湖南省娄底市2020-2021学年高一数学上学期期中试题答案.pdf
湖南省娄底市2020_2021学年高一数学上学期期中试题
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湖南省娄底市2020_2021学年高一数学上学期期中试题,湖南省,娄底市,2020,_2021,年高,数学,上学,期期,试题
- 内容简介：
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高一数学期中考试试卷高一数学期中考试试卷 考试时间：120 分钟 试题满分：150 分 第第卷卷（选择题（选择题 共共 60 分）分） 一、单项选择题一、单项选择题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知集合 mx|x3，nx|x23x100，则 mn（ ） amx|3x5 bmx|x3 cx|x2 dx|x5 【考点】并集及其运算菁优网版权所有 【分析】求出集合 n，由此能求出 mn 【解答】解：集合 mx|x3， nx|x23x100x|2x5， mnx|x2 故选：c 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2下列式子成立的是（ ） aa ba ca da 【考点】有理数指数幂及根式菁优网版权所有 【分析】注意 a 的符号，然后把化为根式得答案 【解答】解：要使有意义，则 a0， 故选：b 【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，注意 a 的符号是关键，是基础题 3已知 p：|m+1|1，q：幂函数 y（m2m1）xm在（0，+）上单调递减，则 p 是 q的（ ） a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有 【分析】分别化简 p，q，再根据充分必要条件的定义即可判断 【解答】解：p：|m+1|1 等价于2m0， 幂函数 y（m2m1）xm在（0，+）上单调递减， m2m11，且 m0， 解得 m1， p 是 q 的必要不充分条件， 故选：b 【点评】本题考查了幂函数的定义单调性、绝对值不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4已知函数 f（x）3x，f（a）f（b）9，若 a0，b0，则 ab 的最大值为（ ） a b2 c1 d4 【考点】指数函数的图象与性质菁优网版权所有 【分析】由已知结合指数的运算性质，可得 a+b2，结合 a0，b0 及基本不等式，可得答案 【解答】解：函数 f（x）3x， f（a）f（b）3a3b3a+b9， a+b2， ab1， 当且仅当 ab1 时，ab 取最大值 1， 故选：c 【点评】本题考查的知识点是指数的运算性质，基本不等式的应用，难度中档 5函数 ya|x|（a1）图象是（ ） a b c d 【考点】指数函数的图象与性质菁优网版权所有 【分析】根据指数函数的图象和性质进行翻折判断即可 【解答】解：根据指数函数的性质可得 yax（a1）递增函数， 函数 ya|x|（a1）的图象是 yax（a1）的图象去掉 y 轴左侧图象，把右侧图象关于y 轴对称可以 故选：a 【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，翻折问题，根据函数图象关系是解决本题的关键 6已知 a，b（）3，c（）3，则 a，b，c 的大小顺序正确的是（ ） acab babc cbac dacb 【考点】指数函数的图象与性质菁优网版权所有 【分析】把各个数都转化为 x3的形式即可 【解答】解：a（3， 又 yx3在 r 上是增函数， 因为， 所以 acb， 故选：d 【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题 7定义在 r 上的偶函数 f（x）在0，5上是增函数，且 f（5）3，则 f（x）在5，0上是（ ） a增函数，且最大值是 3 b减函数，且最大值是 3 c增函数，且最小值是 3 d减函数，且最小值是 3 【考点】奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有 【分析】根据偶函数的性质及0，5上的单调性判断出 f（x）在5，0上的单调性，进而可得 f（x）在5，0上的最值 【解答】解：定义域为 r 的偶函数 f（x）在0，5上是增函数， 在5，0）上是减函数， f（x）在5，0上有最大值 f（5） ， 又f（5）3，f（5）f（5）3， 故选：b 【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的应用，属中档题，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 8若 x1，则的最大值为（ ） a b c d 