（课标专用）2020届高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念及其表示课件 文

1、第六章 数 列 6.1数列的概念及其表示 高考文数高考文数 (课标专用) 考考 点数列的概念及其表示点数列的概念及其表示 (2016课标全国,17,12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求an的通项公式. 2 n a 五年高考 A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组 解析解析(1)由题意得a2=,a3=.(5分) (2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为an的各项都为正数,所以=. 故an是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.(12分) 1

2、2 1 4 2 n a 1n n a a 1 2 1 2 1 1 2n 思路分析思路分析(1)根据数列的递推公式,由a1可求出a2,由a2求出a3.(2)把递推公式因式分解得出an 是等比数列,求出其通项公式. B B组组 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考考 点数列的概念及其表示点数列的概念及其表示 1.(2019上海,8,5分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=. 答案答案 31 16 解析解析n=1时,S1+a1=2,a1=1. n2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2, 两式相减得an=an-1(n2), an是以1为首项,为

3、公比的等比数列, S5=. 1 2 1 2 5 1 11 2 1 1 2 31 16 2.(2015江苏,11,5分)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数列前10项的和为. 1 n a 答案答案 20 11 解析解析由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,an-an-1=n-1+1(n2),则有an-a1=1+2+3+ n-1+(n-1)(n2),因为a1=1,所以an=1+2+3+n(n2),即an=(n2),又当n=1时,a1=1也适合 上式,故an=(nN*),所以=2,从而+=2+2 +2+2=2=. 2 2 nn 2 2 nn

4、1 n a 2 2 nn 11 1nn 1 1 a 2 1 a 3 1 a 10 1 a 1 1 2 11 23 11 34 11 1011 1 1 11 20 11 3.(2016浙江,17,15分)设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*. (1)求通项公式an; (2)求数列|an-n-2|的前n项和. 解析解析(1)由题意得则 又当n2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an. 所以,数列an的通项公式为an=3n-1,nN*. (2)设bn=|3n-1-n-2|,nN*,则b1=2,b2=1. 当n3时,由于

5、3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n3. 设数列bn的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3. 当n3时,Tn=3+-=, 所以Tn= 12 21 4, 21, aa aa 1 2 1, 3. a a 2 9(13) 13 n (7)(2) 2 nn 2 3511 2 n nn n2 * 2,1, 3n511, 2,N . 2 n n nn 易错警示易错警示(1)当n2时,得出an+1=3an,要注意a1与a2是否满足此关系式. (2)在去掉绝对值时,要考虑n=1,2时的情形.在求和过程中,要注意项数,最后Tn应分n=1与n2 两段来写. 1.(2019浙江,10,4分)设a,bR,数列

6、an满足a1=a,an+1=+b,nN*,则() A.当b=时,a1010B.当b=时,a1010C.当b=-2时,a1010D.当b=-4时,a1010 2 n a 1 2 1 4 C C组教师专用题组组教师专用题组 答案答案A本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体,考查学生挖掘事物本质以及推理 运算能力;考查的核心素养为逻辑推理,数学运算;体现了函数与方程的思想,创新思维的应用. 令an+1=an,即+b=an,即-an+b=0,若有解, 则=1-4b0,即b, 当b时,an=,nN*,即存在b,且a=或,使数列an为常数列, B、C、D选项中,b成立,故存在a=,a6,a10, 而=1

7、+=1+4+10.故a1010. 2 n a 2 n a 1 4 1 4 114 2 b1 4 114 2 b114 2 b 1 4 114 2 b 114 2 b 1 2 2 1 a 1 2 1 2 2 2 a 1 2 2 1 2 1 2 3 4 2 3 4 1 2 17 16 2 17 16 4 17 16 64 17 16 64 17 16 64 1 1 16 1 64 C 1 16 2 64 C 2 1 16 63 8 2.(2014课标,16,5分)数列an满足an+1=,a8=2,则a1=. 1 1 n a 答案答案 1 2 解析解析解法一:由an+1=,得an=1-, a8=2,

8、a7=1-=, a6=1-=-1,a5=1-=2, an是以3为周期的数列,a1=a7=. 解法二:根据an+1=递推得a8=1-=1-=a5=1-=1- =a2=,因为a8=2,所以a1=. 1 1 n a 1 1 n a 1 2 1 2 7 1 a 6 1 a 1 2 1 1 n a 7 1 1 a 6 1 1 1 1a 6 1 a 5 1 1 1 a 4 1 1 a 3 1 1 1 1a 3 1 a 2 1 1 1a 1 1 1 a 1 2 3.(2015浙江,17,15分)已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+b2+b3+bn= bn+1-1(nN

