大学高数 向量及其线性运算[基本功课]

1、 北京理工大学北京理工大学 2010-2011学年第二学期学年第二学期 1教书育人 2教书育人 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. . 向量表示：向量表示： 以以 1 M为起点，为起点， 2 M为终点的有向线段为终点的有向线段. 1 M 2 M a 21M M 模长为模长为1 1的向量的向量. . 21M M 0 零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0 |a 21M M | |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. . 单位向量：单位向量： 一、向量的概念一、向量的概念 或或 或或 0 a a 与与 同方向的单位向量可记作同方向的单位向量可记作或或 a

2、e 零向量没有方向，或者说其方向是任意的零向量没有方向，或者说其方向是任意的 3教书育人 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量 不考虑起点位置的向量. . 相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. . 负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. . a 向径：向径： a b a a 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点 构成的向量构成的向量 ，叫做点，叫做点M的的 向径向径. . OM M 即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移 动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都动后

3、仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都 是自由向量。是自由向量。 4教书育人 1 定义加法：定义加法：cba a b c （平行四边形法则）（平行四边形法则） 特殊地：若特殊地：若a b a b c |bac 分为同向和反向分为同向和反向 b a c |bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的加减法二、向量的加减法 5教书育人 向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律： （1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa 2 定义减法定义减法)( baba

4、 a b b b c ba bac )( ba ba a b 6教书育人 , 0)1( a 与与a 同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a 反向，反向，|aa a a 2 a 2 1 三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法 7教书育人 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律： （1 1）结合律：）结合律：)()(aa a )( （2 2）分配律：）分配律：aaa )( baba )( . 0 ab aba ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯 的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理 两个向量的平

5、行关系两个向量的平行关系 8教书育人 证证充分性充分性显然；显然； 必要性必要性a b 设设, a b 取取 取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab 取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab .ab 即即有有 .同同向向与与此此时时ab aa 且且a a b .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a ，故故0 证毕。证毕。即即. 9教书育人 同同方方向向的的单单位位向向量量，表表示示与与非非零零向向量量设设aa 0 按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定， 0 |aaa . | 0 a a a 上式表明：一

6、个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量. 10教书育人 例例1 1 化简化简 5 3 2 1 5 ab bba 解解 5 3 2 1 5 ab bba ba 5 5 1 2 5 1)31( . 2 5 2ba 11教书育人 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形平分的四边形必是平行四边形. 证证 AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD 与与 平行且相等平行且相等, BC 结论得证结论得证. A B C D M a b 12教书育人

7、向量的概念向量的概念 向量的加减法向量的加减法 向量与数的乘法向量与数的乘法 （注意与标量的区别）（注意与标量的区别） （平行四边形法则）（平行四边形法则） （注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向） 四、小结四、小结 13教书育人 14教书育人 一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理 .上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABu u A B .ABAB ABu uAB uABAB ，即，即 的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数 是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时 轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果

8、数如果数 15教书育人 ou A B 1 轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，是是与与设设ue .)(eABAB 的的相相互互位位置置如如何何， 三三点点轴轴上上任任意意三三点点，不不论论这这是是设设uCBA, eBCeABeAC )()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e 16教书育人 证证, 1 uOA , 1e uOA 故故 eueu 12 .)( 12 euu ou A B 1 e 1 u 2 u , 2e uOB 同理，同理， OAOBAB 于是于是 17教书育人 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念： , 0 a, 0 b a b 向向量量a

9、 与与向向量量b 的的夹夹角角 ),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 18教书育人 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影 u A A 19教书育人 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影 u A A B B 已已知知向向量量的的起起点点A和和终终点点B在在 轴轴u上上的的投投影影分分别别为为BA , 那那 么么轴轴u上上的的有有向向线线段段BA 的的 值值，称称为

10、为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影. 数数 20教书育人 ABjuPr .BA 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以 轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦： ABjuPr cos| AB 证证 u A B A B B ABjuPrABj u Pr cos| AB u 21教书育人 定理定理1 1的说明：的说明： 投影为正；投影为正； 投影为负；投影为负； 投影为零；投影为零； u a b c (4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；

