专题1.4 随机变量及其分布（理）（解析版）2021年高考数学（理）解答题挑战满分专项训练

1、专题1.4 随机变量及其分布（1）频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用。（2）求离散型随机变量X的分布列的步骤理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列注意：与排列、组合有关分布列的求法可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列与频率分布直方图有关分布列的求法可由频率估计概率，再求出分布列与互斥事件有关分布列的求法弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列与独立事件有关分布列的求法先弄清独立事件

2、的关系，求出各个概率，再列出分布列求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求，即可1支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：每周使用支付宝次数123456及以上40岁及以下人数334873040岁以上人数4566420合计7810141150（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数40岁以上人数合计（2

3、）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X(单位：元)，求X的数学期望附：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【试题来源】云南省云南师范大学附属中学2021届高三第七次月考【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.05的前提下，不

4、能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）；【分析】（1）根据题干列联表，计算，对照参照值得出结论；（2）视频率为概率，可得答案；记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为，满足二项分布，得出期望，又，可得奖励总金额的期望【解析】（1）由题中表格数据可得列联表如下：不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数10455540岁以上人数153045合计2575100将列表中的数据代入公式计算得的观测值，所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关（2）视频率为概率，在该市“支付宝达人”中，随机抽取1名用户，该用户为40岁及以下的“支付宝达人”的概率为，为

5、40岁以上的“支付宝达人”的概率为抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率为记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为，则由题意得，所以，所以的数学期望2如图是市旅游局宣传栏中的一幅标题为“20122019年我市接待游客人次”的统计图根据该统计图提供的信息解决下列问题（1）求市在所统计的这8年中接待游客人次的平均值和中位数；（2）在所统计的8年中任取两年，记其中接待游客人次不低于平均数的年份数为，求的分布列和数学期望；（3）由统计图可看出，从2016年开始，市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2021年市接待游客的人次参考公式：对

6、于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，参考数据：012390330【试题来源】河南省九师联盟2020-2021年高三下学期2月联考【答案】（1）平均数为(万人次)，中位数为(万人次)；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）1365万人次【分析】（1）根据统计图，分别利用平均数和中位数公式求解（2）由不低于平均数的有3年，得到的可能取值为0，1，2，分别求得其相应概率，列出分布列求期望（3）令，分别求得，进而求得，得到关于的回归方程求解【解析】（1）平均数为(万人次)，中位数为(万人次)（2）不低于平均数的有3年，的可能取值为0，1，2，则；所以的分布列为012故（3）2

7、016201720182019330510720960简化变量：012390330，当时，所以，所以即2021年接待的游客约为1365万人次3眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，改善眼的疲劳，达到预防近视的效果，某学校为了调查推广眼保操对改善学生视力的效果，在高二2000名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图所示频率分布直方图，一般认为视力在以上的为标准视力（1）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对高二年级做眼保健操和不做眼保健操的学生进行调查，得到表中部分数据，请结合频率分布直方图，求出，并回答在犯错的概率不超过的前提下，是否认

8、为视力与做眼保健操有关系？做眼保健操不做眼保健操非标准视力48标准视力14（2）若以该样本数据，来估计全年级学生的视力，从全年级标准视力的同学中，随机抽取4名同学，设4名同学中视力在以上的人数为，求的分布列和期望附：，其中【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高二上学期期末【答案】（1），；能；（2）分布列见解析，1【分析】（1）根据数据计算，进而可以做出判断；（2）利用二项分布直接列分布列，利用公式计算均值即可【解析】（1）标准视力的人数： 非标准视力的人数： 所以在犯错误概率不超过的条件下，能说明视力与做眼睛保健操有关（2）视力在以上的同学中，视力在以上的同学所占比例为所以 （，合

