向量的坐标表示及其运算精编版

1、最新资料推荐向量的坐标表示及其运算知识概要】1. 向量及其表示1）向量： 我们把既有大小又有方向的量叫向量 （向量可以用一个小写英文字母上面加箭头ruuuruuur. 向量 AB来表示，如 a读作向量 a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A到 B 的向量 . A为向量的起点， B 为向量的终点） r uuur r（或 a ）的大小叫做 向量的模， 记作 AB （或 a ）.注： 既有方向又有大小的量叫做向量， 只有大小没有方向的量叫做标量， 向量与标量是 两种不同的量，要加以区别； 长度为 0 的向量叫零向量，记作 0 0 的方向是任意的 注意 0 与 0 的区别

2、长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量 .说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向例 1 下列各量中不是向量的是A. 浮力B. 风速例 2 下列说法中错误的是（A. 零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行D ）C. 位移 D. 密度 A ）B. 零向量的长度为 0D. 零向量的方向是任意的例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点 , 那么这些向量的终点所构成的图形是A. 一条线段B. 一段圆弧C. 圆上一群孤立点 D. 一个单位圆2）向量坐标的有关概念 基本单位向量 : 在平面直角坐标系中， 方向分别与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位 向量叫做基本单位，记为 ri

3、 和 rj .r uuur r 将向量 a的起点置于坐标原点 O，作OA a，则 OA叫做位置向量 ，如果点 A的坐 uuur uuuur uuur r uuur rr标为 （x, y） ，它在 x 轴和 y 轴上的投影分别为 M ,N ，则 OA OM ON,a OA xi yj.最新资料推荐 向量的正交分解uuur r r在中，向量 OA 能表示成两个相互垂直的向量 i 、 j 分别 乘上实数 x, y后组成的和式， 该和式称为 ri 、rj 的线性组合， 这 种向量的表示方法叫做向量的正交分解， 把有序的实数对 (x, y)叫做向量 ar 的坐标，记为 ra=(x,y).uuuur般地，

4、对于以点 P1(x1,y1) 为起点，点 P2(x2,y2)为终点的向量 P1P2 ，容易推得uuuur rP1P2 (x2 x1)i (y2y1)rj ，于是相应地就可以把有序实数对uuuur(x2 x1,y2 y1) 叫做 P1P2uuuur 的坐标，记作 P1P2 =(x2 x1,y2 y1) .3)向量的坐标运算 ：a (x1,y1),b (x2, y2) ， Rr r r r ra 的模 ( norm) .则a b (x1 x2, y1 y2);a b (x1 x2,y1 y2); a ( x1, x2) .4) 向量的模： 设 a (x, y) ，由两点间距离公式，可求得向量注：

5、向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； 向量的模是个标量，并且是一个非负实数 .3 ，求点 P 的uuur 例 4 已知点 A的坐标为 (2,0) ，点 B的坐标为 ( 3,0) ，且 AP坐标 .例 5 已知 2a解：点 P 的坐标为或( 4,3), ar 2br (3, 4) ，求 ra、r b 的坐标 .解： a ( 1,2), b ( 2, 1) 例 6 设向量 ar,br,cr, ,R，化简：rrrrrrrr(1)(abc)( a b c) ()(b c) ；rr r rr(2)2( ac) (2 a 2b)2 c .r解：都为 0 .最新资料推荐2.

6、向量平行的充要条件 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量(我们规定 0 与任一向量平行) .已知 a与b为非零向量，若 a (x1,y1),b (x2 , y2 ) ，则 a/ /b的充要条件是 x1y2 x2y1， 所以， 向量平行的充要条件 可以表示为：a/b a b(其中 为非零实数 ) x1y2 x2y1.r uuur r uuur例 7 已知向量 a ( 2,3) ，点 A(2, 1) ，若向量 AB 与a 平行，且 AB 2 13 ，求向量 uuruOB 的坐标 .uuru解： OB 的坐标为 (6, 7) 或 ( 2,5) .3. 定比分点公式1 )定比分点公式和中点公

7、式 P1, P2是直线 l上的两点， P是 l上不同于 P1, P2的任一点，存在实数，uuur使 P1P = PP2 ， 叫 做 点 P 分 P1P2 所 成 的 比 ， 有 三 种 情 况 ：(内分) 0(外分) -1(外分 ) -1 0uuur 已知P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是直线 l上任一点，且 P1P= PP2( R,1).P是直x 线 P1P2上的一点，令 P(x, y)，则yx1 x2x点，此时yx1x22y1 y2，叫做线段P1P2 的中点公式uuurP1Puuur uuurPP2 可得 P1PuuurPP2 ； 当 1 时，定比分点的坐标公式 x 就是说，当1 时

