数列通项公式求法学案

1、名师推荐精心整理学习必备数列通项公式的常见求法学案一、观察归纳法：观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数系，从而归纳出数列的通项公式。例1写出下列各数列的一个通项公式。丄,4,?,-川；2 5 10 171 1 1 1 一击，市护； 3 7 15 31 川；4,8,16,32 21,203,2005,20007，； 0.2,0.22,0.222,0.2222，； 1,0,1,0 ，；/ 3 15 1 7 小,2,3,4,5,；公式法：例2 .等差数列 右n 是递增数列，的通项公式.解：设数列右n公差为T a1, a3, a9成等比数列，n的内在联等差数列通项公式；等比数列通

2、项公式2前n项和为Sn，且a1, a3,a9成等比数列，Ss =a5 .求数列d(d 0)a3= aia9 ,= aid即(a1 +2d)2 =a1(a1 +8d) = d2 d 定 0，印=d 542+ d =(a 2)，则 a. =(2)若f(n)是二次函数形式，累加后利用分组求和。例 4 已知数列an满足q = 1, an - anj = n2 - n, n 2.求耳12 + 22 + 32 +川+ n2n + 1)(2n + 1)(3)若f(n)是含指数函数形式，累加后转化等比数列求和。例5已知数列an满足ai = an十2X 3n +1，q = 3，求数列an的通项公式。解：由 an

3、41=a n + 2x3n + 1 得 ah-a23n + 1 则(补充：名师推荐精心整理学习必备四 累乘法 适用于：an+1 = f(n)an的形式，其中f(1) - f(2). f(3)-f(n)的值可求。例7在数列an中，已知a1 = 1,有na. =(门+ 1总(n2)，求数列 aj的通项公式。an =（an an 丄）+（an-an_2）+HI * （a3 一 a2 ） + （a2 一 a1 ） + a1= （23n+1）+（23n，+11 +（232 +1）+（2 31 +1） + 3= 2（3n+32 +川+32 +31） +（n -1）+3= 23+（n-1） + 31-3=3

4、n -3 + n -1+3=3n + n-1注意：应用待定系数法时，要求 P-q，否则待定系数法会失效。解：设 an七 +上441 = （5+2）（441 +上务）所以 an =3n + n-1.练习：1、在数列aj中，已知ai = 4,有an+i=5nan,求数列aj的通项公式。练习:已知 an中，a1 =3， anH1=an+2，求 an。2、(提高)数列aj各项均为正数，4 = 1且(n + 1归；出-naj+a卄an = 0,求an.（4）若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。在数列 3 中, a1=3,ann +点，求 an五、构造法(1)形如an41 = Aan + B(

5、A、B为常数，A=0且A=1,B=O)的递推数列都可以用 待定系数法转化为公比为a的等比数列后，再求an。练习:已知数列an满足a1 =3，an =an4 + _ (n 二2)n(n0，求此数列的通项公式.(i )若A=1时，数列an为等差数列；若B=0时，数列an为等比数列；(ii)AM1,BmO时方法：令an41+t = A(an +1)，则At-t= B,求t即可，贝认為+为公比等于a的等比数列，利用公式求解。例8已知数列务中，印=1，an41=2an+3，求an.解：设递推公式a = 2an + 3可以转化为at = 2匕一 t)即a*出= 2an-t= t=3.故递an41 +32推

6、公式为 an 卅+3=2(an +3),令 4=+3，则 b =3 +3=4,且如1bnan+3例9已知数列an满足 = 2an + 4斜，a1，求数列的通项公式。所以是以b, =4为首项，2为公比的等比数列，则bn= 4x2n=2n卡，所以 an = 2n* 3解法一（待定系数法）：设齢3 2（an+k ），比较系数得扎尸-4心2练习1 已知 q =1, an =3an+2求an ；/4 onJu则数列5 f是首项为q-43=-5，公比为2的等比数列,所以 an 一 4 32 = -5 丫，即 an = 4 护-5 丫解法二nH1n41（两边同除以q ）：两边同时除以3得:aH13n13 3

7、n 32，下面解法略形如：an + = P Gn +qn（其中q是常数,且 n =0,1)若P=1时，即：an = an若P1时，即：ankP求通项方法有以下三种方向:an+ an + 1n出n即：p q pn +ii.两边同除以qan令qn,则可化为1 Jq ，累加即可.an + qni.bn,令解法三练习:两边同除以anJ p ,则（两边同除以 P1、已知an中,n）：两边同时除以2 得:anHan , 43 n，(二)2n 2n 32 ，下面解法略d = 2,an = 2a2 + 2n+( n 注),求 a.n出P .目的是把所求数列构造成等差数列1bH - bn =（P）nq ,然后类

8、型1,累加求通目的是把所求数列构造成等差数列。q .然后转化为类型（1）来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设an十即:nd! qan丄1十一q扩展视野：（3）形如an42= PsUi + qan 时将 a.作为 f(n)求解分析：原递推式可化为 an七+7什=（P +上）心汁+kan）的形式，比较系数可求得 k，数列+k q十二P（an+A p）通过比较系数，求出扎，转化为等比数列求通项.例10已知数列an满足可七=5an+i 6an,a1 = T,a2 = 2，求数列an的通项公式。比较系数得入=-3或扎=-2，不妨取k = -2 ,（取-3结果形式可能不同，但本质相同

9、）七、阶差法（逐项相减法）递推公式中既有Sn，又有4则K* -2an+ =3（an+-2an），则牯心-细是首项为4，公比为3的等比数列分析：把已知关系通过an迟:22转化为数列Z或的递推关系，然后采用相_.- n A-ai 2an =4 3 所以 an = 4 3 5 2练习.数列 an中，若a1 =8,a2 =2,且满足an42 4an41 +込=0,求an答案：an1-3六、倒数法形如an=的递推数列都可以用倒数法求通项。kan+b分子只有一项例 11 ： an =an A3 an+1,ai=1应的方法求解。例12.已知数列(a?的前n项和Sn满足Sn=2an + (1)n,n1 .求数列aj的通项公式。 解：由 a1 = S = 2a1 1= a1 = 1当 n 2 时，有 an =SnSn=2(an - a2 )十 2* (),.- an=2an/2x ( 1)an=2an_2 + 2* (-1)二，a2 = 2a1 - 24 =才耳+22兀卜1片(_1)圳+2 (1尸=2 + (1)n(2)n+ (2) 2 卡 + (2)二尸,2)2解：取倒数：1an3 an Aan A+1 1=3 +an是等差数列,1 =ana11一+(n-1) 3 =1 + (n-1) 3= an_ 13n-22经验证a1 =1也满足上式，所以an = 2鼻+ （