9、计1分，其他各1分）分布列是01234所以.4某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望【试题来源】广东省湛江市2021届高三一模【答案】（1）；（2）分布列见解析，【分析】（1）设事件，分别求出甲、乙同学选排球的概率，由相互独立事件同时发生的概率，即可得出结果（2）求出丙同学选排球的概率，X的可能取值为0，1，2，3，分

10、别求出概率，进而可得结果【解析】（1）设A表示事件“甲同学选排球” B表示事件“乙同学选排球”则，因为事件A，B相互独立，所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为；（2）设C表示事件“丙同学选排球”，则，X的可能取值为0，1，2，3，则；，X的分布列为X0123P数学期望为.52019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或

11、历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【试题来源】江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研考试【答案】（1）表格答案见解析，有999%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）补全列联表，计算出后可得结论；（2）由分层抽样得抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所

12、有可能取值为0，1，2，计算出概率得分布列，由分布列计算期望【解析】（1）性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800因为，所以有999%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人随机变量X的所有可能取值为0，1，2所以，所以X的分布列为X012P所以6某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包（十斤肉类）礼包（十斤蔬菜）和礼包（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价

13、值不等的代金券根据以往经验得知，会员购买礼包和礼包的概率均为（1）预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理；（2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立，已知购买礼包或礼包均可以获得50元商场代金券，购买礼包可以获得25元商场代金券，设是三人获得代金券金额之和求的分布列和数学期望【试题来源】山东省青岛市2021届高三一模数学试卷【答案】（1）（斤）；（2）分布列见解析；期望为【解析】（1）会员购买礼包的概率为，所以准备鸡蛋：（斤）（2）的所有可能取值为150，125，100，75，所以的分布列如

14、以7电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”附：，0.050.013.8416.635（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（3）将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差【试题来源】福建省泉州市永春二

15、中、永春六中2021届高三第三次联考【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：，方差：【分析】（1）根据频率分布直方图读取数据，完成22列联表，直接套公式求出，对照参数下结论；（2）分析出随机变量，套公式易求出的分布列、期望与方差【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25

16、，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为由题意，从而的分布列为0123所以，【名师点睛】（1）独立性检验的题目直接根据题意完成完成22列联表，直接套公式求出，对照参数下结论，一般较易；（2）求离散型随机变量的分布列时，要特别注意 随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布8某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为，每件尺寸限制为，其中头等舱乘客免费行李额为，经济舱乘客免费行李额为某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表所示的数据：携带行李重量（）头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152（1）请完

17、成列联表，并判断是否在犯错概率不超过005的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数经济舱乘客人数合计（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补贴券”，记赠送的补贴券总金额为元，求的分布列与数学期望参考公式：，其中参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【试题来源】2021届普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（六）【答案】（1）列联表见解析，有关；（2）分布列见解析，元【分析】（1）根据表格中的数

18、据，得到列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解；（2）根据题意得出补贴券总金额的所有可能取值，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解【解析】（1）根据表格中的数据，得到列联表：托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数53255经济舱乘客人数37845合计9010100可得，所以在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关（2）根据题意可得，托运行李超出免费行李额且不超出的旅客有7人（其中女性旅客4人），从中随机抽取4人，则其中女性旅客的人数可能为1，2，3，4，所以补贴券总金额的所有可能取值为100元，200元，300元，400元，则，则的分

19、布列为100200300400故（元）9某校高一年级进行安全知识竞赛（满分为100分），所有学生的成绩都不低于75分，从中抽取100名学生的成绩进行分组调研，第一组，第二组，第五组（单位：分），得到如下的频率分布直方图（1）若竞赛成绩不低于85分为优秀，低于85分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，请判断是否有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关；（2）用分层抽样方法，在成绩不低于85的学生中抽取6人，再从这6人中随机选3人发言谈体会，设这3人中成绩在的人数为，求的分布列与数学期望附：，临界值表：0.100.050.0250.010.0052.7063