【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有 【分析】令 tx1，换元，将原式转化为 t 的算式，结合基本不等式即可得到结果 【解答】解：令 tx1，则 xt+1，t0， 原式， 当且仅当 t1 即 x2 时等号成立， 故选：c 【点评】本题考查了基本不等式的应用，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题 9已知 f（x）是定义在 r 上的增函数，若 yf（x）的图象过点 a（2，1）和 b（3，1） ，则满足1f（x+1）1 的 x 的取值范围是（ ） a （2，3） b （3，2） c （1，4） d （1，1） 【考点】函数的值域菁优网版权所有 【分析】据函数单调性及图象上两点可解得不等式1f（x+1）1 的解集 【解答】解：函数 f（x）是定义在 r 上的增函数，yf（x）的图象过点 a（2，1）和 b（3，1） ， 则由1f（x+1）1 即 f（2）f（x+1）f（3） ，可得2x+13， 解得3x2， 故1f（x+1）1 的解集为（3，2） 故选：b 【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，不等式的解法，属于中档题 10函数 f（x）的定义域为 d，若满足：f（x）在 d 内是单调函数；存在a，bd（ab） ，使得 f（x）在a，b上的值域也是a，b，则称 yf（x）为闭函数若是闭函数，则实数 k 的取值范围是（ ） a b c d 【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质与判断菁优网版权所有 【分析】可看出 f（x）在0，+）上是增函数，根据 f（x）是闭函数可得出，从而得出方程有两个不同的非负实数根，然后设，从而得出，可画出函数在0，+）上的图象，结合图象即可求出k 的取值范围 【解答】解：f（x）在0，+）内是增函数， f（x）是闭函数， 存在a，b0，+） ，使 f（x）在a，b上的值域是a，b， ， 方程有两个不同的非负实数根， 设，t0，则， 如图， t0，所以要使方程有两个不同的实根，则， 实数 k 的取值范围为 故选：c 【点评】本题考查了幂函数的单调性，闭函数的定义，二次函数的图象，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于中档题 二、多项选择题二、多项选择题:本大题共本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，不不止止一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 11关于函数 f（x）的性质描述，正确的是 （ ） af（x）的定义域为1，0）（0，1 bf（x）的值域为（1，1） cf（x）在定义域上是增函数 df（x）的图象关于 y 轴对称 【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域菁优网版权所有 【分析】先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解 【解答】解：a，由，解得 x1，0）（0，1即为函数的定义域，故a 正确；b，由定义域可化简函数得 f（x）， 当 x1，0）时，f（x）0，1） ；当 x（0，1时，f（x）（1，0，所以 f（x）（1，1） ，故 b 正确；c，因为 f（）f（），所以函数不是增函数，故c 错误； d，因为定义域关于原点对称，且对任意 x（0，1，f（x）f（x） ，所以函数是奇函数，故 d 错误， 故选：ab 【点评】本题主要考查函数的概念与图象，函数单调性以及奇偶性，属于中档题 12若 a，br，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是（ ） aa2+b22ab b c d 【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有 【分析】 利用基本不等式需注意： 各数必须是正数 不等式 a2+b22ab 的使用条件是 a，br 【解答】解：对于 a；a2+b22ab 所以 a 对 对于 b，c，虽然 ab0，只能说明 a，b 同号，若 a，b 都小于 0 时，所以 b，c 错 ab0 故选：ad 【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等 第第卷卷 （非选择题（非选择题 满分满分 90 分）分） 三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填写在答题纸相应位置上把答案填写在答题纸相应位置上 13已知 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）x（2x） ，则 