8、，定比分点不存在x1 x2 和 y y1y2 显然都无意义，也11线段 P1P2 的定比分点公式，特别地最新资料推荐2 )三角形重心坐标公式设 ABC的三个点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，G 为 ABC的重心，则xGx1yGy1 y2 y33例 8 在直角坐标系内P1(4, 3),P2( 2,6) ，点 P在直线 P1P2上，且uuuruuurP1P2PP2，求出 P的坐标 .解：当 P在P1P2上时， P(0,3) ；当 P在 P1P2延长线上， P( 8,15) .uuur例 9 已知 A(3, 1),B( 4, 2) ， P是直线 AB 上一点，若

9、2APuuur3AB ，求点 P 的坐标 .解 : 注意定比分点的定点，可得P(15*方法提炼*几个重要结论r r r r r r r r1.若a,b为不共线向量，则 a b，a b为以 a , b为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. ar 2 rbar2br22(ar2 b ) ；G()y3 y2 y1uuur uuur uuur3. G 为 ABC 的重心GA GB GCA(x1, y1),B(x2,y2)C(x3,y3)最新资料推荐【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由向量 AB与CD 是共线向量，则 A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的

10、相反向量不相等；四边形 ABCD是平行四边形的充要条件是 AB DC模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解：不正确 . 共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AC 在同一直线上 .不正确 . 单位向量 模 均相等且为 1，但方向并不确定 .不正确 . 零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确 . 不正确 . 如图 AC 与 BC 共线，虽起点 同，但其终点却相同 .评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及 相互关系必须把握好 .AB 、2. 下列命题正确的是( C )A.

11、 与共线， 与共线，则 与 c 也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量 与不共线，则 与 都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中 , 正确的结论为( D )(1) ab 且| a|=| b| 是 a=b 的必要不充分条件(2) a b 且| a|=| b| 是 a=b 的既不充分也不必要条件(3) a 与 b 方向相同且 | a|=| b| 是 a=b 的充要条件(4) a 与 b 方向相反或 | a| | b| 是 a b 的充分不必要条件A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4)4

12、. 已知点 A分有向线段 BC 的比为 2，则在下列结论中错误的是(D )1A. 点 C 分 AB 的比是 - 132C 点 C 分 AC 的比是 -3B.点 C分 BA 的比是 -3D点 A分CB 的比是 2最新资料推荐5. 已知两点 P1（ 1, 6） 、P2（3,0） ，点 P（73 , y）分有向线段 P1P2 所成的比为 ，则3、y的值为（ C ）A 1 ，4B. 14 ，C 14 ，D ， 186. ABC的两个顶点 A（3，7）和B（-2，5），若 AC的中点在 x轴上， 顶点 C 的坐标是（ A ）BC的中点在 y 轴上，则A （2 ， -7）B （-7 ，2） C （-3 ，

13、 -5）D （-5 ， -3）7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件 .答案：必要非充分8. 已知 a、b 是两非零向量 ,且 a与 b 不共线 ,若非零向量 c与 a共线,则 c与 b 必定 答案：不共线9. 已知点 A（x,2）,B（5,1）,C（-4,2x） 在同一条直线上，那么 x=答案： 2或 7210. ABC的顶点 A（2，3），B（-4，-2）和重心 G（2，-1） ，则C点坐标为 答案： （8,-4）111. 已知M为ABC边AB上的一点，且 SAMC S ABC ，则 M分AB所成的比为81答案：7最新资料推荐巩固提高】12. 已知点 A （ 1, 4） 、

14、 B（5, 2） ，线段 AB上的三等分点依次为 P1、 P2，求 P1、 P2点的坐标以及 A,B 分 P1P2 所成的比 1解： P1（1,-2）,P 2（3,0）,A 、B分 p1 p2所成的比 1、 2分别为 - ,-222813. 过P1（1,3） 、 P2（7, 2）的直线与一次函数 y x 的图象交于点 P ，求P分P1P2 所55成的比值5解：12M(3，14. 已知平行四边形 ABCD 一个顶点坐标为 A（-2,1） ，一组对边 AB、CD 的中点分别为0）、 N（-1 ， -2），求平行四边形的各个顶点坐标 解：（，） ，（，） ，（，）15. 设 P 是 ABC uuur

15、 uuur (A). PA PB uuur uuur (C). PB PC所在r 平面内的一点，0ruuur uuur uuurBC BA 2BP ,则(B )uuuruuurr(B).PCPA0uuuruuuruuurr(D).PAPB+PC0(2, 1)，则 ar ( 1,1)或( 3,1).uuur uuur( 2,m),OB ( n,1), OC (5, 1).若 A,B,C 三点共线，16. 若平面向量 a,b满足 a b 1,a b 平行于 x 轴，17在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP 2PC，点 Q 是 AC 的中点 若PA（4,3） ，PQ （1,5）， 则BC等于 （）A（6,21）B（ 2,7）C（6， 21）D（2， 7）解析： 选 A.AC2