20、.8415.0246.6357.879【试题来源】河南省中原名校2020-2021学年高三下学期质量考评一【答案】（1）有；（2）分布列见解析，【分析】（1）由题意得出列联表，根据计算公式得到，进而判断结果；（2）用分层抽样的方法，应分别在竞赛成绩在，的组内抽3人，2人，1人，再根据超几何分布得出分布列，从而求得数学期望【解析】（1）由已知，竞赛成绩在的学生人数为，竞赛成绩在的学生人数为，竞赛成绩在的学生人数为，所以竞赛成绩不低于85（优秀）的学生人数为60，低于85（非优秀）的学生人数为40因为成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，所以列联表如下：非优秀优秀合计男生153

21、550女生252550合计4060100所以的观测值因为，所以有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关（2）由（1）知竞赛成绩在的学生人数为30，竞赛成绩在的学生人数为20，竞赛成绩在的学生人数为10，所以用分层抽样的方法，应分别在竞赛成绩在，的组内抽3人，2人，1人，所以的可能取值为0，1，2，3，所以，所以的分布列为0123所以【名师点睛】超几何分布的特征是考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型102020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取5

22、00名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩(精确到整数)；（2）由频率分布直方图可认为这次竞赛成绩服从正态分布，其中近似等于样本的平均数，近似等于样本的标准差s，并已求得用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在之外的人数为，求的值(精确到0001)附：（1）当时，；（2）【试题来源】湖北省新高考九师联盟2021届高三下学期2月联考【答案】（1）(分)；（2）【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解（2）由，求得，进而得到或，然后由求解【解析】（1），分（2）由题意知

23、且，所以，所以，所以或，所以，所以【名师点睛】（1）若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的关于直线X对称和曲线与x轴之间的面积为1（2）二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(Xk)其中k0，1，n，q1p11近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评

24、价系统现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为；其中对商品和服务均为好评的有80次（1）是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：求对商品和服务全好评的次数的分布列及其期望 （其中）【试题来源】江苏省百师联盟2021届高三下学期3月摸底联考【答案】（1）不可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）分布列见解析，【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：对服务好评对服务不满意总计对商品好评对

25、商品不满意总计，所以，不可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是其中；的分布列为由于，所以【名师点睛】求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关12某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）

26、若从甲、乙两人次的成绩中各随机抽取次进行分析，设抽到的次成绩中，分以上的次数为，求随机变量的分布列和数学期望【试题来源】云南省保山市第九中学2021届高三上学期开学考试【答案】（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，【分析】（1）计算出甲、乙两人次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量的取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可计算得出【解析】（1）甲次测试成绩的平均分为，方差为，乙次测试成绩的平均分为，方差为，所以，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此

27、，【名师点睛】求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率13某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期记随机变量、分别表示顾客购买型手机和型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，和的分布列如下表所示：12340.10.40.40.112340.40.10.10.4（1）若某位顾

28、客购买型和手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；（2）电商平台销售一部型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元记电商平台销售两部型手机所获得的利润为（单位：元），求的分布列；（3）比较与的大小（只需写出结论）【试题来源】北京市2021届高三年级数学学科综合能力测试试题【答案】（1）（2）见解析（3）【分析】（1）某位顾客购买型和手机是独立事件，由独立事件的概率公式求解即可；（2）先得出的可能取值，再

29、算出相应概率，即可得出的分布列；（3）由以往销售数据统计，结合数据的集中和离散程度得出【解析】（1）某位顾客购买型和手机是独立事件，则这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率为；（2）的可能取值为，则的分布列为（3）【名师点睛】求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）先判断随机变量是不是离散型随机变量，主要看随机变量的值能否按一定的顺序一一列举出来；（2）明确随机变量可取哪些值；（3）求取每一个值的概率；（4）写出分布列14中华人民共和国道路交通安全法第条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“行让行人”下表是某十字路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“

