解决多元条件最值问题的基本策略案例

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持解决多元条件最值问题的基本策略案例湖州一中 陆剑钢一、教学目标1通过“自主练习与策略归纳”中两个简单问题的自主解答、归纳方法，进一步体会代数和几何两大思想的相互渗透在解决多元条件最值问题中的重要作用， 培养多角度分析问题 的意识 .2、在“思想细分与基本策略研究”环节中，通过交流合作、教师点拨逐步学习函数、方 程、基本不等式等解决该问题的基本策略， 掌握在题设特征动态变化中各基本策略的优劣与 联系.3、在“自我诊断”环节中，通过独立思考与解题，进一步加强对基本策略的理解，锻炼 合理运用基本策略的能力 .4、在“代数”和“几何”两大数学

2、思想的基础上，通过进一步细分而形成的多种基本策略 的探索过程，体验思维产生、发展和深化的过程，锻炼解题方法、技巧、规律的归纳能力， 领悟基础知识、基本思想、基本方法的价值二、重点与难点1、重点：解决多元条件最值问题的基本策略2、难点：在题设特征的动态差异下作出基本策略的合理抉择三、教学过程学前自主阅读与理解： 多元条件最值问题是指在二元约束条件 F x, y 0下，求二元目标 函数 z f x, y 的最值 .从高等数学的角度来看，是在空间直角坐标系中，求一个曲面z f x, y 上对应于约束曲线 F x, y 0的一条空间曲线的最高 （低）点 .一般情况下，需要 用多元微积分知识才能解决 .

3、但中学里讨论的是特殊情形，可以在空间问题平面化的思想下 寻找解决办法 .但鉴于解决办法具有多样性和技巧性，故本课重点针对容易理解和掌握的几 种基本策略进行介绍 .自主练习与策略归纳 已知x,y R，且x2 y 1，求x2 y2的最值 已知x,y R，且x2 y2 1，求x 2y的最值【设计意图】 通过解决简单问题， 让学生归纳尽可能多的方法， 进一步强化运用代数与几何两大数学思想的意识.思想细分与基本策略研究例1已知x,y R，若4x2y2 xy 1，求2x y的最大值.6文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持 方程策略：构造一元二次方程，转化成方程有解的问题 规划策略：

4、设目标函数的值为一系列数值，得到一个直线族，从直线族中寻找一条和约束曲线有公共点，且处于极限位置的直线.设t 2x y，则y 2x t，代入条件，并化简得 6x2 3tx t2 1 0，因x R，所以 9t224t210,得 t2-，所以 tmax 2 1055 基本不等式策略：由于约束条件和目标函数的结构具有很强的联系，可借助基本不等式，求出目标函数的最值.2条件可化得2x y 3xy 1，又2x y取得最大值时，x, y必定大于0，所以2xy 2、. 2xy，消去xy，并令t2x y可得到关于t的不等式t 2 2 t2 1，两边平方得t28，所以tmax52 .105故可引入参数，用三角代

5、换分别表示x, y .条件转化为x y -2屁21令x1，令 yxcos2222 .13x sin ， y .15cossin ，所以2x y 15sin、15可得2x y max2、105 .参数策略：由于约束条件可转化为平方和为定值的形式,sincos sin三角形策略：约束条件可转化成余弦定理的形式，通过构造三角形解决问题约束条件可化为2x 22y2 2x y112于4，于，是构造 ABC，使得各边长如图所示,1 cos A4，易得sin A4，2x:CC在厶ABC中，由正弦定理有4 iy2xB115sin BsinC 所以 2x y sin B sin Cy/158. B C B Cs

6、in cos 15 2 28Acos ,1522、10 （当且仅当5B=C，即y=2x时，2x y取得最大值）、 亠44亦可有 2x y sinB sinC sinB sin A B157.15PsinB故2xy max2-105中学生归纳方法的情况加【设计意图】本例的解析，教师可根据“自主练习与策略归纳”以个性化处理，体现“学生先行，交流呈现，教师点拨（断后）”的教学策略例2：（三元条件最值问题）已知 a,b,c R，满足a b ca2 b2c21，求a的最大值.方程策略：消元,构造一个以a为系数的一元二次方程b2 ab a1-0，由 022，所以amax3解析几何策略：视bx, c y，则

7、可理解为直线x y a与圆x22 2y 1 a相交,2 2可得a2,所以amax3.2 2均值不等式策略：利用bc，可得a221 a2，可得a2,632，所以amax3【设计意图】本例拓展至三元条件最值问题，帮助学生拓宽视界的同时，进一步深化基本策略的运用，教师可根据学生实际开展个性化的教学自我诊断1已知x, y 0 ,且x y xy 0 ,求x y的最小值.223452、对于c 0,当非零实数a,b满足4a22ab 4b2c 0,且使2a b最大时，一一 a b c的最小值为.简析：基本不等式策略：c4a222ab 4b2a b 23b 2ab2ab232b 2a2bc . 23 2b2a2

8、 b5小.2a3b时,故34552102a b82，当且仅当2a b22abccc方程与规划策略：设t 2ab，则 b 2a t，代入 4a2 2ab 4b2 c 0，得224a2 18at4t22 8c0可得t2 ，当52a 3b时，下同本题三角形策略:因为2a 22b 22 2a 2b 142c，所以构造三角形，下同例 1策略参数策略:2a21b22ab2 c，引入参数4.15.b . c sin2-b、c cos2，下同例1策略3452，所以一C mina b【设计意图】检验对基本策略的掌握情况，加深对基本策略的理解，锻炼运用能力解决多元条件最值问题的基本策略序号策略目的或步骤1方程策略转化成一个一元二次方程有解的冋题2函数策略转化成一个显函数的最值问题.引入参数，分离变量，再转化成关于参数的函数的最值问题.3基本（均值）不等式策略抓住约束条件与目标函数特征与联系，利用或构造基本（均 值）不等式解决问题.4规划策略