11、0)1(, 2 2 )2(, )3(, 2 22教书育人 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2） 两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在 该该轴轴上上的的投投影影之之和和. . .PrPr)(Pr 2121 a ja jaaj A A B B C C （可推广到有限多个）（可推广到有限多个） u 1 a 2 a 23教书育人 特别地，如果把上述向量特别地，如果把上述向量a在轴上在轴上 的投影换成向量的投影换成向量a在在向量向量b上上的投影的投影, 可得到类似的概念与性质：可得到类似的概念与性质： .)()()( );,(|)( ccc b bab

12、a baCosaa 24教书育人 二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标的坐标 1 M 1 P 2 M 2 P 上的投影分别为点上的投影分别为点在轴在轴点点 为一条数轴为一条数轴为一向量，为一向量，设设 2121 21 ,PPuMM uMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设 2121 ,uuuPP uo ,Pr 21uu aMMj 1221 OPOPPP , 12 uu . 12 uuau 25教书育人 如果如果e 是与是与u轴正向一致的单位向量，轴正向一致的单位向量， .)( 12 euu 设设a 是是以以),( 1111 zyxM为为起起点点

13、、),( 2222 zyxM 为为终终点点的的向向量量， 过过 21, M M各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 , 这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段 21M M为为对对角角线线的的 长长方方体体. 由例由例1知知 eaPP u 21 26教书育人 x y z o 1 M P N Q R 2 M 以以kji ,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量. i j k kajaiaa zyx 向量在 向量在 轴上的投影轴上的投影 x 向量在 向量在 轴上的投影轴上的投影 y 向量在 向量在 轴上的投影轴上的投影 z 12 xxa x 12 yy

14、a y 12 zzaz kzzjyyixxMM )()()( 12121221 27教书育人 kzzjyyixxMM )()()( 12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式： 在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaia zyx 向量的向量的坐标坐标：, zyx aaa 向量的向量的坐标表达式坐标表达式： ),(, zyxzyx aaaaaaa或或 , 12121221 zzyyxxMM 特殊地：特殊地： ,zyxOM 28教书育人 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 , zyx aaaa ,

15、zyx bbbb , zzyyxx babababa , zzyyxx babababa , zyx aaaa ;)()()(kbajbaiba zzyyxx ;)()()(kbajbaiba zzyyxx .)()()(kajaia zyx 29教书育人 解解 , 111 zzyyxxAM , 222 zzyyxxMB 例例 2 2 设设),( 111 zyxA和和),( 222 zyxB为为两两已已知知 点点，而而在在AB直直线线上上的的点点M分分有有向向线线段段AB为为 两两部部分分AM、MB，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某数数 )1( ，即即 MB AM ，求求分分点点的的坐

16、坐标标. A B M x y z o 为直线上的点，为直线上的点， ),(zyxM 30教书育人 由题意知：由题意知： MBAM , 111 zzyyxx , 222 zzyyxx 1 xx )( 2 xx 1 yy )( 2 yy 1 zz )( 2 zz , 1 21 xx x , 1 21 yy y , 1 21 zz z M为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时， , 2 21 xx x , 2 21 yy y . 2 21 zz z # 31教书育人 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正

17、向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 x y z o 1 M 2 M 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 32教书育人 x y z o 1 M 2 M 由图分析可知由图分析可知 cos|aa x cos|aa y cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. . 222 | zyx aaaa P Q R 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式 2 1 2 1 2 121 RMQMPMMM 33教书育人 0 222 zyx aaa当当 时，时， ,cos 222 zyx x aaa

18、a ,cos 222 zyx y aaa a .cos 222 zyx z aaa a 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式 34教书育人 1coscoscos 222 方向余弦的特征方向余弦的特征 0 a |a a .cos,cos,cos 特殊地：单位向量为特殊地：单位向量为 , zyx aaa 222 / zyx aaa 35教书育人 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向 a 222 )6(76| a ,11 |a a 0 a, 11 6 11 7 11 6 kji 或或 0 a |a a . 11 6 11 7 11 6 kji 3