x0 时，f（x） x（2+x） 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有 【分析】根据题意可推出当 x0 时，x0，f（x）x（2+x） ，因为 f（x）为奇函数，可得当 x0 时，f（x）的解析式 【解答】解：当 x0 时，x0， 又因为当 x0 时，f（x）x（2x） ， 所以 f（x）x（2+x） ， 因为 f（x）为奇函数， 所以 f（x）f（x） ， 所以当 x0 时，f（x）x（2+x）x（2+x） ， 故答案为：x（2+x） 【点评】本题考查函数的解析式，解题中注意奇函数的应用，属于中档题 14已知函数的最小值为 6，则正数 m 的值为 4 【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有 【分析】由 x2，可得 yx2+ +2 +22 +2，再利用函数的最小值为 6，可得 2+26，解得 m 【解答】解：x2，yx2+2+22+2， 又函数的最小值为 6，2+26，解得 m4 故答案为：4 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15 若函数 yax（a0， a1） 在区间1， 2上的最大值和最小值之和为 6， 则实数 a 2 【考点】指数函数的图象与性质菁优网版权所有 【分析】两种情况： （1）当 a1 时，函数 yax在区间1，2上是增函数，所以 ymaxa2 ymina，由于最小值和最大值之和 6，所以建立方程 a2+a6 解得：a2 或3（负值舍去） （2）0a1，函数 yax在区间1，2上是减函数，所以：ymaxa ymina2，由于最小值和最大值之和 6，所以建立方程，即 a2+a6，解得：a2 或3，因为 0a1，所以都舍去 【解答】解： （1）当 a1 时，函数 yax在区间1，2上是增函数， 所以 ymaxa2，ymina， 由于最小值和最大值之和 6， 即：a2+a6， 解得：a2 或3（负值舍去） ； （2）0a1，函数 yax在区间1，2上是减函数， 所以：ymaxa，ymina2， 由于最小值和最大值之和 6， 即：a2+a6， 解得：a2 或3，而 0a1，故都舍去； 故答案为：2 【点评】本题考查的知识要点：指数函数的单调性的分类讨论，解一元二次方程等相关的运算问题 16已知 ar，函数 当 a0 时，函数 f（x）的最小值为 4 ； 若 f（x）在区间1，4上的最大值是 5，则实数 a 的取值范围为 【考点】函数的最值及其几何意义菁优网版权所有 【分析】把 a0 代入函数解析式，写出分段函数，然后分段求出函数的最小值，则函数 f（x）的最小值可求； 由条件可得 a5+xa5a，再由 1x4 时，得 4+x5，可得 2a54，从而得到 a 的范围 【解答】解：当 a0 时，f（x）|x+| 若 x0，则 f（x），当且仅当 x，即 x2 时等号成立； 若 x0，则 f（x）x，当且仅当x，即 x2 时等号成立 综上，函数 f（x）的最小值为 4； f（x）在区间1，4上的最大值是 5，f（x）|+xa|+a5， |+xa|5a，则 a5， a5+xa5a，即 2a5+x5 1x4，4+x5，得 2a54， a， 实数 a 的取值范围为（， 故答案为：4； （， 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化与化归思想，训练了利用基本不等式求最值，属中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本题满分（本题满分 10 分）分） 已知集合axaxa+=22，0)4)(1(=xxxb，全集ru =. (1) 当3=a时，求ba，()bcau； (2) 若=ba，求实数a的取值范围。 17、解：首先), 4 1 ,(+=b，)4 , 1 (=bcu. (1) 当3=a时，5 , 1=a，于是5 , 4 1 , 1=ba， () 5 , 1=bcau.5 分 (2) 当aa+22即0a时，=a，符合=ba； aa+22，即0a时，要使得=ba，应有 14212+aaa， 又0a，所以10 a. 综上，若=ba，a的取值范围为1a. .10 分 18. （本题满分（本题满分 12 分）分） 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入 90 万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前 n（nn+）年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入 55 万元设使用该设备前 n 年的总盈利额为 f（n）万元 （1）写出 f（n）关于 n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 10 万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 50 万元的价格处理； 问哪种方案处理较为合理？