二元一次方程组易错题

1、初中数学七年级二元一次方程组易错题1. 不能正确理解二元一次方程组的定义r-/- 2即-1x-2y = f = 5 T+/-I1 已知方程组：，_2y+32-5，卜“】，心“，正确的说法是（）A. 只有是二元一次方程组；B. 只有是二元一次方程组；C. 只有是二元一次方程组；D. 只有不是二元一次方程组.错解：A或C.解析：方程组是二元一次方程组，符合定义，方程组是二元一次方程组，符合定义，而且是最简单、最特殊的二元一次方程组 .正解：D.2. 将方程相加减时弄错符号仇用加减法解方程组爲駡13错解:-.所以原方程得，所以:，把丫代入，得-4L，解得13羞=”3组的解是正解:错解解析:在加减消元

2、时弄错了符号而导致错误2得_，所以.;，2F 二一，把.代入，得23.+4x- = 5夕，解得3727.所以原方程组的错解:解是37卫2723. 将方程变形时忽略常数项利用加减法解方程组+ 2y - 45x-4y = 711 11X 二 .X -X 2+得-皿，解得 .把 -代入得，解得-.所以原方程组的解是11错解解析：在X 2+这一过程中只把左边各项都分别与2相乘了，而忽略了等号右边的常数项4.2口 “口 7x11.24 严皂.所以原正解：X 2+得-：r = -，解得.把二代入得，解得-方程组的解是L：1929384.不能正确找出实际问题中的等量关系两个车间，按计划每月工生产微型电机68

3、0台，由于改进技术， 上个月第一车间完成计划的第二车间完成计划的 115 %，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台?120 %,解析:若设两车间上个月各生产微型电机r台和7台，则列方程组为（）.X- 630-A.+沟+(1 + 113%) = 798 ；D.B.C.Cl-120% + (l-llj = 680错解：B或D.错误的原因是等量关系错误，本题中的等量关系为：（1 ）第一车间实际生产台数+第二车间实际生产台数=798台；（2）第一车间计划生产台数+第二车间计划生产台数=680台.正解：C.2011中考总复习数学教材过关训练：二元一次方程组一、填空题

4、x 3,1.已知是方程ax-2y=2的一个解，那么a的值是.y 5答案：4提示：方程的定义.2.2x+y=7的解有个，在自然数的范围内的解分别是 .答案：无数 x=1,y=5;x=2,y=3;x=3,y=13. 若-5xa-3by8与3x8y5a+b的和仍是一个单项式 ，则a=,b=.答案：2-2提示：a-3b=8， 5a+b=8,解二元一次方程组 .4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%,这样全市人口将增加1%,求这个城市现在的城市人口数与农村人口数.若设农村现有人口为x万,城镇现有人口为y万,则所列方程组为答案：x y 42(1 0.8%)y (1

5、 1.1%)x 42(1 1%)A.0,-1B.2,1C.1,0答案：B提示：a-b=1 , a+b-2=1,一兀次方程的定义.x2y10,口6.二元-次方程组的解是（)y2xx4x3A.B.y3y6x2x4C.D.y4y2答案：C提示：用代入法.7.如图7-38,AB 丄 BC, / ABD的度数比/ DBC的度数的两倍少5.若xa-b-2ya+b-2=11是二元一次方程，那么a,b的值分别是面可以求岀这两个角的度数的方程组是D.2,-315，设/ ABD和/ DBC的度数分别为 x、y,那么下提示：列二元一次方程组二、选择题B.x 2y 152x 90D.x 2y 15x y 90A.x

6、y 15x y 90C.x 15 2y答案：B提示：列二元一次方程组8.小明郊游，早上9时下车，先走平路然后登山，到山顶后又原路返回到下车处，正好是下午2时,若他走平路每小时行4千米，爬山时每小时走 间不计）.3千米,下山时每小时走6千米,小明从上午到下午一共走了千米（途中休息时A.5答案：CB.10C.20D.答案不唯一提示：设平均路长为a,山路为 b,W + + b a =5,得 a+b=10.43 64三、解答题9.解方程组2 y 55（代入法）；2x y 54x 3y 5,2x y 2（加减法）；x 丫 1,323x 2y 22;3(x 1) y 5, 5(y 1)3(x 5).答案:

7、0,5；x 0.5, x 6, y 1; y 2；x 5, y 7.10.小颖解方程组ax 2v 7y时，把a看错后得到的解是ex dy 4x5,x 3,而正确解是请你帮y 1.y 1.提示：求解二元一次方程组小颖写岀原来的方程组答案：3x 2y 7,x y 4.提示：求解关于a、b的二元一次方程组11.甲、乙两种商品原来的单价和为100元.因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.甲、乙两种商品原来的单价各是多少？答案：甲、乙两种商品原来的单价各是40元和60元.提示：设甲、乙两种商品原来的单价各是x、y 元.由 x+y=100 , (

8、1+10%)x+(1+40%)y=120 解得.12.某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可住 8人，小的宿舍每间可住 5人.该校198个住宿生恰好住满这 30间宿舍.问大、小宿舍各有多少间？答案：大、小宿舍各有16和14间.提示：大、小宿舍各有 x、y间，由x+y=30 , 8x+5y=198解得.13.(2010江苏南通中考)某校初三(2)班40名同学为希望工程捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：捐款阮1人数6斗表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据已有的信息求岀捐款2元和3元的人数分别是多少？ 答案：捐款2元和3元的人数分别是15人和12人.提示：设捐款

9、2元和3元的人数分别是 X、y人，由6+2x+3y+28=100 , 6+x+y+7=40解得.14. 一辆汽车在公路上行驶，看到里程碑上是一个两位数,1小时后又看到一里程碑，其上的数也是一个两位数，且刚好它的十位数字与个位数字与第一次看到的两位数的十位数字与个位数字颠倒 了位置，又过了 1小时后看到里程碑上是一个三位数，她是第一次看到的两位数中间加一个0,求汽车的速度和第一次看到的两位数.答案：速度为45千米/时，数字为16.提示：设第一次看到的两位数个位数字是x，十位数字是 y, 10x+y-(10y+x)=100y+x-(10x+y),由题意知y=1解得x.二元一次方程组应用探索二元一次

10、方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数yX10y+x10y+x=10x+y+27解方程组10X yX y 9 ，得X1，因此，所求的两位数是14.10y x1

11、0x y27 y4点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元， 然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的， 象本题，如果直接设这个两位数为X，或只设十位上的数为 X，那将很难或根本就想象不岀关于 x的方程一般地，与 数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为元”，然后列多元方程组解之.二、利润问题例2 一件商品如果按定价打九折岀售可以盈利20% ;如果打八折岀售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖岀价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖岀价为0.9x元，获利（0.9x-

12、y）元，因此得方程 0.9x-y=20%y ;打八折时的卖岀价为0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程 0.8x-y=10.0.9x y 20%yx 200解方程组，解得，0.8x y 10y 150因此，此商品定价为 200元.点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖岀价.利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖岀价-进价；二是：利润=进价X利润率（盈利百分数）特别注意 利润”和 利润率”是不同的两个概念.三、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25个或螺母20个，如果一个螺 栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓， 多

13、少名工人生产螺母，才能使每天生 产岀来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套， 只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意,每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数 X1 因此，设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓25 x个，螺母20 y个，依题意，得x y 120x 20，解之，得50x 2 20y 1y 100故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产岀来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题

14、的等量关系是：(1) 二合一 ”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即甲产品数a乙产品数；b(2) 三合一 ”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品甲产品数乙产品数丙产品数数应满足的相等关系式是：甲厂品数乙厂品数丙厂品数abc四、行程问题例4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在 A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相 同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A、C两个加油站驶去，

15、结果往 B站驶来的团伙在 1小时后就被其中一辆迎 面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则3 X 7120，整理，得x y 120y 40，解得 80y 120y 40因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时.点评：相向而遇”和 同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着 一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；同向追及”时，快者所走

16、的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.五、货运问题典例5某船的载重量为 300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种 货物每吨体积为 6立方米，乙种货物每吨的体积为 2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积, 甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：充分利用这艘船的载重和容积”的意思是货物的总重量等于船的载重量”且货物的体积等于船的容积”设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则6xy 300，整理，得2y 1200x y 3003x y 600x解得150150因此,甲、乙两重货物应各装150 吨.点评:由实际问题列岀的方程组一般都可以再化简,因此,解实际问题的方程组时要注意先化

17、简时一般是去分母或两边同时化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度.除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.六、工程问题例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力， 每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成4订货的二；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不5仅比规定时间少用 1天，而且比订货量多生产 25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是 y天，依题意，得150y5x，解得200 y 1 x 25x 3375y

