2 a3体积的标准差应为:）2 爲（:V）2 打饴3:V-VeVa2a3 ；a1 a3；a

15、 a：.a1.a2:a 3:a2匚V(汁现可求出:右：二 r _ ；2 二二 3 _V2 2 /：V2 2 /：V2 2/：V2 ( 2、2 (汎、2则有：J 二(一 )-1 L )6() -3 =-(一 )(.)(.)? -.aia 2a3-_aia2- a3二二,(a2a3)2 - (ae3)2(da?)2若：匚1=匚2=匚3贝V有：二 V =（2&3）2二12 （a）2 打（吋2）2 打3- 4 测量某电路的电流I = 22.5mA，电压U =12.6V，测量的标准差分别为F = 0.5mA ,二u =0.1V ,求所耗功率P二UI及其标准差 6。P 二UI =12.6 22.5 =28

16、3.5(mw)P = f （U ,1） ； U、丨成线性关系;?UI =12；u2（f）2G2 2（ U）（ f）；Vi.IU chrU U； =22.5 0.112.6 0.5:I= 8.55( mw)312 按公式V=n r2h求圆柱体体积，若已知 r约为2cm, h约为20cm,要使体积的相对口半毕丁 庆差等于解：1%,试问r和h测量时误差应为多少？若不考虑测量误差，圆柱体积为223V= r h =3.14 220 = 251.2cm根据题意，体积测量的相对误差为1 %,即测定体积的相对误差为:CT1%V即；:.-二V 1% =251.2 1% =2.51现按等作用原则分配误差，可以求出

17、测定r的误差应为:a 12.511二 r0.007 cm2 ：V / ；：r 1.41 2二 hr测定h的误差应为:坊1h 2：V / ；:h2.5111.41 二 r2=0.142 cm3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位g）为428.6, 429.2, 426.5,430.8。已知测量的已定系统误差；-2.6g,测量的各极限误差分量及其相应的 传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及 其极限误差。测量结果表示为：x=x= (431.4 二 4.9)g序号极限误差/g误差传递系数随机误差未定系统误差12.1一12一1.513一1.014一0.5154

18、.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81428.6429.2426.5430.8第四章测量不确定度4 1 某圆球的半径为r，若重复10次测量得r d r =(3.132 0.005)cm，试求该圆球 最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%。解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D = 2 r其标准不确定度应为：时x =4=428.775(g)428.8(g)最可信赖值 x = X -盘-428.8 - 2.6 二 431.4(g) 4(fw4 y ：Xj:-4.9(g)二站的2 O.O。52=0.0314cm确定包含因子。查

19、t分布表to.01 ( 9)= 3.25，及K= 3.25故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：U= Ku= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圆球的体积的测量不确定度43圆球体积为：Vr3其标准不确定度应为：u =程* = J(4 机 r2 ft!： = J16 汉3.141592 疋3.1324 汉 0.0052 =0.616确定包含因子。查 t分布表t0.01 ( 9)= 3.25，及K= 3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.0024- 4某校准证书说明，标称值 10门的标准电阻器的电阻R在20 C时为10.000742

20、0 129卩0 ( P=99%),求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。/由校准证书说明给定-属于B类评定的不确定度,R在10.000742门-129山，10.000742门+129范围内概率为99% 不为100%-不属于均匀分布，属于正态分布a =129 当 p=99%时，Kp =2.58UrKp1292.58=50（山）4- 5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：h =40mm， I2 =10mm，I3 = 2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过_0.45m、030、_0.25m （取置

21、信概率 P=99.73%的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度L = 52.5mm h=40mm l2=10mml3 = 2.5mm.L =l, l2 l3： p = 99.73%. Kp =3a 0.45,a 0.30,U,0.15(F)Ul20.10(5)kp3i 丿 l2 kp 3i 丿a 0.25U|30.08( m)kp3U . U i1 U i2 U b二.0.152 0.102 0.082= 0.20( 5)4 6某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其2V量程的测量误差不超过土 （14 X 10-6读数+1 X 10-6 X量程）V，相对标准差为20 %，若按均匀

22、分布，求1V测量时电压表的标准不确定度； 设在该表校准一年后， 对标称值为1V的电压进行16次重复测量， 得观测值的平均值为 0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为0.000036V，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量， 说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。第五章线性参数的最小二乘法处理3x y 二 2.95- 1测量方程为x -2y =0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。误差I2x -3y =1.9jv, =2.9 (3x + y) 方程为v2 =0.9-(x-2y)M =1.9 _(2x 3y)*

23、 nnn为 ai1ai1 - 3y - -5.6, P1 二 15- 7不等精度测量的方程组如下：4x y =8.1, P2 = 22x - y 二 0.5, P3 = 3试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 吃 ai1ai2y=W a1li列正规方程77i-代入数据得innnZ ai2a1X 吃 厲2耳2丫 =送 ai2hi 4x = 0.962=0.01514-513.4 解得-5x 14y - -4.6将x、y代入误差方程式切=2.9 -(3 0.962 0.015) =-0.001 v2 =0.9 (0.962 2汉 0.015) = 0.032 M =1.9(2x0.962 3汉

24、0.015) = 0.021求解不定乘数id:测量数据的标准差为= 0.038d12d22-5d11 14d12 = 0-三14小21 - 5d22 =0-5d2114d22 二 1解得 = d22 = 0.082x、y 的精度分别为:二x _ ：. d11 = 0.01 :二 y _. d22 二 0.011 V二一5.6 -(x 一 3y), pi =1 列误差方程 V2 =8.1 _(4x y), p2 =2V3 =0.5 -(2x -y), P3 =3333艺Piaiiaiix 十送piaiiai2 ypiai1l i正规方程为ididid331:pa匚2耳瘁pa匚2耳2丫 pCzhi

25、 Ai 4i =1代入数据得45x62.2-x 14y =31.5解得x= 1.434 y =2.352U =0.022将x、y代入误差方程可得v2 =0.012v3 = -0.016Pi Vi2则测量数据单位权标准差为i 总:0.0393-245dn dr? 1求解不定乘数d11 d12 _dn 14d1 -021 d22 - g45d21 d22 = 0-d?1 14d?2 = 1解得du =0.022 虫=0.072= 0.010x、y 的精度分别为二x d11 =0.006 :二 y =. d22第六章回归分析6- 1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下:正应

26、力x/Pa26.825.428.923.627.723.9抗剪强度y/Pa26.527.324.227.123.625.9正应力x/Pa24.728.126.927.422.625.6抗剪强度y/Pa26.322.521.721.425.824.9假设正应力的数值是正确的，求(1) 抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。(2) 当正应力为24.5Pa时，抗剪强度的估计值是多少？(1)设一元线形回归方程y =b0 bxN =12；lxyb =lxx 二 Ixx =43.047 lxy = 29.533p0 = y _b x1x311.6=25.9712b 丄 29533 - -0 69 y = 1 297.2 =24.77lxx 43.04712二 b0 = 24.77 -(-0.625.97