19、6教书育人 解解 设向量设向量 21P P的方向角为的方向角为 、 、 , 3 , 4 , 1coscoscos 222 . 2 1 cos , 2 1 cos , 2 2 cos 例例 4 4 设有向量设有向量 21P P, ,已知已知2 21 PP，它与，它与x轴轴 和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和 4 ，如果 ，如果 1 P的坐标为的坐标为 )3 , 0 , 1(，求，求 2 P的坐标的坐标. 37教书育人 . 3 2 , 3 设设 2 P的坐标为的坐标为),(zyx, 1 cos x 21P P 2 1 x 2 1 , 2 x 0 cos y 21P P2 0 y 2 2 ,

20、 2 y 3 cos z 21P P2 3 z , 2, 4 zz 2 P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2( 2 1 38教书育人 解解pnma 34 )853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 x a, 在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j 7. 39教书育人 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式. 四、小结四、小结 （注意分向量与向量的坐标的（注意

21、分向量与向量的坐标的区别区别） 40教书育人 作业作业 P3, 3,4 P4, 5 P10-11, 2, 7, 10, 15, 41教书育人 思考题思考题 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量 nm ,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度. 42教书育人 思考题解答思考题解答 对角线的长为对角线的长为 |,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm 1, 3 , 1 nm , 3| nm ,11| nm 平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11, 3. m n 43教书育人 练练 习习 题题 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 已知已知rr

22、,4 与轴与轴u的夹角是的夹角是 60，则，则rju Pr=_=_ _ _； 2 2、 已知两点已知两点 1 M)2,1,0(和和 2 M)0,1,1( 则则 21M M _；-2-2 21M M= =_； 3 3、 已知两点已知两点 1 M)1,2,4(和和)2,0,3( 2 M, ,则向量则向量 21M M_ ， 21M M=_=_，方向，方向 余弦余弦 cos=_=_； cos= =_； cos= =_； 方向方向 角角_ ,_ , _ ,_ , _； 4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib 532 及及 kjic 22 , , 0 a 则则_； 44教书育人 0 b =

23、=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0 c = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 5 5、一一向向量量与与zoxyozxoy,三三个个坐坐标标平平面面的的夹夹角角 , 满满足足 2 cos+ + 2 cos+ + 2 cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . 二二 、一一向向量量的的终终点点在在点点)7,1,2( B，它它在在轴轴X，轴轴Y 和和轴轴Z上上的的投投影影依依次次为为74,4和和 ，求求这这向向量量的的 起起点点的的坐坐标标A . . 三三 、求平行于向量、求平行于向量 6,7,6 a 的单位向的单位向 量量 . .

24、45教书育人 练习题答案练习题答案 一一、1 1、2 2； 2 2、 4 , 4 , 2,2, 2, 1 ； 3 3、 ; 3 , 4 3 , 3 2 , 2 1 , 2 2 , 2 1 , 2 ,1 , 2, 1 4 4、 3 2 , 3 1 , 3 2 , 38 5 , 38 3 , 38 2 , 3 1 , 3 1 , 3 1 ； 5 5、2 2. . 二二、 A( (- -2 2, ,3 3, ,0 0) ) . . 三三、 11 6 , 11 7 , 11 6 11 6 , 11 7 , 11 6 或或 . . 46教书育人 思考题思考题 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线

25、的对角线 AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba , 47教书育人 思考题解答思考题解答 BCAD AM MD).( 2 1 ba DC AB AM MB ).( 2 1 ba A B C D M a b 48教书育人 一、一、 填空：填空： 1 1、 向量是向量是_的量；的量； 2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模； 3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量； 4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量； 5 5、 与与_无关的向量称为自由向量；无关的向量称为自由向量； 6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做_ _ _； 7 7、两两向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我们们称称这这两两个个向向量量相相等等； 8 8、两两个个模模相相等等、_ _