并说明理由 【考点】根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有 【分析】 （1） 由题意写出 f （n） 关于 n 的函数式， 由 f （n） 0 求得 n 的范围， 再由 nn+，可得该设备企业从第 3 年开始盈利； （2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是 170 万元，再结合获得最大利润的年限得结论 【解答】解： （1）由题意得： 由 f（n）0，得，即 n220n+360， 解得 2n18 由于 nn+，故设备企业从第 3 年开始盈利； （2）方案一：总盈利额，当 n10 时 f（n）max160 故方案一共总利润 160+10170，此时 n10； 方案二：每年平均利润，当且仅当 n6 时等号成立 故方案二总利润 620+50170，此时 n6 比较两种方案，获利都是 170 万元，但由于第一种方案需要 10 年，而第二种方案需要 6年，故选择第二种方案更合适 【点评】 本题考查根据实际问题选择函数模型， 训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题 19. （本题满分（本题满分 12 分）分） 已知函数 g（x）ax22ax+1+b（a0）在区间2，3上有最小值 1 和最大值为 4，设 （1）求 a、b 的值 （2）若不等式 f（2x）k2x0 在区间1，1上有解，求实数 k 的范围 【考点】二次函数的性质与图象菁优网版权所有 【分析】 （1）利用二次函数的性质，列出方程，求解即可 （2）化简函数的解析式，通过分离变量，结合二次函数的简单性质求解即可 【解答】解： （1）解由题意得：g（x）ax22ax+1+b 的对称轴为：x1，g（x）在（2、3）上递增， ， （2）由（1）可知，g（x）x22x+1， ， f（2x）k2x0 化为， 当 x（1，1， kt22t+1 记 h（t）t22t+1， h（t）max1， k1 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，换元法以及分离变量求解函数的最值的方法，考查计算能力 20. （本题满分（本题满分 12 分）分） 已知函数 f（x）|x1|x+2| （）求不等式 f（x）x 的解集； （） 记函数 f （x） 的最大值为 m 若正实数 a， b， c 满足， 求的最小值 【考点】基本不等式及其应用；绝对值不等式的解法菁优网版权所有 【分析】 （）根据零点分段去掉绝对值，分别求出 x 的取值范围，可得不等式的解集； （）由绝对值三角不等式求出 f（x）的最大值为 m，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件 【解答】解： （）不等式 f（x）x，即|x1|x+2|x， 当 x1 时，化简得3x，解得 x1； 当2x1 时，化简得2x1x，解得x1； 当 x2 时，化简得 3x，此时无解； 综上，不等式的解集为（，+） （）|x1|x+2|（x1）（x+2）|3，当且仅当 x2 时等号成立， m3，即 a+4b+9c1， +， 又 a，b，c0， +（+） （a+4b+9c）（+）2（1+2+3）236， 当且仅当，即 a，b，c时取等号， +的最小值为 36 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题 21. （本题满分（本题满分 12 分）分） 已知定义域为 r 的函数 f（x）ax（k1）ax（a0 且 a1）是奇函数 （1）求实数 k 的值； （2）若 f（1）0，求不等式 f（x2+tx）+f（4x）0 对 xr 恒成立时 t 的取值范围 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题菁优网版权所有 【分析】 （1）由题意可得 f（0）0，解方程可得 k，检验可得结论； （2）运用指数函数的单调性，判断奇函数 f（x）axax在 r 上单调递减，将原不等式转化为 x2+（t1）x+40 恒成立，再由判别式小于 0，解不等式可得所求范围 【解答】解： （1）f（x）是定义域为 r 的奇函数， f（0）a0（k1）a01（k1）0， k2， 经检验：k2 时，f（x）axax（a0 且 a1）是奇函数故 k2； （2）f（x）axax（a0，且 a1） ， 因为 f（1）0，所以 a0，又 a0，且 a1，所以 0a1， 而 yax在 r 上单调递减，yax在 r 上单调递增， 故判断 f（x）axax在 r 上单调递减， 不等式化为 f（x2+tx）f（x4） ，所以 x2+txx4， 所以 x2+（t1）x+40
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