9、*). (1)求an与bn; (2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn. 1 2 1 3 1 n 解析解析(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nN*). 由题意知: 当n=1时,b1=b2-1,故b2=2. 当n2时,bn=bn+1-bn, 整理得=, 所以bn=n(nN*). (2)由(1)知anbn=n2n, 因此Tn=2+222+323+n2n, 2Tn=22+223+324+n2n+1, 所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(nN*). 1 n 1 1 n b n n b n 评析评析本题主要考查数列的通项公式,等差和等比

10、数列等基础知识,同时考查数列求和等基本 思想方法,以及推理论证能力. 4.(2014大纲全国,17,10分)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式. 解析解析(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得, an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1. 所以bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)得bn=1+2(n-1), 即an+1-an=2n-1. 于是 所以an+1-a1=n2, 即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以an的通项

11、公式为an=n2-2n+2. 1 11 ()(21), nn kk kk aak 考点数列的概念及其表示考点数列的概念及其表示 三年模拟 A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组 1.(2019安徽江淮十校第三次联考,4)已知数列an满足=2,a1=20,则的最小值为() A.4B.4-1C.8D.9 1nn aa n n a n 55 答案答案C由an+1-an=2n知:a2-a1=21,a3-a2=22,an-an-1=2(n-1),n2, 以上各式相加得an-a1=n2-n,n2,所以an=n2-n+20,n2, 当n=1时,a1=20符

12、合上式, 所以an=n2-n+20,nN*,所以=n+-1,nN*, 所以n4时单调递减,n5时单调递增, 因为=,所以的最小值为=8,故选C. n a n 20 n n a n n a n 4 4 a 5 5 a n a n 4 4 a 5 5 a 2.(2018江西重点中学盟校第一次联考,7)在数列an中,a1=-,an=1-(n2,nN*),则a2018的 值为() A.-B.5C.D. 1 4 1 1 n a 1 4 4 5 5 4 答案答案B在数列an中,a1=-,an=1-(n2,nN*),所以a2=1-=5,a3=1-=,a4=1-=-, 所以an是以3为周期的周期数列,所以a2

13、018=a6723+2=a2=5,故选B. 1 4 1 1 n a 1 1 4 1 5 4 5 1 4 5 1 4 3.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,4)已知数列an满足:m,nN*,都有anam=an+m, 且a1=,那么a5=() A.B.C.D. 1 2 1 32 1 16 1 4 1 2 答案答案A数列an满足:m,nN*,都有anam=an+m,且a1=,a2=a1a1=,a3=a1a2=.那么a5= a3a2=.故选A. 1 2 1 4 1 8 1 32 4.(2019山西太原模拟(一),9)已知数列an的前n项和Sn满足Sn+an=2n(nN*),则a7=() A.

14、B.C.D. 7 3 127 64 321 32 385 64 答案答案B当n2时,Sn-1+an-1=2n-2,又Sn+an=2n,所以2an-an-1=2,2(an-2)=an-1-2,故an-2是首项为 a1-2, 公比为的等比数列, 又S1+a1=2,故a1=1,所以an=-+2,故a7=2-=,故选B. 1 2 1 1 2 n 1 64 127 64 5.(2018河南郑州毕业班第二次质量预测,11)已知f(x)=数列an(nN*)满足an =f(n),且an是递增数列,则a的取值范围是() A.(1,+)B.C.(1,3)D.(3,+) (21)4(1), (1), x axx a

15、x 1 , 2 答案答案D因为an是递增数列, 所以解得a3, 则a的取值范围是(3,+). 2 1, 214, a aa 6.(2018广东江门3月模拟(一模),13)记数列an的前n项和为Sn,若nN*,2Sn=an+1,则a2018=. 答案答案-1 解析解析2Sn=an+1, 2Sn-1=an-1+1(n2), 2Sn-2Sn-1=2an=an-an-1(n2), 即an=-an-1(n2),又2S1=2a1=a1+1, a1=1,a2018=a2=-a1=-1. 7.(2017河北唐山一模,14)设数列an的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=. 1(4 1) 3 n a

16、 答案答案 1 2 解析解析Sn=,a4=32, -=32,a1=. 1(4 1) 3 n a 1 255 3 a 1 63 3 a1 2 8.(2019广东汕头一模,15)已知数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3(nN*), 则S10=. 答案答案363 解析解析因为an+2=3Sn-Sn+1+3, 所以Sn+2-Sn+1=3Sn-Sn+1+3,整理得Sn+2=3Sn+3, 当n=2时,S4=3S2+3=9+3=12; 当n=4时,S6=3S4+3=36+3=39; 当n=6时,S8=3S6+3=117+3=120; 当n=8时,S10=3S8+

17、3=360+3=363. 9.(2019河北省级示范性高中4月联考,15)数列an满足a1=3,且对于任意的nN*都有an+1-an=n+ 2,则a39=. 答案答案820 解析解析因为an+1-an=n+2,所以a2-a1=3, a3-a2=4,a4-a3=5, an-an-1=n+1(n2),上面(n-1)个式子左右两边分别相加 得an-a1=(n2),即an=(n2),当n=1时,a1=3适合上式,所以an=, nN*,所以a39=820. (4)(1) 2 nn(1)(2) 2 nn(1)(2) 2 nn 40 41 2 10.(2019河南焦作第四次模拟,14)已知数列an的通项公式