30、礼让行人”行为的统计数据：月份123456不“礼让斑马线驾驶员人数120105100859080（1）请根据表中所给前个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”试判断月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起天内需完成罚款缴纳，记录月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为，若服从正态分布，求该月没能在 天内缴纳人数参考公式：【试题来源】江苏省苏州市工业园区苏附2019-2020学年高二下学期期中【答案】（

31、1）；（2）达到“理想状态”；（3）2【分析】（1）请根据表中数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）利用回归方程计算时的值，比较即可得出结论；（3）根据正态分布的性质，结合即可得答案【解析】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算，；，；与之间的回归直线方程；（2）由（1）知，当时，；且，月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”；（3）因为服从正态分布，所以，该月没能在天内缴纳人数为，【名师点睛】求回归直线方程的步骤：依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为15垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程搞好垃圾分类收集处理

32、，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）：能正确进行垃圾分类不能正确进行垃圾分类总计55岁及以下903012055岁以上503080总计14060200（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？（2）将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次

33、记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和均值附：，其中0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【试题来源】山东省济宁市2021届高三一模【答案】（1）有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关；（2）答案见解析【分析】（1）根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小，即得结论；（2）由条件可知，根据二项分布计算分布列和数学期望【解析】（1）由列联表可知，因为，所以有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关（2）由题意可知，从该市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取

34、1人，不能正确进行垃圾分类的频率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为0123所以16为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束假设每局比赛小明获胜的概率都是（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明6：2的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望【试题来源】广东省肇庆市2021届高三二模【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）恰 好打了7局小明获胜的概率是，恰好打了7局小亮获胜的

35、概率为，所以比赛结束时恰好打了7局的概率为（2）的可能取值为2，3，4，5，或所以的分布列如下：234517某校将进行篮球定点投篮测试，规则为每人至多投次，先在处投一次三分球，投进得分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得分，未投进不得分测试者累计得分高于分即通过测试，并终止投篮甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率【试题来源】广东省深

36、圳市2021届高三一模【答案】（1）；（2）【分析】（1）记甲同学累计得分为，计算出甲同学两分球和三分球投篮命中的概率，进而可计算得出，即为所求；（2）设“甲得分比乙得分高”为事件，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件，计算出、，利用条件概率公式可求得，即为所求【解析】（1）甲同学两分球投篮命中的概率为，甲同学三分球投篮命中的概率为，设甲同学累计得分为，则，所以，甲同学通过测试的概率为；（2）乙同学两分球投篮命中率为，乙同学三分球投篮命中率为设乙同学累计得分为，则，设“甲得分比乙得分高”为事件，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件，则，由条件概率公式可得【名师点睛】用定义法求条件概率的步骤：（

37、1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算、；（3）代入公式求18某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为(单位：元)，如图所示，经计算得（1）求；（2）根据去年的统计结果，该电商平台今年预备推出“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”两种优惠券，为了进一步了解用户的购买意向，计划把去年的用户按消费金额分成四组，用分层抽样抽取10位去年的老用户作为幸运用户，赠送礼品并进行问卷调查（1）计算各组应抽的老用户数；（2）为了

38、了解用户对今年的两种优惠券的意见，确定两种优惠券的投放比例，从，两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈，记从一组中抽取的人数为，求的分布列和数学期望【试题来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷）【答案】（1）；（2）（1）一组中抽(人)，一组中抽(人)，一组中抽(人)，一组中抽(人)；（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据，且，利用正态分布的对称性求解（2）（1）根据正态分布的对称性分别得到消费金额在，的概率，再利用分层抽样法求解（2）由（1）知，两组各有幸运用户3人，的所有可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望【解析

39、】（1）因为，且由正态分布的对称性得（2）（1）根据正态分布的对称性得，所以从一组中抽(人)，从一组中抽(人)，从一组中抽(人)，从一组中抽(人)（2）由（1）知，两组各有幸运用户3人，的所有可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为0123所以的数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识19某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，表示2018年月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：123456781214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望参考数据：，参考公式：相关系数【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精