18、 18点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即工作量=工作时间x工作效率”以及它们的变式 工作时间=工作量 勺:作效率，工作效率 =工作量 勺:作时间”其次注 意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“ 1”示总工作量.分式方程应用题分类解析分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中岀现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题.一、营销类应用性问题例1某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料 0.5kg少3元，比乙种原料0.5kg多1元，问混合后的

19、单价 0.5kg是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等， 要了解它们的意义，建立它们之间的关系式.二、工程类应用性问题例2某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合2做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做 5天完成全部工程的，厂家3需付甲、丙两队共 5500元.求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？若工期要求不超过 15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明 理由.分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量. 对于工期，一般情况下把整个工作量

20、看成 1,设岀甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x天，y天，z天，可列岀分式方程组.三、行程中的应用性问题例3 甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5倍直达快车比普通快车晚出发 2h,比普通快车早 4h到 达乙地，求两车的平均速度.分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度X时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等.四、轮船顺逆水应用问题例4 轮船在顺水中航行 30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时

21、间相等，已知水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间，即30千米20千米顺水航行速度逆水航行速度设船在静水中的速度为 x千米/时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决.五、浓度应用性问题例5要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%溶质分析：浓度问题的基本关系是：=浓度.此问题中变化前后三个基本量的关系如下表:溶液设加入盐X千克.溶液溶质浓度加盐前4040 X 15%15%加盐后40 + X40 X 15%+ X20%根据基本关系即可列方程.六、货物运输应用性问题例

22、6 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了 270t .问：乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运it付运费20元计算）分析：解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比，再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的n倍，列岀分式方程.二元一次方程组实际问题赏析【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概

23、括为审、找、列、解、答 ”五步，即：（1审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找岀能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列岀必需的代数式，从而列岀方程组；（4）解：解这个方程组，求岀两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案【典题精析】例1 （ 2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有 50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得x

24、y 50,6x 4y 230.x 15,解得，y 35.故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆例2 （2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（元）100250450现在该公司收购了 140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）（1）如果要求在18天内全部销售完这 140吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式全部直接销全部粗加工后销尽量精加工，剩余部分直接售售销售获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：(1

25、 )全部直接销售获利为：100X140=14000 (元)；全部粗加工后销售获利为：250X140=35000 (元);尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450X ( 6X18)+ 100X (140 6X18) =51800 (元).(2)设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.x y 15,由题意，得6x 16y140.x 10,解得，y 5.故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在

26、实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积(1) 求：原计划拆、建面积各是多少平方米？(2) 若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约 是多少平方米？答案：(1 )原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米；(2)可绿化面积为 1488平方米.列二元一次方程组解应用题之典型题题型一配套问题1 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身 3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少 布料才能使做的衣身和衣袖恰

27、好配套？题型二年龄问题2甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁” 乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将 61岁” 请你算一算，甲、乙现在各多少岁？题型三百分比问题3有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%乙种合金含银37.5%,现在要熔制含银30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少？题型四数字问题4. 有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5,如果把这两个数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是 143,求这个两位数.题型五古算术问题5 巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。364只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。

28、诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗 羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个？题型六行程问题6甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20分后相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千 米？题型七工程问题7.某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了 30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多

29、修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修 0.4千米，结果如期完成。问甲乙两队原计划每天各修多少千米？题型八方案决策冋题8 已知某电脑公司有 A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将 100500元钱全部用于从 该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。9 某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至 7500元.当地一家

30、农工 商公司收获这种蔬菜140吨该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每 天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制，公司必须在 15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此，公司 研制了三种加工方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售. 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成.你认为选择哪种方案获利最多？为什么？二元一次方程组应用专题拔高训练规律方法应用（难题）（浓度问题） 有4%的盐水若干克，蒸发掉一些水分后，浓度变为10% ;然后再加进 4%的盐水300 克，混合后变为浓度是 6.4 %的盐水，问最初盐水多少克？（分配问题）戴着红凉帽的若干女生与戴着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船，一女生 说：“我看到船上红、 白两种帽子一样多.” 一男生说：“我看到的红帽子是白帽子的2倍”.请问：该船上男、女生各几人？（行程问题） 有一头狮子和一只老虎在平原上决斗，争夺王位，？最后一项是进行百米来回赛跑（合计200m），谁赢谁为王已知每跨一步，老虎为3m,狮子为2m, ?这种步幅到最后不变，若狮子每跨 3步，老虎只跨2步，那么这场比赛结果如何？（行程问题）通讯员要在规