18、为an=2n,记数列anbn的前n项和为 Sn,若+1=n,则数列bn的通项公式为bn=. 1 2 2 n n S 答案答案n 解析解析因为+1=n,所以Sn=(n-1)2n+1+2.所以当n2时,Sn-1=(n-2)2n+2,两式相减,得anbn=n2n, 所以bn=n;当n=1时,a1b1=2,所以b1=1.综上所述,bn=n,nN*.故答案为n. 1 2 2 n n S B B组组 2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 (时间:25分钟分值:55分) 一、选择题(每题5分,共30分) 1.(2019江西宜春期末,9)已知函数f(x)=若数列an满足

19、a1=,an+1=f(an)(nN*),则 a2019=() A.B.C.D. 11 , 22 1 21,1, 2 1,1, xx xx xx 7 3 7 3 4 3 5 6 1 3 答案答案D由题意,知a2=f=,a3=f=,a4=f=,a5=f=,a6=f=,a7=f=, ,故数列an从第三项起构成周期数列,且周期为3,故a2019=a3=.故选D. 7 3 4 3 4 3 1 3 1 3 5 6 5 6 2 3 2 3 1 3 1 3 5 6 1 3 思路分析思路分析由题中条件可求出数列的前几项,结合递推关系可知数列an从第三项起构成周 期数列,则a2019=a3,即可得到答案. 2.(

20、2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考,4)在数列an中,a1=2,=+ln,则 an=() A.2+nlnnB.2n+(n-1)lnn C.2n+nlnnD.1+n+nlnn 1 1 n a n n a n 1 1 n 答案答案C由题意得-=ln(n+1)-lnn,-=lnn-ln(n-1),-=ln(n-1)-ln(n-2), -=ln(n-2)-ln(n-3),-=ln2-ln1,累加得-=lnn-ln1=lnn,=2+lnn,an=2n+nlnn, 选C. 1 1 n a n n a n n a n 1 1 n a n 1 1 n a n 2 2 n a n 2 2 n a n

21、3 3 n a n 2 2 a 1 1 a n a n 1 1 a n a n 3.(2018山西晋中高考适应性调研,9)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传 教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西 森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国 剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到 2018这2018个整数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an, 则此数列共有() A.98项B.97项C.96项D.95项 答案答案

22、B能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故an=21n-20,由1an2018 得1n97,又nN*,故此数列共有97项.故选B. 2 21 4.(2019广东广州天河毕业班综合测试(一),11)数列an满足a1=1,对任意nN*,都有an+1=1+an+n, 则+=() A.B.2C.D. 1 1 a 2 1 a 99 1 a 99 98 99 50 99 100 答案答案C由an+1=1+an+n,得an+1-an=n+1, 则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+1=, 则=-, 则+=2=2=.故选C. (1) 2 n

23、n 1 n a 2 (1)n n 2 n 2 1n 1 1 a 2 1 a 99 1 a 11111 1 22399100 1 1 100 99 50 5.(2019湖南邵东创新实验学校第五次月考,11)已知数列an的通项为an=2n+3(nN*),数列 bn的前n项和为Sn=(nN*),若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列cn,则满足 cn2012的n的最大整数值为() A.338B.337C.336D.335 2 37 2 nn 答案答案D对于bn,当n=1时,b1=S1=5; 当n2时,bn=Sn-Sn-1=-=3n+2, 它和数列an的公共项构成的新数列cn是首项为5,公差为6的等差

24、数列,则cn=6n-1.令cn2012, 可得nan+1(n2),且a1a2, 3n-1(2-2n-1)3n(2-2n-3)(n2),且2,化为n+2(n2),且2, 0或an378 成立的正整数k的最小值为. 1 1 n a n 2 n a n 答案答案7 解析解析因为=+1,所以+1=2,所以数列是首项为2,公比为2的等比数 列,所以+1=2n,an=(2n-1)n,易知数列an是递增数列,a5=(25-1)5=155,a6=(26-1)6=378,所以使 得ak 378成立的正整数k的最小值为7. 1 1 n a n 2 n a n 1 1 n a n 1 n a n 1 n a n n a n 解题关键解题关键构造等比数列是解决本题的关键. 1 n a n 9.(2018百校联盟TOP20三月联考,14)已知数列an满足2Sn=4an-1,当nN*时,(log2an)2+log2an 是递增数列,则实数的取值范围是. 答案答案(1,+) 解析解析2Sn=4an-1,2Sn-1=4an-1-1(n2),两式相减可得2an=4an-4an-1(n2),an=2an-1(n2),又2a1= 4a1-1,a1=,数列an是公比为2的等比数列,an=2n